浙江省宁波市鄞州区十二校联考2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

2025-2026学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列词语所描述的事件中是不可能事件的是（　　） A．温故知新 B．水滴石穿 C．水中捞月 D．日出东方 2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 3．（3分）已知⊙O的半径为6cm，若点P在⊙O外，则OP的长度可能是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 4．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，所得函数图象的表达式是（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+1 5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则边BC的长为（　　） A．5 B．12 C． D．25 6．（3分）如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E，AB∥EF∥DC，若BE：ED＝3：5，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，AB是半圆O的直径，∠DAC＝25°，等于，则∠DAB＝（　　） A．25° B．50° C．60° D．65° 8．（3分）下列关于二次函数y＝x2﹣mx+m﹣3（m为常数）的结论：①该函数的图象与x轴总有两个交点；②若x＞1时，y随x的增大而增大，则m＝2；③无论m为何值，该函数图象必经过一个定点；④该函数图象的顶点一定不在直线y＝﹣2的上方．上述四个判断正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC，AC分别于点D、E，连结BE、AD相交于点P，连结DE，若tanC＝2，求的值（　　） A． B． C． D． 10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A．当x1＞x2+2时，S1＞S2 B．当x1＜2﹣x2时，S1＜S2 C．当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2 D．当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2 二．填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）若，求　 　 ． 12．（3分）一个不透明的袋子里装有两个小球红色，两个小球黑色，一个小球白色，它们除颜色外均相同，从中任取一个小球，求抽到黑色或白色的概率为　 　 ． 13．（3分）半径为5，圆心角为120°的扇形的面积为　 　 ． 14．（3分）在准备学校运动会时，小甬对自己的某次实心球训练的视频进行分析，发现实心球的飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小甬此次实心球训练的成绩为　 　 米． 15．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC且CE⊥AB．若，AE＝4，则弦BC的长为　 　 ． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，将直线BD绕点O按逆时针方向旋转90°，分别交直线BC，直线AD于点E、F，得到直线EF，若，求的值　 　 ． 三．解答题（17题6分，18-21题每题8分，22题10分，23和24题每题12分，共72分） 17．（6分）计算：cos30°•tan60°﹣sin45°•cos45°． 18．（8分）在宁波市发布推行中小学春秋假制度的文件后，小宁家和小波家准备利用春秋假去旅行，看祖国的大好河山，他们都准备在成都、长沙、北京三个城市中选择一个城市游玩． （1）若从这三个地方随机选择一个地方，则选到成都的概率是　 　 ； （2）若小宁家和小波家都随机从中选择一个地方，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选到长沙的概率． 19．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，已知格点△ABC，即三个顶点都在小正方形顶点处的三角形，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列各题（要求保留作图痕迹，不要求写做法和结论）． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一种即可） （2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：3． 20．（8分）如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120cm，BD＝80cm，∠ABD＝90°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5cm，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到1cm，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面PF的距离． （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大∠ABD，则当∠ABD从90°增大到105°后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 21．（8分）已知：四边形ABCD的两条对角线相交于点P，∠ADB＝∠BCA． （1）求证：△APD∽△BPC． （2）若DP＝3，AP＝5，CD＝4，求AB的长． 22．（10分）今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面AB宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． （1）若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式． （2）已知小兰的身高是165cm，桨板厚度为15cm，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少20cm） 23．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），其对称轴是直线x＝2． （1）求二次函数的表达式． （2）若a＜0，当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． （3）当t﹣1≤x≤t时，若二次函数的最大值和最小值的差为5，求t的值． 24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∠BAD，连结BD交AC于点E． （1）求证：△ABC∽△BEC． （2）若AB＝AC，BE＝6，EC＝4，求△ABD和△BCD的面积比． （3）求证：AC2＝BC2+AB•AD． 2025-2026学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级（上）月考数学试卷（12月份） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B A C D C A C 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列词语所描述的事件中是不可能事件的是（　　） A．温故知新 B．水滴石穿 C．水中捞月 D．日出东方 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【解答】解：根据不可能事件的概念逐项分析判断如下； A、温故知新是必然事件，不符合题意； B、水滴石穿是必然事件，不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，符合题意； D、日出东方是必然事件，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了事件的分类，理解并掌握不可能事件的概念是解题的关键． 2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1） 【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标（2，1）， 故选：A． 【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 3．（3分）已知⊙O的半径为6cm，若点P在⊙O外，则OP的长度可能是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，点P在⊙O外， ∴OP＞6，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 4．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，所得函数图象的表达式是（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+1 【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式． 【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0）， 把点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点（1，2）， 所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+2． 故选：B． 【点评】本题考查了函数图象与几何变换：抛物线的平移转化为顶点的平移． 5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则边BC的长为（　　） A．5 B．12 C． D．25 【分析】先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴AC＝AB•sinB＝1312， ∴BC5， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（3分）如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E，AB∥EF∥DC，若BE：ED＝3：5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由AB∥DC，证明△ABE∽△CDE，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AC与BD相交于点E，AB∥DC， ∴△ABE∽△CDE， ∵BE：ED＝3：5， ∴， 故选：C． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△CDE是解题的关键． 7．（3分）如图，AB是半圆O的直径，∠DAC＝25°，等于，则∠DAB＝（　　） A．25° B．50° C．60° D．65° 【分析】连接BD，因为AB是半圆O的直径，所以∠ADB＝90°，由，根据圆周角定理得∠ABD＝∠DAC＝25°，则∠DAB＝90°﹣∠ABD＝65°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BD， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵， ∴∠ABD＝∠DAC＝25°， ∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝65°， 故选：D． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 8．（3分）下列关于二次函数y＝x2﹣mx+m﹣3（m为常数）的结论：①该函数的图象与x轴总有两个交点；②若x＞1时，y随x的增大而增大，则m＝2；③无论m为何值，该函数图象必经过一个定点；④该函数图象的顶点一定不在直线y＝﹣2的上方．上述四个判断正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】通过计算根的判别式的值得到Δ＞0，从而可对①进行判断；先求出抛物线的对称轴为直线x，根据二次函数的性质得到当x时，y随x的增大而增大，若x＞1时，y随x的增大而增大，则1，从而可对②进行判断；由于x＝1时，y＝x2﹣mx+m﹣3＝﹣2，所以该函数图象经过定点（1，﹣2），从而可对③进行判断；利用配方法得到顶点的纵坐标为m2+m﹣3，利用配方法得到m2+m﹣3（m+2）2﹣2≤﹣2，从而可对④进行判断． 【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣3）＝m2﹣4m+12＝（m﹣2）2+8＞0， ∴该函数的图象与x轴总有两个交点，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x， ∴当x时，y随x的增大而增大， 若x＞1时，y随x的增大而增大，则1， 解得m≤2，所以②错误； ∵当x＝1时，y＝x2﹣mx+m﹣3＝﹣2， ∴无论m为何值，该函数图象必经过定点（1，﹣2），所以③正确； ∵y＝x2﹣mx+m﹣3＝（xm）2m2+m﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（m，m2+m﹣3）， ∵m2+m﹣3（m+2）2﹣2≤﹣2， ∴该函数图象的顶点一定不在直线y＝﹣2的上方，所以④正确． 故选：C． 【点评】题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC，AC分别于点D、E，连结BE、AD相交于点P，连结DE，若tanC＝2，求的值（　　） A． B． C． D． 【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ADC＝∠ADB＝90°，则∠DAB＝∠ABC＝45°，所以AD＝BD，推导出ABBD，由tanC＝2，得AD＝2DC，则ACDC，所以，再证明△DEC∽△ABC，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠DAB＝∠ABC＝45°， ∴AD＝BD， ∴ABBD， ∵tanC＝2， ∴AD＝2DC， ∴ACDC， ∴， ∴∠DEC+∠AED＝180°，∠ABC+∠AED＝180°， ∴∠DEC＝∠ABC， ∵∠C＝∠C， ∴△DEC∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，证明△DEC∽△ABC是解题的关键． 10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A．当x1＞x2+2时，S1＞S2 B．当x1＜2﹣x2时，S1＜S2 C．当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2 D．当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2 【分析】不妨假设a＞0，利用图象法一一判断即可． 【解答】解：不妨假设a＞0． A．如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2， ∵P1P2∥AB， ∴S1＝S2，故A错误． B．当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2， 则S1＞S2，故B错误． C．∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1， ∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大， ∴S1＞S2，故C正确． D．如图2中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误． 故结论正确的是：C． 同理，a＜0时，结论正确的是：C． 故答案为：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二．填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）若，求　　 ． 【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴y＝2x， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（3分）一个不透明的袋子里装有两个小球红色，两个小球黑色，一个小球白色，它们除颜色外均相同，从中任取一个小球，求抽到黑色或白色的概率为　　 ． 【分析】根据概率公式直接求出结果． 【解答】解：∵从中任取一个小球共有5种等可能结果，其中抽到黑色或白色的有3种结果， ∴抽到黑色或白色的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．（3分）半径为5，圆心角为120°的扇形的面积为　π　 ． 【分析】直接利用扇形的面积公式S，进而求出即可． 【解答】解：∵半径为5，圆心角为120°的扇形， ∴S扇形π． 故答案为：π． 【点评】此题主要考查了扇形面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键． 14．（3分）在准备学校运动会时，小甬对自己的某次实心球训练的视频进行分析，发现实心球的飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小甬此次实心球训练的成绩为　9　 米． 【分析】小甬此次实心球训练的成绩就是抛物线yx2x与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可． 【解答】解：当y＝0时，即yx2x0， 解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝9， 所以小甬此次实心球训练的成绩为9米， 故答案为：9． 【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 15．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC且CE⊥AB．若，AE＝4，则弦BC的长为　4　 ． 【分析】延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，先由圆周角定理的推论证明∠BAD＝∠BCD＝90°，再证明四边形AECD是平行四边形，则AE＝CD＝3，根据勾股定理即可得出答案． 【解答】解：延长AE交BC于M，延长CE交AB于N， ∵AE⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AMB＝∠CNB＝90°， 由题意可得：∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB， ∴AD∥NC，CD∥AM， ∴AE＝CD＝3， ∴． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，将直线BD绕点O按逆时针方向旋转90°，分别交直线BC，直线AD于点E、F，得到直线EF，若，求的值　　 ． 【分析】由题易得，进而可设OE＝1，则OB＝OC＝2，BD＝4，再利用勾股定理求出BE、CD、BC，可得CE，从而发现△GEC两个角固定，据此求出CG，即可得解． 【解答】解：由题可知∠BOE＝90°＝∠BCD， ∴△BOE∽△BCD， ∴， 可设OE＝1，则OB＝2，BD＝4， 在矩形ABCD中，AC＝BD， ∴OC＝OB＝2， 在Rt△BCD中，BD＝4，， ∴CD，BC， 在Rt△BOE中，BE， ∴CE＝BC﹣BE， 过G作GQ⊥BC于点Q， 则GQ∥CD∥CD， ∴△EGQ∽△ECD，△CGQ∽△CAB， ∴，， 设GQEQ， ∴CQEQ， ∵CE＝GQ+EQEQ， ∴EQ，GQ，CQ， 在Rt△GCQ中，CG， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三．解答题（17题6分，18-21题每题8分，22题10分，23和24题每题12分，共72分） 17．（6分）计算：cos30°•tan60°﹣sin45°•cos45°． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：cos30°•tan60°﹣sin45°•cos45° ＝1． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（8分）在宁波市发布推行中小学春秋假制度的文件后，小宁家和小波家准备利用春秋假去旅行，看祖国的大好河山，他们都准备在成都、长沙、北京三个城市中选择一个城市游玩． （1）若从这三个地方随机选择一个地方，则选到成都的概率是　　 ； （2）若小宁家和小波家都随机从中选择一个地方，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选到长沙的概率． 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选到成都的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及他们同时选到长沙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选到成都的结果有1种， ∴选到成都的概率为． 故答案为：． （2）将成都、长沙、北京分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9种等可能的结果，其中他们同时选到长沙的结果有1种， ∴他们同时选到长沙的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4的网格，已知格点△ABC，即三个顶点都在小正方形顶点处的三角形，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成下列各题（要求保留作图痕迹，不要求写做法和结论）． （1）在图1中，画△EAC，使点E在格点上，且△EAC与△ABC相似；（只需画出一种即可） （2）在图2中，线段AB上找一点D，使BD：DA＝1：3． 【分析】（1）根据相似三角形的判定作图； （2）取格点E，连接CE交AB于点D，则点D即为所求． 【解答】解：（1）如图1所示，△EAC即为所求（答案不唯一）； （2）如图2所示，点D即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣相似变换，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 20．（8分）如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB＝120cm，BD＝80cm，∠ABD＝90°，∠BDQ＝60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF＝5cm，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到1cm，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面PF的距离． （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大∠ABD，则当∠ABD从90°增大到105°后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 【分析】（1）通过构造直角三角形，利用60°角的正弦值求出 BD 对应的竖直高度，再加EF 的长度，得到B到地面的距离为74cm； （2）分∠ABD＝90°和105°两种情况，用对应角度的三角函数求AB的竖直高度，结合B到地面的距离算出A的高度，作差得增加了15cm． 【解答】解：如图，过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N， ， ∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，∴MH＝ND，EF＝HG＝5，BM//DH，∴∠NBD＝∠BDQ＝60°，（1）由图可得：B到地面PF的距离为MG， 在Rt△BND中， ∵∠NBD＝60°，BD＝80cm， ∴ND＝BD×sin60°＝（80）cm≈69cm， ∵MG＝MH+HG＝ND+EF，EF＝5cm， ∴MG＝（69+5）cm＝74cm． 故B到地面PF的距离为74cm； （2）最高点A到地面的高度为AG＝AM+MG＝AM+74cm， 当∠ABD＝90°时， ∠ABM＝∠ABD﹣∠NBD＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△ABM中， ∵AB＝120cm，∠ABM＝30°， ∴AM＝AB×sin∠ABM＝AB×sin30°＝60cm， ∴AG＝（60+74）cm＝134cm， 当∠ABD＝105°时， ∠ABM＝45°， 同理得AM＝60cm≈85cm， ∴AG＝159cm， ∴Δh＝（159﹣134）cm＝15cm． 故当∠ABD从90°增大到105°后，展板的最高点A到地面的高度增加了15cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题． 21．（8分）已知：四边形ABCD的两条对角线相交于点P，∠ADB＝∠BCA． （1）求证：△APD∽△BPC． （2）若DP＝3，AP＝5，CD＝4，求AB的长． 【分析】（1）由四边形ABCD的两条对角线相交于点P，得∠APD＝∠BPC，而∠ADB＝∠BCA，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△APD∽△BPC． （2）由相似三角形的性质得，变形为，因为∠APB＝∠DPC，所以△APB∽△DPC，而DP＝3，AP＝5，CD＝4，所以，求得ABCD． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点P， ∴∠APD＝∠BPC， ∵∠ADB＝∠BCA，即∠ADP＝∠BCP， ∴△APD∽△BPC． （2）∵△APD∽△BPC， ∴， ∴， ∵∠APB＝∠DPC， ∴△APB∽△DPC， ∵DP＝3，AP＝5，CD＝4， ∴， ∴ABCD4， ∴AB的长是． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明△APB∽△DPC是解题的关键． 22．（10分）今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面AB宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． （1）若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式． （2）已知小兰的身高是165cm，桨板厚度为15cm，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少20cm） 【分析】（1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点A，C的坐标，然后代入求解即可； （2）根据题意可知当y＝1.65+0.15+0.2＝2时，解方程求出x的值即可确定安全行驶的范围． 【解答】解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系， 由题意得OA＝OBAB＝12米，点C的坐标为（0，5）， ∴点A的坐标为（﹣12，0）， 设抛物线的表达式为y＝ax2+5（a≠0）， 把A（﹣12，0）代入，得144a+5＝0， 解得：a， ∴该抛物线的表达式为yx2+5； （2）∵165+15+20＝200（cm）＝2（m）， ∴当y＝2时，x2+5＝2， 解得x1，x2， ∴在河道中可通行的安全范围是x． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系并得到对应的坐标，利用待定系数法求解是解决本题的关键． 23．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），其对称轴是直线x＝2． （1）求二次函数的表达式． （2）若a＜0，当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． （3）当t﹣1≤x≤t时，若二次函数的最大值和最小值的差为5，求t的值． 【分析】（1）由对称轴易得b值，再将点A代入即可； （2）易得a+2＜2，在对称轴左侧，根据增减性比较即可得解； （3）根据对称轴和范围的关系分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）由对称轴是直线x＝2得，， 解得b＝﹣4， 把A（﹣1，0）代入得y＝x2﹣4x+c， 解得c＝﹣5， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5． （2）∵a＜0， ∴a+2＜2， ∴当a≤x≤a+2时，在x＝a+2时，取到函数的最小值 ∴（a+2）2﹣4（a+2）﹣5＝2a， 解得， ∵a＜0， ∴． （3）当x＝t﹣1时，y＝（t﹣2）2﹣4（t﹣2）﹣5＝t2﹣6t， 当x＝t时，y＝t2﹣4t﹣5， 当x＝2时，y＝﹣9， 当t≤2时，有图象可知，x＝t﹣1取到最大值，当x＝t时取到最小值， ∴t2﹣6t﹣（t2﹣4t﹣5）＝5， 解得t＝0； 当2＜t＜3时，x＝t﹣1或t时取到最大值，在x＝2时取得最小值， ∴t2﹣6t﹣（﹣9）＝5或t2﹣4t﹣5﹣（﹣9）＝5， 解得或（舍）； 当t≥3时，x＝t﹣1取到最小值，当x＝t时取到最大值， ∴t2﹣4t﹣5﹣（t2﹣6t）＝5， 解得t＝5； 综上所述，t＝0或t＝5． 【点评】本题主要考查了二次函数解析式、二次函数增减性、二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键． 24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∠BAD，连结BD交AC于点E． （1）求证：△ABC∽△BEC． （2）若AB＝AC，BE＝6，EC＝4，求△ABD和△BCD的面积比． （3）求证：AC2＝BC2+AB•AD． 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠CBD＝∠CAD，由角平分线定义得∠BAC＝∠CAD，即可证得结论； （2）过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G，可证得△CAB∽△CBE，可得，即，求得AE＝5，再证得△AEF∽△CEG，即可求得答案； （3）先证明△ACB∽△ADE，可得AC•AE＝AB•AD，即AC2﹣AC•CE＝AB•AD，再证得△CBE∽△CAB，可得AC•CE＝BC2，即可证得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠CBD＝∠CAD， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴∠CBD＝∠BAC， ∴△ABC∽△BEC． （2）解：如图，过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴， ∴∠BAC＝∠CBD， ∴△CAB∽△CBE， ∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，， 又∵BE＝6，EC＝4， ∴BC＝BE＝6， ∴， ∴AE＝5， ∵AF⊥BD，CG⊥BD， ∴∠AFE＝∠CGE＝90°， ∵∠AEF＝∠CEG， ∴△AEF∽△CEG， ∴， ∴； （3）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠CAD， ∵， ∴∠ACB＝∠ADB， ∴△ACB∽△ADE， ∴， ∴AC•AE＝AB•AD， ∴AC•（AC﹣CE）＝AB•AD， ∴AC2﹣AC•CE＝AB•AD， ∵， ∴∠CBD＝∠BAC， ∵∠BCE＝∠ACB， ∴△CBE∽△CAB， ∴， ∴AC•CE＝BC2， ∴AC2﹣BC2＝AB•AD， 即AC2＝BC2+AB•AD． 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质和相似三角形的性质是解题关键． 第25页（共25页） 学科网（北京）股份有限公司 $