浙江省上虞中学2025-2026学年高二上学期数学周测（12.7）

浙江省上虞中学2025年高二数学周测(12.7) （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 参考答案 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由可得，即，故焦点到准线的距离为4. 故选：A. 2．点与椭圆的位置关系为（    ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 【答案】B 【详解】，可知点在椭圆内． 故选：B. 3．已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 4．已知数列{an}是等差数列，且，，则的值为( ) A．5 B．6 C.8 D．10 【答案】A 【详解】因为数列{an}是等差数列，所以，.故选A. 5.已知圆锥曲线+=1的离心率e为方程3x2-10x+3=0的根,则满足条件的m的不同取值有 (　C　) A．1个 B．.2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【答案】C 【详解】 由3x2-10x+3=(3x-1)(x-3)=0,则x=或x=3. 当e=时,曲线为椭圆,当椭圆的焦点在x轴上时,0<m<4,则=,可得m=符合; 当椭圆的焦点在y轴上时,m>4,则=,可得m=符合; 当e=3时,曲线为双曲线,则m<0,则=9,可得m=-32符合. 综上,m有3个不同的值. 故选：C. 6.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　) A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【详解】设等差数列{an}共有2n＋1项，公差为d，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1， 又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋nd＝an＋1， 所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29. 故选：B. 7．已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(1，3) D．(2，3) 【答案】D 【详解】若{an}是递增数列，则即解得2<a<3，即实数a的取值范围是(2，3)．故选D. 8．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，焦距为6，点P在双曲线C上，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设，，则， ， 所以， 所以，，又双曲线C的焦距， 所以，， 所以双曲线C的离心率． 故选：A 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【答案】CD 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 10．设{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d≤0 B．a7＝0 C．S6与S7均为Sn的最大值 D．满足Sn<0的n的最小值为14 【答案】BCD 【详解】因为S6＝S7>S8，所以S7－S6＝a7＝0，S8－S7＝a8<0，所以d＝a8－a7<0，故A错误，B正确；因为S5<S6，S6＝S7>S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故C正确；因为2a7＝a1＋a13，所以S13＝＝0，S14＝＝7(a7＋a8)<0，故D正确．故选BCD. 11．抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，为坐标原点，点为上一点，且，则（    ） A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条 B．当的面积为时， C．为直角三角形 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】抛物线的焦点为，准线为 因点为上一点，且，由抛物线定义可得， 则抛物线方程为：. 对于A，注意到，则点M在抛物线外，如图所示，则过M点可做抛物线的两条切线，此外直线过点M，且与抛物线只有一个公共点，故过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条，故A错误； 对于B，设直线AB方程为：，将直线AB方程与抛物线联立，可得： ，设，由韦达定理： ，由图可得， 则. 又由抛物线定义可得 ，故B正确； 对于C，可得注意到，则 ，故为钝角，则为钝角三角形，故C错误； 对于D，由B， ，则由抛物线定义： . 当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 【答案】或（写出一个3分） 【详解】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点： 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，抛物线方程为；当焦点为时，抛物线方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． 13.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝________. 【答案】 【详解】由题意，令n＝1，可得a2＝1＋＝2；令n＝2，可得a3＝1＋＝1＋＝；令n＝3，可得a4＝1＋＝1＋＝；令n＝4，可得a5＝1＋＝1＋＝. 14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，且△F1AB的面积为，若点P为椭圆上任意一点，则＋的取值范围是________． 【答案】[1，4] 【详解】由已知，得2b＝2，故b＝1．∵△F1AB的面积为，∴(a－c)b＝，∴a－c＝2－，又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝，∴＋＝＝＝．又2－≤|PF1|≤2＋，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤＋≤4，即＋的取值范围为[1，4]． 4、 解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8. (2)经过点A(0,2)和B. 【答案】（1）+=1或+=1 （2）x2+=1 【详解】解:(1)①若焦点在x轴上,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由题意知2a=8,所以a=4. 又点P(3,2)在椭圆上,所以+=1,得b2=. 所以椭圆的标准方程为+=1. （3分） ②若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 因为2a=8,所以a=4. 又点P(3,2)在椭圆上,所以+=1,得b2=12. 所以椭圆的标准方程为+=1. （6分） 由①②知椭圆的标准方程为+=1或+=1. （7分） (2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), （9分） 代入A,B的坐标得所以（11分） 所以椭圆的标准方程为x2+=1. （13分） 16．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 【答案】(1) an＝15－2n. (2) Tn＝ 【详解】(1)设等差数列的公差为d， 由题意可得（2分）即解得（4分） 所以an＝13－2(n－1)＝15－2n. （6分） (2)因为Sn＝＝14n－n2，（8分） 令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N*，（9分） 当n≤7时，an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2；（11分） 当n≥8时，an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2×(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98. （14分） 综上所述，Tn＝（15分） 17.（15分） 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为.（6分） （2）证明：设， 又 ，所以左焦点，则，（8分） ，（9分） ，（10分） ，（12分） 则，（14分） 所以.（15分） 18.(17分)已知数列的前n项和为Sn,a1=,2Sn·Sn+1=-an+1. (1)证明:数列是等差数列. (2)设数列满足bn=,求b1+b21的值. 【答案】(1) 证明见详解. (2) -- 【详解】: (1)证明:∵2Sn·Sn+1=-an+1, ∴2Sn·=Sn-,易知Sn≠0, （2分） ∴=-=2, （6分） ∴数列是公差为2的等差数列 （7分） . (2)由(1)知数列是公差为2的等差数列,又∵==2, （8分） ∴=2+2=2n, （10分） ∴Sn=. （11分） 当n=1时,b1====-2; （12分） 当n≥2时, an=Sn-=-=-·, （14分） bn==. （15分） ∴b1+b21=-2+= --. （17分） 19．（17分） 已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且. (1)求抛物线E的方程； (2)设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点. （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程. 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，准线方程为，且在抛物线上，，根据抛物线定义有，，（2分） 又因为在抛物线上，所以，即，（3分） 消去，可得，即，解得，（4分） 所以抛物线的方程为.（5分） （2）（i）设，，直线AB方程为，联立，消得，则，，（6分） 直线AP：，令，得纵坐标；（7分） 同理纵坐标，（8分） 因是MN中点，，即，化简得，将，代入，得，即，（10分） 直线AB方程为，当时，，故直线AB过定点.（11分） （ii）设直线AB：，联立，得， 由韦达定理，，，（12分） 弦长，（13分） 根据点到直线的距离公式可知，点到直线AB距离为，（14分） 由可得，， 即，化简得，（15） 因式分解得，因，得，（16分） 所以直线AB方程为.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省上虞中学2025年高二数学周测(12.7) （考试时间：90分钟 试卷满分：150分） 一、选择题，每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A．4 B．2 C． D． 2．点与椭圆的位置关系为（    ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 3．已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ） A．1 B．2 C． D． 4．已知数列{an}是等差数列，且，，则的值为( ) A．5 B．6 C.8 D．10 5．已知圆锥曲线+=1的离心率e为方程3x2-10x+3=0的根,则满足条件的m的不同取值有 ( ) A．1个 B．.2个 C．3个 D．4个 6．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( ) A．28 B．29 C．30 D．31 7．已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( ) A. B. C．(1，3) D．(2，3) 8．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，焦距为6，点P在双曲线C上，且，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 二、多选题，每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分。（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知曲线，则（ ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 10．设{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是( ) A．d≤0 B．a7＝0 C．S6与S7均为Sn的最大值 D．满足Sn<0的n的最小值为14 11．抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，为坐标原点，准线方程为x=-1，则（    ） A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条 B．当的面积为时， C．为直角三角形 D．的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 13．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝________. 14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，且△F1AB的面积为，若点P为椭圆上任意一点，则＋的取值范围是________． 4、 解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15.（13）求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8. (2)经过点A(0,2)和B. 16．（15分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 17.（15分）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 18.(17分已知数列的前n项和为Sn，，. (1)证明：数列是等差数列. (2)设数列满足，求b1+b21的值. 19．（17分）已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且. (1)求抛物线E的方程； (2)设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点. （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣▣ 高二数学周练答题卡（12.7) 问 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 o] [o] [0] [0] [0] [0] [o] [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [ [1] [1] [1] [1] [1] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 21 [21 [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 [4] 4 [4] [4] [4] [4] [4] [ 5.保持答卷清洁、完整。 [5] [ [5] [5] [5] [5] [5 [5] [6] 6 [6] [6] [6] [61 6 [6] 正确填涂 缺考标记 口 [7] 7 [7] [7] [7] [] [7] [81 [8] [8] [8] [81 [81 [ [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题18为单选题9-11为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 9[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 1I[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 填空题 12. 13. 14 解答题 囚囚■ ■ 16. 17. ▣囚■ 0 囚■囚 ■ 1 0 81 ■ ■ ▣ 19. 回囚 a