精品解析：江西省赣州市南康区2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 说明：1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，直接根据顶点式的特征即可得出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 3. 如图，，是的半径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 4. 如图,在的方格纸中,两点在格点上,线段绕某点逆时针旋转角后得到线段,点与对应,则角的大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角． 【详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′ ∠AOA′即为旋转角， ∴旋转角为90° 故选C． 【点睛】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大． 5. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案. 【详解】解：二次函数为 ， ， 二次函数的开口方向向上， 排除C选项. 一次函数， ， 一次函数经过轴正半轴， 排除A选项. 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， 排除B选项. 当时，则 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， D选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 8. 若二次函数的图象开口向下，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念和性质，掌握二次函数最高次数为2，当，函数图像开口向上，当函数图象开口向下是解题的关键． 根据二次函数的定义，指数必须为2，且二次项系数小于零． 【详解】由题意，函数为二次函数，故指数，解得， 又图象开口向下，故二次项系数，因此． 故答案为：． 9. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 10. 如图，在中，、，将绕点A顺时针旋转得到、则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到是直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵、， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质以及勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 11. 车辆止退器的主要作用在汽车停车时，置于车轮与地面之间，能有效防止汽车打滑后退，如图所示是某品牌止退器的实物和示意图，已知止退器的高，长，求货车轮胎半径为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得，再证明，进而由相似三角形的性质求解即可． 【详解】连接，并延长交圆于，连接， ，， ， 由题意可知， ，， ，， ， ，即，解得， 则货车轮胎半径为． 故答案为：． 12. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），若固定，改变的位置（其中点位置始终不变），且，点在直线的上方．当的一边与的某一边平行时，则所有可能的度数为：________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算． 分4种情况进行讨论：①；②；③；④；结合平行线的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴； ④当时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上所述：当或或时，有一组边互相平行． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分共30分） 13. （1）解方程； （2）已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，中心对称的特征，求不等式组的解集． （1）用因式分解法求解即可； （2）判断在第二象限，然后根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：（1）， ， ∴或， ，； （2）据题意，可得在第二象限， ， 解得． 14. 如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法可证，进而得到，结合即可求解． 【详解】证明：与所对的弧相同，与所对的弧相同， ，， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， 为等边三角形 15. 二次函数的图象与直线交于点．求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数，牢记二次函数的性质是解题的关键． 根据直线的图象过点可求得的值，根据二次函数的图象过点，可求得的值． 【详解】∵直线的图象过点， ∴ ∴， ∵二次函数的图象过点， ∴． ∴． 16. 如图是的正方形网格纸．请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图1，线段的顶点在格点上，请在图中作以点A，B为顶点的四边形，使得该四边形是中心对称图形，且其顶点均在格点上（画出一个即可）； （2）如图2，矩形的顶点都在格点上，点M是边上任意一点，请在图中画出直线，使得直线平分矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，格点作图，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义，格点特点． （1）画平行四边形即可； （2）连接、交于点O，连接，交于点N，则即为所求作的直线． 【小问1详解】 解：如图，四边形为所求作的四边形； 【小问2详解】 解：如图，直线为所求作的直线． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， 同理，， ∴，，， ∴， 即． 17. 如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请求出变换后新二次函数的最大值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将代入，将抛物线的解析式化为顶点式，由此即可得解； （2）先求出原抛物线关于y轴对称的解析式为，再结合二次函数的性质计算即可得解； 【小问1详解】 当时，抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：关于y轴对称的点是， ∴原抛物线关于y轴对称的解析式为， ∵，对称轴为直线，， 又， ∴，新二次函数取得最大值0． 19. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）直角三角形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，直角三角形的判定，等边三角形的性质，掌握根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （2）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程. 【小问1详解】 ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 当是等边三角形，则， ∴，即， ， ， 解得：． 20. 赣南脐橙果大形正，肉质脆嫩，风味浓甜芳香，深受大家的喜爱.某脐橙生产基地生产的礼品盒包装的脐橙每箱的成本为30元，按定价50元出售，每天可销售200箱.为了增加销量，该生产基地决定采取降价措施，经市场调研，每降价1元，日销售量可增加20箱. （1）求出每天销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）若该生产基地每天要实现最大销售利润，每箱礼品盒包装的脐橙应定价多少元？每天可实现的最大利润是多少? 【答案】（1）;（2）当每箱礼品盒包装的脐橙定价为45元时，每天可实现的最大利润为4500元. 【解析】 【分析】（1）通过理解题意，找出题目中所给出的函数关系，列出二次函数关系式； （2）通过二次函数最值的求法求最值解决问题. 【详解】解：（1）由题意得， 与x之间的函数关系式为； （2）设每天销售利润为w元， 据题意，得， 整理得， ∴当时，销售利润最大，此时元. 答：当每箱礼品盒包装的脐橙定价为45元时，每天可实现的最大利润为4500元. 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及二次函数求最值的方法，解题的关键在于对二次函数性质掌握的熟练程度． 错因分析 中等题.失分原因：（1）①未能理解题意；②一次函数的实际应用不熟练；（2）①不能熟练掌握二次函数的性质；②不能将二次函数应用到实际问题中. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读下列材料：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程在的两根分别可表示为，，那么可推得，这是一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题： （1）已知方程的两根分别为、，求的值； （2）已知实数x、y满足，，求的值． 【答案】（1） （2）22或37 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，二元一次方程组的应用，完全平方公式等知识． （1）根据根与系数的关系即可求出结论； （2）设，，，，然后得出m，n的二元一次方程组求解得出m和n的值，最后把数值代入完全平方公式变形后的数字计算即可． 【小问1详解】 解：∵已知方程的两根分别为、， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：设，， ，， ∴ 解得：或， 当时，， 当时，， 综上的值为22或37． 22. 【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 【答案】（1）等腰直角三角形；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）由旋转的性质得到，，结合正方形性质得到，即可解题； （2）结合旋转的性质证明，利用全等三角形性质即可证明与的数量关系； （3）将逆时针旋转后得到，连接，得到是等腰直角三角形．再结合旋转的性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，，， 四边形为正方形， ， ， 的形状为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）答： ， 证明：将顺时针旋转后得到， ，． 又， ． ． （3）将逆时针旋转后得到，连接， 则是等腰直角三角形． 由旋转的性质可知：，． ， ， ． ， ． 六、（本大题共1小题） 23. 已知抛物线过点，． （1）求a的值； （2）平移抛物线，得到抛物线，抛物线的顶点在直线上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m． ①抛物线的函数关系式为________（用含m的式子表示）； ②求抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． （3）设抛物线的顶点为P，将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线的顶点为Q，试判断四边形是否能成为正方形，若能，求出c的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，②抛物线与y轴交点纵坐标的最小值 （3）时，四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）由点和可知抛物线的对称轴为，结合抛物线，列出方程求解即可； （2）由（1）得抛物线， ①根据平移后顶点位置得顶点的横坐标为m，顶点的纵坐标为，结合平移的性质求得抛物线； ②根据交点坐标的求法得交点纵坐标的值为，利用二次函数性质求得最小值即可； （3）首先求得，由折叠求得抛物线，联立求得和，同时求得，利用两点之间的距离求得，和，结合正方形的性质得，解得，经检验即可． 【小问1详解】 解：由题意可知点和关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为， ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，解得； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线， ①∵平移后抛物线顶点的横坐标为m，抛物线的顶点在直线上， ∴平移后抛物线顶点的纵坐标为， ∵平移抛物线，得到抛物线， ∴抛物线； ②抛物线， ∵抛物线与y轴交点纵坐标的值为， ∴抛物线与y轴交点纵坐标的最小值； 【小问3详解】 解：四边形为正方形，理由如下， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线沿x轴翻折，得到抛物线， ∴抛物线， 联立得，解得，，， ∵A在B的左侧， ∴，， ∵抛物线的顶点为Q， ∴， 则， ， ， ∵四边形为正方形， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，，，和符合题意， 综上所述，时，四边形为正方形． 【点睛】本题主要考查二次函数和几何的结合，涉及二次函数的性质、二次函数的平移、二次函数的翻折、正方形的判定和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉正方形的性质和二次函数的翻折． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 说明：1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 2．答案一律写在答题卷上，否则无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，是的半径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图,在的方格纸中,两点在格点上,线段绕某点逆时针旋转角后得到线段,点与对应,则角的大小为(　　) A. B. C. D. 5. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 8. 若二次函数的图象开口向下，则m的值为________． 9. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______． x …… 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 10. 如图，在中，、，将绕点A顺时针旋转得到、则的长为___________． 11. 车辆止退器的主要作用在汽车停车时，置于车轮与地面之间，能有效防止汽车打滑后退，如图所示是某品牌止退器的实物和示意图，已知止退器的高，长，求货车轮胎半径为________cm． 12. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），若固定，改变的位置（其中点位置始终不变），且，点在直线的上方．当的一边与的某一边平行时，则所有可能的度数为：________． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分共30分） 13. （1）解方程； （2）已知点关于原点对称的点在第四象限，求的取值范围． 14. 如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 15. 二次函数的图象与直线交于点．求a的值． 16. 如图是的正方形网格纸．请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）如图1，线段的顶点在格点上，请在图中作以点A，B为顶点的四边形，使得该四边形是中心对称图形，且其顶点均在格点上（画出一个即可）； （2）如图2，矩形的顶点都在格点上，点M是边上任意一点，请在图中画出直线，使得直线平分矩形的面积． 17. 如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． （1）求证． （2）若E为的中点，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请求出变换后新二次函数的最大值． 19. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 20. 赣南脐橙果大形正，肉质脆嫩，风味浓甜芳香，深受大家的喜爱.某脐橙生产基地生产的礼品盒包装的脐橙每箱的成本为30元，按定价50元出售，每天可销售200箱.为了增加销量，该生产基地决定采取降价措施，经市场调研，每降价1元，日销售量可增加20箱. （1）求出每天销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）若该生产基地每天要实现最大销售利润，每箱礼品盒包装的脐橙应定价多少元？每天可实现的最大利润是多少? 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读下列材料：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程在的两根分别可表示为，，那么可推得，这是一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题： （1）已知方程的两根分别为、，求的值； （2）已知实数x、y满足，，求的值． 22. 【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 六、（本大题共1小题） 23. 已知抛物线过点，． （1）求a的值； （2）平移抛物线，得到抛物线，抛物线的顶点在直线上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m． ①抛物线的函数关系式为________（用含m的式子表示）； ②求抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． （3）设抛物线的顶点为P，将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线的顶点为Q，试判断四边形是否能成为正方形，若能，求出c的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $