精品解析：北京市八一学校2025－2026学年八年级上学期12月月考数学试卷

北京市八一学校2027届初二年级阶段性练习 数学学科 一、选择题 1. 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的概念，即把一个多项式分解为几个整式的积的形式．根据定义判断各选项即可． 【详解】解：A选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B选项是整式的乘法，不是因式分解； C选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； D选项是因式分解； 故选D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、单项式乘多项式、整式的除法和合并同类项等知识．需要根据运算法则逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选B． 3. 若点与点关于y轴对称，则m的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：在直角坐标系中，点与点关于轴对称， 则，解得． 故选：B． 4. 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：． 根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； B、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； C、两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、是三项，不能用平方差公式进行因式分解． 故选：． 5. 若，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开左边的多项式乘积，与右边的二次多项式比较对应项的系数，从而确定的值，即可求解． 【详解】解： ∴， 故选：D． 6. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键． 根据已知的条件，，加入选项中得条件判断即可； 【详解】解：，，， ，故选项不符合题意； ， ， ， ，，， ，故选项不符合题意； 当时，与，不能构成的判定条件，故符合条件； 当时，与，可以构成的判定条件，故不符合题意； 故选：． 7. 如果多项式是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 36或 B. 13 C. 12 D. 12或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ∴， ， 故选：D． 8. 分解因式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，通过观察第二项中的可转化为，从而与第一项形成公因式，提取公因式后进一步分解即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 9. 如图，若，，的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可． 【详解】解：，，的周长为7， ∴， ， A、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意， B、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意； C、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意； D、记两弧交点为， 由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意； 故选：A． 10. 如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据等边三角形的性质与折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质得出，，连接，交于点，得出是等腰直角三角形，得出，即可判断C，设，则，分别求得的长，即可判断D选项． 【详解】解：∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴，故A正确； 连接，交于点， 将沿直线翻折，恰使点与点重合， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故B错误，符合题意； ∵将沿直线翻折，恰使点与点重合 ∴ 又∵ ∴，即，故C正确， 设，则， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴，故D正确， 故选：B． 二、填空题 11. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质分别求解AC，AB的长，再利用BD=AB-AD计算可求解． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠A=60° ∵CD⊥AB ∴∠ACD=30° ∵AD=1 ∴AC=2 ∴AB=4 ∴BD=AB-AD=4-1=3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，求解AC，AB的长是解题的关键． 13. 如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标，过点A作x轴的平行线，交第一象限角平分线于点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，平面直角坐标系中点的坐标．过点B作轴于点C，由轴，点A的坐标得到轴，点B的纵坐标为6，再由角平分线的性质得到，从而点B的横坐标为6，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点C， ∵轴，点A的坐标， ∴轴，点B的纵坐标为6，即， ∵是第一象限的角平分线， ∴， ∴点B的横坐标为6， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线分别交于D、E两点，若，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角、内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由得到，，然后，则，最后在中运用内角和定理建立方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵线段的垂直平分线分别交于D、E两点， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴在中，由得， 解得， ∴， 故答案为：36． 15. 用简便方法计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式的运用．利用平方差公式变形求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. ，则代数式___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中的化简求值，将代数式展开后利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：1． 17. 已知，，则______． 【答案】15． 【解析】 【分析】根据a2+b2=（a+b）2-2ab来计算即可． 【详解】解：∵a+b=5，ab=5， ∴a2+b2=（a2+b2+2ab）-2ab， =（a+b）2-2ab， =52-2×5， =15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查对完全平方公式的理解掌握情况，对式子的合理变形会使运算更加简便，解题时，常用到a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab的变化，结合已知去计算． 18. 如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有； ②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，； ④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是：_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①由线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形三线合一的性质可以先证明，即可得，设，,通过等腰三角形的性质以及三角形内角和定理找出与的关系式，即可求解； ②为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点，当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大．当点在线段上时，分两种情况讨论即可； ③在上截取，先证明的等边三角形，再证明即可求解； ④当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，分两种情况讨论即可． 【详解】解：①线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ， ． 设，, 则． 由三角形内角和得， ， ， ． 在中，． ， ． 在中，． 在中， ， ， ， ． ； ①是正确的； ②为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点， 当点越接近点时，越小，当点越远离点时，越大． 当点在线段上时，可分两种情况讨论： 当点越接近点时，点越靠近点，当点与点重合时，最小， 如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点， ，， ,， ， ． ， ，， ． 且， 是等边三角形， ； 当点越远离点时，点越靠近点，当点与点重合时，最大， 如图所示， 线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点， ，， 平分． ，， ， ， ， ， ； 点不与，重合， 当点在线段上时，； ②是正确的； ③当点在线段上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， 是等边三角形， ， ． 在和中， ， ， ． ， ； ③是正确的； ④当点不在线段上，可以在的延长线上，也可以在的延长线上，需分类讨论： 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， ， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交的延长线于点， ． ，， 平分， , ． 在和中， ， ， , ， ． 在和中， ， ， ． ， ； 当点在的延长线上时，如图所示， 在上截取， 由（1）得， 是等边三角形， ， ． 线段的垂直平分线交直线于点， ． ，， 平分， ． 在和中， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ； ④是不正确的； 综上所述，正确结论的序号是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 三、简答题 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先进行乘方运算，同底数幂的乘法运算，再合并同类项即可； （2）利用多项式除以单项式的法则进行计算即可； （3）利用平方差公式进行计算即可； （4）利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式． 20. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）完全平方公式法进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可； （4）平方差公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式； 【小问4详解】 原式 ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题可根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 22. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】 证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】略 23. 阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． （1）利用“配方法”分解因式：； （2）若，求和的值； （3）19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：小明同学仿照上面的方法对进行因式分解，过程如下，请你帮助小明补全横线上的内容，并完成后续的因式分解过程． ______________________ （__________） ___________ 【答案】（1） （2） （3）；；； 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）利用配方法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性进行求解即可； （3）利用配方法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 24. 在等腰中，，是边上一个动点（点不与点重合），连接，点关于的对称点为，点在射线上且． （1）若点在边上的位置如图所示． ①在图中按题意补全图形； ②判断线段之间的数量关系，并证明； （2）过点作直线的垂线，垂足为，直接写出线段之间满足的数量关系． 【答案】（1） ①在图1中按题意补全图形如下图： ②线段之间满足的数量关系为：, 证明：点关于的对称点为, ， ∴， ， ， ； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，分类讨论的思想是解题的关键． （1）①按要求画出图形即可；②利用轴对称的性质，得，由求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解：当点在 靠近点处 时，过点作于点, 利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和等式的性质解答即可；当点在靠近点处时，过点作于点, 利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和等式的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 线段之间满足的数量关系为或. 理由： 当点在 靠近点处时，过点作于点，如图， 由轴对称的性质，得, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在 靠近点处时，过点作于点，如图， 由（1）知：, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，线段之间满足的数量关系为或. 25. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得，且，则称点为点关于点的“链垂点”． （1）如图1， ①若点的坐标为，则点关于点的“链垂点”坐标为___________； ②若点为点关于点的“链垂点”，且点位于轴上方，则点的坐标为___________； （2）如图2，图形是端点为和的线段，图形是以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点为图形上的动点，对于点，存在点，使得点关于点的“链垂点”恰好在图形上，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①或，② （2）t的取值范围为或或 【解析】 【分析】（1）①连接，将绕O点分别顺时针、逆时针旋转，即可求解；②根据题意可知三点构成等腰直角三角形，作辅助线构造一线三等角的全等模型，通过点的坐标，求出对应线段长度，即可求解． （2）先求出图形的函数解析式，设点D坐标为，点关于点的“链垂点”为Q，根据题意可知三点构成等腰直角三角形，作辅助线构造一线三等角的全等模型，通过点的坐标，用含有a和t的式子将点Q坐标表示出来，再根据点Q始终在图形上，以及，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 ①如图，连接，将绕O点分别顺时针、逆时针旋转，得到， 由旋转可知，则点是点关于点的“链垂点”，由图可知点的坐标为， 同理点也是点关于点的“链垂点”，点的坐标为． 故答案为：或． ②如图，过点C作水平直线，再分别过点O、B作该水平线的垂线垂足分别为M、N， 点为点关于点的“链垂点”， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点坐标为，B点坐标为， 即， 解得 ， 点的坐标为． 【小问2详解】 设图形所在直线的函数解析式为， 根据题意可得， 解得， 图形的函数解析式为， 设点D坐标为，点关于点的“链垂点”为Q，由（1）可知点Q可视为将点D绕点E顺时针旋转或逆时针旋转， 情况一，如图，将点D绕点E顺时针旋转，得到点Q，分别过点D、Q作y轴的垂线，垂足分别为M、N， 由旋转可知， ， 又， ， ， ， ， 点Q的坐标为， 点Q始终在直线上， 由图象可知，直线与图形相交于点或，即Q点坐标， 或， 化简得或， 又， 或， 情况二，如图，将点D绕点E逆时针旋转，得到点Q，分别过点D、Q作y轴的垂线，垂足分别为M、N， 由旋转可知， ， 又， ， ， ， ， 点Q的坐标为， 点Q始终在图形上， 即或者， 化简得或者， 又， 或． 综上所述，t的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了旋转，全等三角形的判定与性质，不等式，一次函数的解析式的求解，掌握在坐标系中围绕等腰直角三角形构造一线三等角的全等模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校2027届初二年级阶段性练习 数学学科 一、选择题 1. 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点与点关于y轴对称，则m的值是（ ） A. 6 B. C. D. 4. 下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为( ) A. B. C. D. 6. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果多项式是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A. 36或 B. 13 C. 12 D. 12或 8. 分解因式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，若，，的周长为7，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边，点，，分别在边，，上，且，将沿直线翻折，恰使点与点重合，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 计算___________． 12. 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=__________． 13. 如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标，过点A作x轴的平行线，交第一象限角平分线于点B，则点B的坐标为______． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线分别交于D、E两点，若，则_____度． 15. 用简便方法计算：______． 16. ，则代数式___________． 17. 已知，，则______． 18. 如图，在等腰中，，，于点，为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交直线于点（不与，重合），下列四个结论中： ①点在运动的过程中，始终有； ②当点在线段上时，； ③当点在线段上时，； ④当点不在线段上时，． 所有正确结论的序号是：_____． 三、简答题 19. 计算 （1） （2） （3） （4） 20. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 23. 阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题． （1）利用“配方法”分解因式：； （2）若，求和的值； （3）19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题：小明同学仿照上面的方法对进行因式分解，过程如下，请你帮助小明补全横线上的内容，并完成后续的因式分解过程． ______________________ （__________） ___________ 24. 在等腰中，，是边上一个动点（点不与点重合），连接，点关于的对称点为，点在射线上且． （1）若点在边上的位置如图所示． ①在图中按题意补全图形； ②判断线段之间的数量关系，并证明； （2）过点作直线的垂线，垂足为，直接写出线段之间满足的数量关系． 25. 在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得，且，则称点为点关于点的“链垂点”． （1）如图1， ①若点的坐标为，则点关于点的“链垂点”坐标为___________； ②若点为点关于点的“链垂点”，且点位于轴上方，则点的坐标为___________； （2）如图2，图形是端点为和的线段，图形是以点为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点为图形上的动点，对于点，存在点，使得点关于点的“链垂点”恰好在图形上，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $