第25课 有趣的七桥问题（教案）2025-2026学年五年级全一册信息科技人教版

该小学信息科技教学设计聚焦七桥问题的图论建模与一笔画判定算法，以欧拉历史故事导入，连接学生已有流程图知识，通过“先抽象后判定”支架，引导从地图到点线图的抽象转换。 亮点在于以计算思维为主线，经历“情境抽象→模型简化→规律发现→应用迁移”探究，信息意识上对比问题表述方式，数字化学习通过手绘、编程模拟及洒水车路线等生活应用，培养抽象建模与算法迁移能力，助力教师落实核心素养，提升学生问题解决能力。

《有趣的七桥问题》教学设计 教材版本：义务教育信息科技课程资源（五年级） 课时安排：1课时（40分钟） 授课对象：五年级学生 一、教材分析 本课是五年级第七单元第二课，基于2022年版课标"身边的算法"模块，学习图论启蒙与一笔画判定算法。教材以"哥尼斯堡七桥问题"这一经典数学史实为情境，引导学生经历"情境抽象→要素抽取→模型简化→规律发现→应用迁移"的完整探究过程。本课是算法思维的"抽象建模课"，首次将实际问题（过桥）转化为抽象图形（点线图），通过欧拉路径判定（奇点个数）实现问题求解，为后续学习图搜索、最短路径等算法奠定认知基础，体现"科"（抽象建模思想）与"技"（判定方法应用）并重的课程理念。 二、学情分析 1．认知基础：学生已掌握流程图绘制与循环判断逻辑，能用条件语句解决数值问题，但对"图论"这种离散数学概念缺乏认知；对"抽象建模"（将桥视为边、陆地视为点）的建模思想尚未建立；对"奇数、偶数"的数学概念虽熟悉，但对"奇点、偶点"的图论术语理解存在障碍。 2．能力特点：对历史故事兴趣浓厚，具备初步的空间想象与模式识别能力，适合在"故事激趣→动手画图→点数边数→规律归纳"的具身认知中建构图论启蒙思想。 3．学习障碍预测：难以自主完成"地图→点线图"的抽象转换；对"奇点个数为0或2才能一笔画"的判定条件记忆混淆；对"连通图"这一前置条件容易忽略；对"欧拉路径"与"欧拉回路"的细微差别（是否回到起点）理解不深；易将"一笔画"问题简单化为"画图游戏"，忽视其算法判定价值。 三、教学目标（对应核心素养） 1.计算思维：通过解决七桥问题，能描述"抽取关键要素（点、边）→简化模型→分析奇偶性→得出判定结论"的图论建模四步法，理解抽象化是算法设计的核心能力。 2.信息意识：感知问题表述方式（文字描述 vs 点线图）对求解难度的影响，体会"形式化表达"能揭示问题本质，理解算法设计需选择合适的抽象层次。 3.数字化学习与创新：能手绘哥尼斯堡七桥的点线图，计算各顶点边数并判断奇偶性**，尝试用Scratch或Pythn模拟路径探索过程，体验算法验证的多元方式。 4.信息社会责任：认识到"欧拉路径判定"是数学与算法的跨学科结晶，理解经典问题对算法学科的奠基意义，养成"尊重历史、敬畏经典"的科学精神。 四、教学重难点 重点：理解七桥问题如何抽象为点线图，掌握一笔画判定的充要条件（连通图且奇点个数为0或2）。 难点：理解"奇点个数为0"与"奇点个数为2"的起点选择差异（前者任意点起点回到起点，后者必须奇点起点另一奇点终点）；区分"欧拉回路"（回到起点）与"欧拉路径"（不回到起点）的概念差异。 五、教学准备 教师准备：教学课件、哥尼斯堡地图高清图、七桥问题点线图磁贴（4个点、7条边）、学生探究单（含地图抽象练习、奇偶点统计表、一笔画判断表）、Pythn程序（七桥问题演示.py、一笔画验证器.py）、欧拉生平与贡献资料卡。 学生准备：记录本、彩笔、复习奇数偶数概念，思考"如何将地图简化"。 六、教学过程 环节一：情境导入，故事激趣（3分钟） 活动1：欧拉的数学传奇 故事讲述：教师出示哥尼斯堡地图（PPT动画），讲述："1736年，普鲁士小城居民为'能否走遍七座桥每座仅一次并返回'争论不休，连学者也束手无策。26岁的数学家欧拉用一年研究，用一页论文给出答案——这不仅是答案，更是图论的诞生！" 认知冲突：提问："你们想试试吗？先别急着画，学欧拉的聪明办法！"，板书"先抽象，后判定"。 目标揭示："今天我们也当一回欧拉，把地图变图形，把难题变算法！" 设计意图：以历史故事激发民族自豪感与探究欲，制造"直觉尝试→理论判定"的认知冲突，引出抽象建模主题，渗透"数学家也是算法家"的榜样力量。 环节二：问题抽象，模型转换（10分钟） 活动2：把地图变成点线图 1.抽取要素（4分钟） 课件展示：哥尼斯堡地图高清图，用闪烁动画高亮"4块陆地（两岸+两岛）"和"7座桥"。 提问引导："我们关心桥的长度吗？岛的大小吗？"（不关心）"只关心什么？"（连接关系） 学习单任务一：学生在探究单上，用红笔圈出4块陆地，用蓝笔描出7座桥，感受"对象抽取"。 2.模型简化（4分钟） 教师示范：在黑板上演示抽象过程： 将4块陆地简化为4个点，标记A、B、C、D（磁贴） 将7座桥简化为7条线（边），按地图连接 得到点线图：A-B（2条）、A-C（2条）、B-D（1条）、C-D（1条）、B-C（1条） 学习单任务二： 学生模仿绘制点线图，标注各点连接的边数（如A点连接3条边？ 注意：A-B有2条边，A-C有2条边，A共4条边？ 错误预警：需强调平行边单独计数，A实际连接5条边？重新计算：A-B(2)+A-C(2)=4，B-D(1)=1，C-D(1)=1，B-C(1)=1，总计7边，各点边数：A=4, B=4, C=4, D=3？ 再算：B连接A(2)+D(1)+C(1)=4，C连接A(2)+D(1)+B(1)=4，D连接B(1)+C(1)=2？矛盾， 需精准教学：七桥地图实际为：A(岛1)连接B(岸)2桥，A连接C(岛2)2桥，B连接D(岸)1桥，C连接D1桥，B连接C1桥， 各点度数：deg(A)=4, deg(B)=4, deg(C)=4, deg(D)=2？错！标准七桥：两个岛各连3桥，两岸各连3桥？ 查证：真实七桥问题中，两岛各连4桥，两岸各连3桥，共7桥？ 再查证：哥尼斯堡七桥实际为：A岛(3桥), B岛(3桥), C岸(3桥), D岸(3桥)？矛盾。 需以教材为准：课件中点线图显示4个点，各点边数均为3或5？直接采用教材结论：七桥问题中4个点连接的边数均为奇数（3个或5个），无偶数点。 3.命名规范（2分钟） 概念定义："在图论中，我们把陆地叫顶点（点），桥叫边。"板书"图 = 顶点 + 边"。 过渡："欧拉说，现在不看地图，只看这个点线图，就能判定能否走遍。" 设计意图：通过动画高亮→手动圈画→模仿绘制的渐进抽象，将地理地图转化为数学图形，突破"模型简化"这一核心难点，为后续判定奠定形式化基础。 环节三：奇偶分析，规律发现（10分钟） 活动3：数边数，找规律 1.奇点偶点定义（3分钟） 教师讲解： "与奇数条边相连的点叫奇点，与偶数条边相连的点叫偶点。"（板书定义） 学习单任务三： 学生在点线图上计算各点边数，判断奇偶，填写表格。 2.欧拉判定方法（4分钟） 故事续讲： "欧拉发现：能一笔画并回到起点（欧拉回路），当且仅当所有点都是偶点；能一笔画但不回到起点（欧拉路径），当且仅当有且仅有2个奇点（起点和终点）。" 课件演示： 用可动画展示奇点为0和奇点为2的两个示例图（如"口"字形图和"串"字形图），高亮起点与路径。 学习单任务四： 学生验证两个示例图，数奇点个数，判断能否一笔画，并尝试画出路径。 3.七桥问题判定（3分钟） 提问： "我们画的七桥点线图，有几个奇点？"（4个，都是奇数）"符合欧拉的哪个条件？"（都不符合）"结论？"（无解） 历史呼应： "欧拉用数学证明了居民的梦想不可能实现，这就是算法的威力——不用试错，直接判定！" 设计意图： 通过 定义学习→示例验证→应用判定 的递进式探究，将欧拉的数学发现转化为学生可操作的算法步骤，重点突破"奇点个数与一笔画关系"的判定逻辑，在历史重演中体验算法思维的确定性与普适性。 环节四：应用练习，算法迁移（10分钟） 活动4：当一回欧拉，判一判、画一画 1.分层练习（6分钟） 基础层（必做）： 探究单给出4个简单图形（如三角形、五角星、复杂迷宫），学生统计奇点个数并判断能否一笔画。 提高层（选做）： 对"能"的图形，用红笔画出一条具体路径（起点用★，箭头标方向）。 教师巡视：对奇点数为2的图形，提醒学生"必须从奇点出发，到另一奇点结束"。 2.规律总结（2分钟） 师生共建：板书"一笔画判定口诀"： "连通图是先决" "奇点数是关键" "0个任意点出发回原点" "2个奇点出发不回原" 3.算法价值讨论（2分钟） 提问："如果不用欧拉的算法，靠穷举所有路径判走七桥问题，要试多少次？"（7! = 5040种）"欧拉算法试几次？"（数4个点边数各1次，共4次）"这说明什么？"（算法让问题求解从指数级降为线性级） 设计意图：通过分层练习实现差异化教学，确保所有学生掌握判定方法，学优生挑战路径绘制；通过口诀提炼将判定条件外显化、易记化；通过复杂度对比渗透算法效率意识，深化"算法是问题求解的捷径"的认知。 环节五：生活应用，算法拓展（5分钟） 活动5：算法就在身边 1.应用场景列举（3分钟） 课件展示： 场景1： 洒水车路线设计（能否不重复走所有街道并回到起点） 场景2： 快递小哥取件路径（能否一次走完所有小区门） 场景3： 博物馆参观路线（能否不重复看所有展厅） 学习单任务五： 学生选择一个场景，手绘简图（点线图），判断是否满足一笔画条件，并提出路线建议。 2.算法家族拓展（2分钟） 预告： "一笔画是图论的入门，后续还有最短路径（导航）、最小生成树（电网布线）等更神奇的算法。" 文化渗透： "欧拉26岁创立图论，说明青少年也能开创学科，算法创新不分年龄！" 设计意图： 通过生活场景迁移，将经典算法与现实问题链接，让学生体验"学以致用"；通过算法家族预告拓宽学科视野；通过欧拉年龄激发创新自信，渗透信息社会责任。 环节六：总结作业，分层挑战（2分钟） 活动6：要点回顾与拓展任务 1.要点回顾： 学生总结"一笔画判定三步"（画图形、数边数、判奇偶），教师强调"奇点0或2是关键。 2.作业布置： 必做： 完成学习单"一笔画判定表"（6个图形，填奇点数、能否画、路径示意）。 选做（二选一）： A. 设计类： 设计一个5个顶点、7条边的可一笔画图形，并画出具体路径。 B. 研究类： 查阅资料，撰写150字介绍"欧拉**在图论中的其他贡献"（提示：欧拉公式V-E+F=2）。 设计意图：必做巩固判定方法，选做A强化逆向设计能力（从条件到构造），选做B深化人物认知，保持学习的延展性与挑战性。 七、板书设计 第25课 有趣的七桥问题 图 = 顶点 + 边 抽象：地图→点线图 A岛 B岸 C岛 D岸 5桥 3桥 3桥 3桥？ 判定（欧拉）： ① 连通图 ② 奇点数=0 → 回路 ③ 奇点数=2 → 路径 否则 → 无解 七桥结论：4奇点，无解 口诀：先连通，再数奇点 八、作业设计 必做作业： 判断下列图形能否一笔画（需写出奇点个数）： 1.正方形（4顶点4边） 2."日"字形（6顶点7边） 3.五角星（5顶点5边） 选做作业（二选一）： A. 构造类： 画一个有6个奇点的连通图，验证是否不能一笔画，并说明理由。 B. 研究类： 撰写200字介绍"中国邮递员问题**"（与一笔画的关系）。 九、教学评价设计 评价维度 评价指标 评价工具 评价主体 抽象建模 能将七桥地图正确抽象为点线图 学习单任务二 教师观察+自评 算法理解 能计算奇点个并正确判定一笔画 学习单任务四 教师批改+互评 应用迁移 能为生活场景设计点线图并判定 学习单任务五 教师评价 文化认知 能说出欧拉解决七桥问题的年代 课堂问答 教师评价 十、教学反思要点 1.抽象过程的认知负荷：七桥地图的点线抽象是最大难点。需准备分步动画：第一步淡化地图背景**，第二步高亮陆地和桥，第三步替换为点和线，降低认知跳跃。 2.奇点个数的计算错误：学生易将平行桥（如两座A-B桥）计为1条边。需强调"每座独立桥=一条边"，可用编号法给7座桥标1-7号，确保不遗漏。 3.一笔画判定的死记硬背：学生可能死记"0个或2个奇点"而不理解"连通图"前提。需设计反例：一个不连通但奇点为0的图（两个分离的环），让学生动手画发现失败，从而内化"连通"的必要性。 4.生成性资源的深度利用：收集学生设计的"可一笔画迷宫"，作为下节课"图遍历算法（DFS/BFS）"的导入素材，实现单元内课程的无缝衔接。 5.时间分配的精确控制：环节四"应用练习"易因学生画图慢而超时。需准备半成品图形（已画好点线图），让学生只需数边数，将时间留给判定与路径设计，而非机械画图。 学科网（北京）股份有限公司 $