专题04 圆中求阴影部分面积常用的方法（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题04 圆中求阴影部分面积常用的方法 题型一：直接利用公式法求阴影部分的面积 题型二：直接和差法求阴影部分的面积 题型三：构造和差法求阴影部分的面积 题型四：利用容斥原理求阴影部分的面积 题型五：利用等积转换法求阴影部分的面积 题型一：直接利用公式法求阴影部分的面积 1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　） A．π B．π C．π D．2π 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•新抚区模拟）如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．12π 4．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（　　） A．4π B．π C．3π D．π 5．（2024•耿马县三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•三台县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．π D．π 7．如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A，B，C，D为圆心，以AD，BE，CF，DG为半径画扇形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积和为（　　） A． B． C． D． 8．（2024•大武口区模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 　 ． 9．（2024•二道区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为　 　（结果保留π）． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ． 题型二：直接和差法求阴影部分的面积 11．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，，分别以、、为直径向的同侧作半圆，则阴影部分的面积等于（　　） A． B． C．24 D．25 13．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 14．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 15．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 17．（2024秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)如图2．若是的切线，，连接．如图2，当时，求图中阴影部分面积． 18．（2024河北唐山·统考模拟预测）如图，把两个扇形与扇形的圆心重合叠放在一起，且，连接． (1)求证：； (2)若，弧的长为，弧的长为，求阴影部分的面积； (3)在（2）的条件下求由扇形围成的圆锥的高． 题型三：构造和差法求阴影部分的面积 19．（2025·山西临汾·二模）如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是边长为等边三角形，以为直径作半圆，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 22．（25-26九年级上·重庆·期中）如图； 四边形内接于 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知是半圆的直径，点是半圆上一点，连结，并延长到点，使，连结． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，连接． (1)______，的长度是______； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 25．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 26．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 题型四：利用容斥原理求阴影部分的面积 27．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 30．（2024秋•潼南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，两弧分别交AB于点D、F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 31．（2024秋•北碚区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AB为半径画弧，连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 　 　． 32．（2024•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 33．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 34．（2024•射洪市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 35．（2024·重庆巴南·统考一模）如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点D，E，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交于点G，则图中阴影部分的面积为 ． 题型五：利用等积转换法求阴影部分的面积 36．（2024秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在中，，，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 37．（2024•孝义市三模）如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB＝4，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D． 38．（2024•锦州二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 39．（2024•东兴区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 40.（2024秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，正方形的边长为，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 41．（2024•朝天区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B．π C． D．2π 42．（2024•大冶市模拟）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 　 　． 43.（2024秋·福建福州·九年级校考期中）如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若 ，则图中阴影部分的面积是 . 44．（2024秋·福建福州·九年级统考期中）如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．    45．（2024秋•鼓楼区校级月考）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连接BC，CD． （1）求证：CD∥AB； （2）若AB＝8，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆中求阴影部分面积常用的方法 题型一：直接利用公式法求阴影部分的面积 题型二：直接和差法求阴影部分的面积 题型三：构造和差法求阴影部分的面积 题型四：利用容斥原理求阴影部分的面积 题型五：利用等积转换法求阴影部分的面积 题型一：直接利用公式法求阴影部分的面积 1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　） A．π B．π C．π D．2π 【答案】D． 【分析】先由圆周角定理可得∠AOC的度数，再由扇形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵∠ABC＝40°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝80°， ∴扇形AOC的面积为， 故选：D． 【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC的度数是解答此题的关键． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】矩形， ， ∵的半径为3， 图中阴影部分的面积是：， 故选：C． 3．（2024•新抚区模拟）如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．12π 【答案】C． 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵正五边形的外角和为360°， ∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°， ∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°， ∵正五边形的边长为6， ∴S阴影π， 故选：C． 【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 4．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（　　） A．4π B．π C．3π D．π 【答案】B． 【分析】利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：S阴， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2024•耿马县三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】连接OA，OB，OC，求出∠AOF，再用扇形公式列式计算即可． 【详解】解：连接OA，OB，OC，如图： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB＝∠BOC＝360°÷5＝72°，OB＝OC， ∵OF⊥BC， ∴∠BOF∠BOC＝36°， ∴∠AOF＝108°， ∴图中影部分的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是掌握扇形面积公式和求出所对的圆心角度数． 6．（2024•三台县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．π D．π 【答案】A． 【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2， ∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF120°， ∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°， ∴∠BAC（180°﹣∠ABC）（180°﹣120°）＝30°， 过B作BH⊥AC于H， ∴AH＝CH，BHAB2＝1， 在Rt△ABH中， AH， ∴AC＝2， 同理可证，∠EAF＝30°， ∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°， ∴S扇形CAE2π， ∴图中阴影部分的面积为2π， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 7．如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A，B，C，D为圆心，以AD，BE，CF，DG为半径画扇形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】先确定AD＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4，然后根据扇形的面积公式，利用四个扇形（阴影部分）的面积和＝S扇形DAE+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形GDH进行计算． 【详解】解：AD＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4， 所以四个扇形（阴影部分）的面积和＝S扇形DAE+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形GDH π． 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）． 8．（2024•大武口区模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 　 ． 【答案】． 【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，AB＝AE，利用勾股定理求出DE，即可证得∠DAE＝45°，进而求得∠BAE＝45°，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB， ∴∠D＝∠DAB＝90°， ∵AE＝AB， ∴DE1， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝45°， ∴∠BAE＝45°， ∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE ． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出∠EAB的度数是解此题的关键． 9．（2024•二道区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为　 　（结果保留π）． 【答案】π． 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S＝S扇形BDE+S扇形ACD． 【详解】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2， ∴∠B＝30°，AB＝2AC＝4， ∴BC2， ∴阴影部分的面积S＝S扇形BDE+S扇形ACDπ， 故答案为：π． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正八边形和正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 题型二：直接和差法求阴影部分的面积 11．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求阴影部分的面积，涉及扇形面积公式，直角三角形锐角互余的性质，勾股定理等知识点．利用直角三角形的面积减去两个扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以为圆心，长为半径画弧， ∴扇形和扇形的半径相同，均为， ∴两个扇形的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：； 故选：A． 12．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，，分别以、、为直径向的同侧作半圆，则阴影部分的面积等于（　　） A． B． C．24 D．25 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理、扇形面积的计算，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 阴影部分面积可以看成是以为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故选：C． 13．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 14．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积，弧长公式，平行四边形的面积，三角函数，熟练掌握扇形的面积公式，弧长公式是解题的关键；过B作于F，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式，求出，利用三角函数求出，进而求出，再求阴影部分的面积即可． 【详解】解：过B作于F，   ，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E， ， E为的中点， ， 设所对的圆心角为， 的长度为π， ，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 15．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案． 【详解】解：连接，过点B作，如图， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴ 同理可证，， ∴， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A 16．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在菱形中,，点O是对角线的中点，以点O为圆心,长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及扇形面积公式的应用，解题的关键是通过构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为扇形面积与规则三角形面积的差来计算． 先利用菱形性质得、，点为中点，故，进而得；构造等边，结合证，将转化为；再用勾股定理算、（即扇形半径）；最后用扇形面积公式算，减去得阴影面积． 【详解】解：如图，连接，在上取点，使，连接， 在菱形中，，点O是对角线的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ∴ ， ∴． 故答案为：． 17．（2024秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)如图2．若是的切线，，连接．如图2，当时，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先判断出，再用等角的余角相等，即可得出结论； （2）先判断出，再判断出，进而得出四边形是菱形，求出，，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 是的切线， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； ， ， 在中，， ，， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的判定、扇形的面积公式，判断出是解本题的关键． 18．（2024河北唐山·统考模拟预测）如图，把两个扇形与扇形的圆心重合叠放在一起，且，连接． (1)求证：； (2)若，弧的长为，弧的长为，求阴影部分的面积； (3)在（2）的条件下求由扇形围成的圆锥的高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证得，即可利用证明； （2）根据 代入计算即可； （3）求出圆锥底面圆的半径长，利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 答：阴影部分的面积是． （3）圆锥底面圆的半径为，母线长为， ∴圆锥的高． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和扇形的面积，勾股定理， 正确掌握扇形的面积公式是解题的关键． 题型三：构造和差法求阴影部分的面积 19．（2025·山西临汾·二模）如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，求特殊图形的面积，掌握扇形面积公式是解题关键． 连接，过点作于点，先求出、扇形的面积、扇形的面积，再利用面积的和差进行计算即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴的面积为：， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：， ∴图形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故选：A． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是边长为等边三角形，以为直径作半圆，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 连接，根据菱形面积公式和扇形面积公式计算得到答案． 【详解】连接， 是边长为的等边三角形， ， ， ， ， 为等边三角形，边长为3， ， ， ， ， 同理可得，， 四边形为菱形， ， ， ． 故选：D． 21．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，分别交于点D，E，连接，若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据等腰三角形三线合一得出点E是的中点，从而得出是的中位线，于是，根据同底等高得到和的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据扇形面积公式计算出扇形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 22．（25-26九年级上·重庆·期中）如图； 四边形内接于 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点O作于点E,先得到是等边三角形，则，，由等腰三角形的性质得到，然后解，求出，，最后由求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E． ∵为四边形的外接圆，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的与四边形的综合题，涉及圆周角定理，圆的内接四边形，扇形面积公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点． 23．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知是半圆的直径，点是半圆上一点，连结，并延长到点，使，连结． (1)求证：． (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查直径所对圆周角为直角，圆周角定理，扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）连接，由圆周角定理可知，故，再由即可得出结论； （2）连接，根据直角三角形的性质求出的度数，由圆周角定理求出的长，根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， 是半圆的直径， ， ． ， ； （2）解：连接， ，， ，， ． ，，， ∴，， ∴，， ∴， 点是的中点， ， ． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，连接． (1)______，的长度是______； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由圆内接四边形对角互补，列式求解即可得到；再由圆的基本性质、结合等腰三角形的判定与性质得到，然后在中，由三角形内角和定理求出圆心角，最后由弧长公式代值求解即可得到的长度； （2）连接，如图所示，由圆周角定理得到，结合（1）中求得的，即可求出，数形结合得到图中阴影部分的面积，利用扇形面积公式及直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是的内接四边形， ， ， ； 在中，，则， 在中，由三角形内角和定理可得， ， 的长度是； 故答案为：，； （2）解：连接，如图所示： ， ， 由（1）知，，则， 图中阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查圆中求角度、求弧长、求不规则图形面积，涉及圆内接四边形性质、圆的基本性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、弧长公式、圆周角定理、扇形面积公式及直角三角形面积公式等知识，熟记相关几何性质及判定是解决问题的关键． 25．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 【答案】(1)见解析 (2)①；②阴影部分的图形面积为． 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，度角的性质，扇形面积公式，勾股定理． （1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，得到，根据等边对等角得到，进而得到，即可证明是的角平分线； （2）①设，根据度角的性质得到，，可得，求解即可； ②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）①解：设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴阴影总分的面积为． 26．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． (1)求证：平分； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质． （1）由圆周角定理得到，，进而得到，根据等边对等角得到，即可证明平分； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到，最后根据计算即可； （3）由，得到阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ． 又∵， ， 平分； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ， ； （3）解：如图，连接． 由（2）知． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为 题型四：利用容斥原理求阴影部分的面积 27．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据图形得出明确阴影部分的面积矩形的面积，是解题的关键．连接，作于，根据题意求得是等腰直角三角形，即可求得，从而求得，然后根据阴影部分的面积等于矩形的面积，即可求解． 【详解】解：连接，作于，如图： ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C． 28．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，，由折叠的性质可知，的对应点为，则，，推出，为等边三角形，再结合圆周角定理，推出，最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 29．（23-24九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 30．（2024秋•潼南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，两弧分别交AB于点D、F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【答案】． 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCE与扇形ACD的面积之和与Rt△ABC的面积之差． 【详解】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2， ∴∠A＝60°，ACAB＝1，BCAB， ∴阴影部分的面积S＝S扇形BCE+S扇形ACD﹣S△ACB， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 31．（2024秋•北碚区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AB为半径画弧，连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【答案】． 【分析】根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∠DAC＝45°， ∴ACAB， ∴图中阴影部分的面积＝[]+（1×1）， 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 32．（2024•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】根据S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF计算即可． 【详解】解：S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF 1 ， 故选：A． 【点睛】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 33．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【答案】3π﹣6． 【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接BE， ∵AB为直径， ∴BE⊥AC， ∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∴BE＝AE＝CE， ∴S弓形AE＝S弓形BE， ∴图中阴影部分的面积＝S半圆（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF） π×22（）﹣（） ＝3π﹣6， 故答案为3π﹣6． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 34．（2024•射洪市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【答案】13π﹣24． 【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝∠C＝90°， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形FCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAE）（6×4）＝13π﹣24， 故答案为：13π﹣24． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 35．（2024·重庆巴南·统考一模）如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点D，E，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交于点G，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接CG,EG，则阴影部分的面积为，计算即可. 【详解】如图，连接CG,EG， ∵，，， ∴AC=CG=CD=CE=EG=4，∠A=60°， ∴△ACD是等边三角形，△CEG是等边三角形， ∴∠GCD=∠DCE =30°，∠GCE=60°， ∴阴影部分的面积为： = =. 故答案为：. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，拱形的面积，熟练运用扇形的面积公式，正确进行图形面积的分割是解题的关键. 题型五：利用等积转换法求阴影部分的面积 36．（2024秋·四川泸州·九年级校考期末）如图，在中，，，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：连接、、，设交于点，交于点， ， 是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ≌， ，即 ， ， ． 故选：． 根据题意，通过和差法将两部分阴影图形转化为一个整体弓形，进而求弓形面积即可． 本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握割补法是解决此类题目的关键． 37．（2024•孝义市三模）如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB＝4，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S半圆﹣2S扇形 ACO，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示：连接OC， ∵CD垂直平分半径OA， ∴AC＝OC， ∵OC＝OA， ∴OA＝OC＝AC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴S阴影S⊙O﹣2S扇形ACO 2 4π﹣24π ＝2ππ π． 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键． 38．（2024•锦州二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【答案】A． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥AB，根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接OE，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 即点E是BC的中点， ∵点O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△AOD＝S△AED， ∴S阴影＝S扇形OAD， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠AED＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 39．（2024•东兴区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据AB＝5，AC＝3，BC＝4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积＝△ABC的面积，得到阴影部分的面积＝扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4， ∴△ABC为直角三角形， 由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积， 由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积＝扇形ADB的面积是解题的关键． 40.（2024秋·浙江宁波·九年级宁波市海曙外国语学校校考期中）如图，正方形的边长为，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接，，如图， 正方形的边长为，为对角线的交点， 由题意可得：，经过点，且，． 点，分别为，的中点， ， ，． 弓形弓形． 阴影部分的面积等于弓形的面积． ． 故选：． 连接，，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形减去直角三角形的面积之差． 本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键． 41．（2024•朝天区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B．π C． D．2π 【答案】A． 【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE＝DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接OD， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DECD（垂径定理）， 故S△OCE＝S△ODE， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠CDB＝30°， ∴∠COB＝60°（圆周角定理）， ∴OC＝2， 故S扇形OBD， 即阴影部分的面积为， 故选：A． 【点睛】此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式． 42．（2024•大冶市模拟）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【答案】6π． 【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OB， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB＝OC， ∴AB＝OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵OC∥AB， ∴S△AOB＝S△ABC， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB6π， 故答案为：6π． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 43.（2024秋·福建福州·九年级校考期中）如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若 ，则图中阴影部分的面积是 . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到，则可判断为等腰直角三角形，接着判断和都是等腰直角三角形，于是得到，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积． 【解答】 解：为直径， ， ， 为等腰直角三角形， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ． 故答案为． 44．（2024秋·福建福州·九年级统考期中）如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．    【答案】π﹣1 【分析】首先根据圆周角定理以及等腰直角三角形的性质得出S阴影＝S弓形ACB+S△BCD＝S扇形ACB﹣S△ACD＝S扇形ACB﹣S△ABC进而得出即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝CB， ∴∠CBD＝45°， 又∵BC是直径， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB＝45°， ∴DC＝DB， ∴S弓形CD＝S弓形BD， ∴S阴影＝S弓形ACB+S△BCD ＝S扇形ACB﹣S△ACD ＝S扇形ACB﹣S△ABC ＝π×22﹣××2×2 ＝π﹣1． 【点睛】此题主要考查了扇形面积公式以及阴影部分面积求法，正确转化阴影图形的形状是解题关键． 45．（2024秋•鼓楼区校级月考）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连接BC，CD． （1）求证：CD∥AB； （2）若AB＝8，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论； （2）连接OC，OD，根据所求的阴影部分面积与扇形BOD的面积及△BOD的关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠ACD＝∠DBA， 又∵∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB＝∠ACD， ∴CD∥AB； （2）解：如图，连接OC，OD，OC交线段BD于点M． ∵∠ACD＝30°， ∴∠ACD＝∠CAB＝30°， ∴∠AOD＝∠COB＝60°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°， ∴∠BOD＝120°，∠COD＝∠COB， ∵OB＝OD， ∴OM⊥BD，BD＝2BM， ∵AB＝8，∠DBA＝∠ACD＝30°， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，平行线的判定，掌握定理以及扇形面积公式是解题的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $