精品解析：湖北省安陆市2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

八年级数学 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 3. 如图，在中，，，是的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 点P（3，－5）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. （3，5） B. （3，－5） C. （－3，5） D. （－3，－5） 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 7. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ） A. 18° B. 24° C. 30° D. 36° 8. 下列条件中，不一定是等边三角形的是（   ） A. 有两个角是的三角形 B. 有一个角是的等腰三角形 C. 有两个外角相等的等腰三角形 D. 三边都相等的三角形 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 10. 如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积为4．其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是__________． 12. 如图，，请根据图中提供的信息，写出的值为______． 13. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 14. 如图，在中，，，且，则的度数为______． 15. 如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时，________度．的周长的最小值是______． 三、解答题（共9题，共分75分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 17. 如图，在中，平分，是边上的高，，．求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴对称的； （2）写出点，，的坐标(直接写答案)： （3）求的面积． 19. 如图，在中，，，为的中点，于． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 21. 在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 22. 在等边中，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作等边，连接． （1）如图1，当点在线段上时，求； （2）如图2，当点在的延长线上时，探究线段之间的等量关系，并证明你的结论． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为 ，的度数为 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的定义，将图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形． 根据轴对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：由符号由一条竖线和一条横线组成，横线在竖线中点，沿垂直或水平轴对折后两部分能完全重合，它是轴对称图形，即D选项符合题意； 由符号由斜线和等号组成，无对称轴；由斜线和水平线组成，无对称轴；由波浪线组成，无对称轴，均不是轴对称图形，即A、B、C均不符合题意． 故选D． 2. 在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．模型中三角形架子是其主要结构，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构， 这种设计的原理是三角形具有稳定性， 故选：A． 3. 如图，在中，，，是的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角等于不相邻两内角之和是解题的关键． 先根据三角形内角和定理以及角平分线的定义可得，再运用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的外角， ∴． 故选：A． 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 点P（3，－5）关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. （3，5） B. （3，－5） C. （－3，5） D. （－3，－5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答． 【详解】解：点P（3，-5）关于x轴对称的点的坐标为（3，5）． 故选：A． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解． 【详解】解：设所求多边形边数为n，由题意得 （n﹣2）•180°＝360°×2 解得n＝6． 则这个多边形是六边形． 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°． 7. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ） A. 18° B. 24° C. 30° D. 36° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求得∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36° ∴∠C＝72° ∵BD是AC边上的高 ∴∠DBC＝180°-90°-72°＝18° 故选A． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 8. 下列条件中，不一定是等边三角形的是（   ） A. 有两个角是的三角形 B. 有一个角是的等腰三角形 C. 有两个外角相等的等腰三角形 D. 三边都相等的三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定条件，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法． 根据各选项结合等边三角形的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 有两个角是的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； B. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，该选项不符合题意； C. 有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该选项符合题意； D. 三边都相等的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 10. 如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③；④四边形的面积为4．其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的性质与判定、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及证明是解题的关键． ①由题意得是等腰直角三角形，由三线合一可得，平分，从而可证，，结合，利用同角的余角相等可证，通过可证；②根据全等三角形的性质得，结合可证是等腰直角三角形；③根据全等三角形的性质得，结合可证，则，利用三角形三边关系即可判断；④根据全等三角形的性质得，则四边形的面积可转化为的面积，进而求得的面积． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是的中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积是4，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是__________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系，确定的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系得， 所以x的取值范围是． 故答案为：4（答案不唯一）． 12. 如图，，请根据图中提供的信息，写出的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，由角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键． 先利用三角形的内角和定理求出，再根据全等三角形对应边相等即可解答． 【详解】解：如图，， ∵， ，即． 故答案为：18． 13. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解： 是的垂直平分线．， 的周长 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 14. 如图，在中，，，且，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设，则．易得，，再根据三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：设，则． ∵， ∴，， ∵是的外角， ∴． 故答案为． 15. 如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时，________度．的周长的最小值是______． 【答案】 ①. 120 ②. 【解析】 【分析】分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小，连接，，由轴对称的性质得，，结合得到，进而推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小． 连接，， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值． 故答案为：120；． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 三、解答题（共9题，共分75分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】略 17. 如图，在中，平分，是边上的高，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、三角形的角平分线、三角形的高线等知识点，熟练掌握三角形的角平分线的定义、直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义可得，再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差再求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ． 是的平分线， ， 是边上的高， ； 在中，， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴对称的； （2）写出点，，的坐标(直接写答案)： （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2），， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图轴对称变换，点的坐标，利用网格求三角形的面积．解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作出点、、关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）结合图形直接得出三个点的坐标； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图知，，，； 【小问3详解】 解：的面积是． 19. 如图，在中，，，为的中点，于． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得，再根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图：连接，根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：，， ， 于， ， ． 【小问2详解】 解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 20. 证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 【答案】 已知：如图，在中，，是的中点，于，于． 求证：． 证明：连接， ，是中点， 为的平分线（三线合一的性质）， 又，， ∴， ∵， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确画出图形、写出已知和求证是解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证；证明：连接，根据等腰三角形的性质以及证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 21. 在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 【答案】货轮到达处时与灯塔的距离是20海里． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，根据题意得出，进而根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， ， 又， ， 是等边三角形， （海里）， 答：货轮到达处时与灯塔的距离是20海里． 22. 在等边中，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作等边，连接． （1）如图1，当点在线段上时，求； （2）如图2，当点在的延长线上时，探究线段之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） ．证明如下： 是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ，即， ， 在和中， ， ， ， 又且， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可得，最后根据角的和差即可解答； （2）先根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点，使得，连接、． （1）A点的坐标为 ，的度数为 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） ，；理由如下： 设与轴交于点，与交于点， ∵， ∴． 在和中，，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，； （3）①； ②，理由： 延长交于点， ∵，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）先求出a，b的值，即可得出点，点B的坐标，可得，进而得出； （2）设与轴交于点，与交于点，先证明，得出，，进而得出，即可得出位置关系； （3）①作轴，轴，由点的坐标得，，先证明，可得点D的坐标； ②延长交于点，先证明，得出，再根据角平分线定义和已知证明，可得，可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴点的坐标为，点， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①过点D作轴交轴于点，轴交轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， 由（2）知，． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴； ②略 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，非负数的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $