精品解析：山东省泰安市泰安外国语学校2025-2026学年高一上学期12月份阶段性检测数学试题

山东省泰安市泰山中学2025-2026学年12月份阶段性检测 高一上 一、单选题 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合交并补运算的定义直接运算即可. 【详解】因为，所以. 又，所以. 故选：D 2. 已知函数，则的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情部况，解不等式即可． 【详解】当时，由，得，所以，所以，解得， 当时，由，则，解得， 综上，原不等式解集为或． 故选：C． 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 4. 2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到kg） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据题意，， 令，则， 所以，则， 即 所以. 故选：B 5. 设函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由对数型复合函数的单调性结合二次函数的单调性列出不等式求解即可. 【详解】由在区间上单调递减， 可得在区间上单调递减，且 抛物线的对称轴为直线， 由解得，所以的最大值为4． 故选：B 6. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和函数单调性求出m的值，再判断函数的单调性，根据单调性和奇偶性即可判断． 【详解】幂函数在区间（0，+∞）上单调递增， ∴，解得m＝2， ∴， ∴在R上为奇函数， 由，得， ∵在R上为单调增函数， ∴， ∴恒成立． 故选：A． 7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的性质和对数函数的性质进行比较即可. 【详解】， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 所以. 故选：D 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【详解】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 二、多选题 9. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数的运算性质判断A，利用基本不等式结合指数的运算性质判断B，利用基本不等式中“1”的代换判断C，先对原式平方，再结合重要不等式与给定条件判断D即可. 【详解】因为，，，所以由基本不等式得， 当且仅当时取等，下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由对数的运算性质得， 则的最大值为0，故A正确， 对于B，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，则的最小值为4，故B正确， 对于C，因为，所以， 则， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 此时解得，得到， 则的最小值不为9，故C错误， 对于D，我们对进行平方， 得到， 由重要不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则， 故，得到， 而，，解得， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 若方程有四个不同的实根，则其中两个负根之和为 B. 若方程有四个不同的实根，则其中两个正根之积为1 C. 若方程三个不同的实根，则的取值范围为 D. 方程的两根之积小于1 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用二次函数、对数函数的图象性质求解判断ABC；求出方程的一个根及另一根的范围即可得解. 【详解】函数的图象如下： 对于AB，方程有四个不同的实根，即直线与函数的图象有4个交点， 则，设4个交点的横坐标依次为，且， 是方程的两个不等实根，则，A正确； 由，得，即，，B正确； 对于C，当时，直线与函数的图象有3个交点，C错误； 对于D，当时，，所以由得， 所以或， 当时，，函数单调递增，是方程唯一的根， 当时，，即在内无解， 当时，令， ，于是在内有零点，即在内有解， 因此方程的两根之积小于1，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：正确作出函数图象，数形结合是求解本题的关键. 11. 已知函数，且，则（ ） A. 的定义域为 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的最大值为0 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A根据对数有意义的条件可得；选项B根据偶函数的定义可得；选项C根据复合函数的单调性判断可得；选项D因单调性不确定，故不确定最值情况. 【详解】函数，且， 解得， 故函数的定义域为， 又， 为偶函数. ， 不知道还是，故不能判断的单调性和最值情况， 综上，AB正确，CD错误. 故选：AB 三、填空题 12. 若，且，则的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】化简式子，然后利用基本不等式计算. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则，当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值为3． 故答案为：3 13. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数性质得在上有一个零点，进而分析函数在有两个零点，然后利用二次函数零点分布列不等式组，即可求解. 【详解】当时，由，得，则在上有一个零点； 若有3个零点，则在时函数必有两个零点， 因为，所以函数在有两个零点， 当时，无零点，不合题意， 当时，由题意在有两个零点，且， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）转化为集合的包含关系求解． 【小问1详解】 ， 或， 所以或． 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则且， 所以且两个等号不能同时取得，解得． 所以的取值范围是． 16. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）5；（2）2 【解析】 【分析】（1）利用对数运算和指数运算法则得到答案； （2）指数式化为对数式，并利用换底公式和对数运算法则计算出答案. 【详解】（1） ； （2），故， 故 . 17. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【小问1详解】 若，则，令，得， 故的定义域为． 【小问2详解】 令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. 【小问3详解】 因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 18. 某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）： 销售单价（元） 50 60 70 日销售量（件） 100 80 60 该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴.设该产品的商家日利润为（元）. （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求与之间的函数关系式： （3）当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 【答案】（1），； （2）； （3）销售单价为元，日利润的最大值元. 【解析】 【分析】（1）设出一次函数关系，利用选定系数法求出解析式，并求出自变量的范围. （2）利用给定关系，结合（1）的结论分段求解. （3）分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，设，由及， 得，解得，则，显然也满足， 因此，由，得，解得， 所以所求函数关系式为，. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得，， 由，得，， 所以所求函数关系式为. 【小问3详解】 当时，，当且仅当时取等号； 当时，在上单调递减，则当时，， 而，因此当，即时，， 所以当销售单价为元时，日利润取得最大值元. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安市泰山中学2025-2026学年12月份阶段性检测 高一上 一、单选题 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到kg） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，且，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 10. 已知函数，则（ ） A. 若方程有四个不同的实根，则其中两个负根之和为 B. 若方程有四个不同的实根，则其中两个正根之积为1 C. 若方程三个不同的实根，则的取值范围为 D. 方程的两根之积小于1 11. 已知函数，且，则（ ） A. 的定义域为 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的最大值为0 三、填空题 12. 若，且，则的最小值为__________． 13. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为______. 14. 已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 四、解答题 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）计算：； （2）已知，求的值. 17. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 18. 某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）： 销售单价（元） 50 60 70 日销售量（件） 100 80 60 该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴.设该产品的商家日利润为（元）. （1）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求与之间的函数关系式： （3）当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $