浙江省温州市新星学校2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年浙江省温州市新星学校八年级(上)第一次月考数学试卷 一.选择题(本题有10个小题,每小题3分共30分) 1.(3分)第33届夏季奥运会在法国巴黎举行,如图所示巴黎奥运会项目图标中,属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(3分)若一个三角形的两边长分别为3cm和8cm.则第三边长可能是( ) A.3cm B.9cm C.2cm D.11cm 3.(3分)下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形类型的是( ) A. B. C. D. 4.(3分)下列条件中,可以判定 ABC是等腰三角形的是( ) A.∠B=40 ,∠C=80 B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.2∠A=∠B+∠C D.三个角的度数之比是2:2:1 5.(3分)对于命题“如果∠1+∠2=90 ,那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是( ) A.∠1=∠2=45 B.∠1=40 ,∠2=50 C.∠1=50 ,∠2=50 D.∠1=40 ,∠2=40 6.(3分)下列图形中,正确画出AC边上的高的是( ) A. B. C. D. 7.(3分)如图, ABC与 A'B'C′关于直线l对称,∠B=35 ,∠C'=50 ,则∠A=( ) A.90 B.85 C.95 D.105 8.(3分)为了测出池塘两端A,B 的距离,小红在地面上选择了点O,D,C,使OA=OC,OB=OD,且点A,O,C和点B,O,D分别都在一条直线上,小红认为只要量出D,C的距离,就能知道AB,小红是根据 OAB≌ OCD来判断AB=DC的,那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 9.(3分)如图,在Rt ABC中,∠C=90 .以点A为圆心,适当的长为半径画弧,分别交AB,AC于D,E两点,再分别以点D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧交于点F,射线BF交AC于点G,若CG=4,AB=8,则 ABG的面积为( ) A.12 B.16 C.24 D.32 10.(3分)如图, ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,点E是AC边的中点,点P是AD上的一个动点,当PC+PE最小时,∠CPE的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 二.填空题(本题有8个小题,每小题4分共32分) 11.(4分)写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 . 12.(4分)等腰三角形的一个外角度数为80 ,则顶角度数为 . 13.(4分)如图所示的是一款手机支架,能非常方便地支起手机,由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的 . 14.(4分)一副三角板按如图所示叠放在一起,则图中∠ 的度数是 . 15.(4分)如图,在 ABC中,AB=9,AC=7,AD为中线,则 ABD与 ACD的周长之差的值为 . 16.(4分)如图,已知 ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为 . 17.(4分)若等腰三角形的两边长分别为4和6,则其周长是 . 18.(4分)如图1,正方形ABCD被分割成五部分,其中①②③④为四个全等的四边形,⑤为正方形,且①②③④恰好可以拼成图2的正方形EFGH.若在正方形EFGH中,恰有MG=2HM,则 . 三.解答题(本题有6大题,共58分) 19.(10分)看图填空:如图,已知AC∥DF,AD=BE,AC=DF,试说明 ABC≌ DEF. 证:∵AC∥DF ∴∠ ①=∠FDE(两直线平行,同位角相等) ∵AD=BE ∴ ②=BE+DB;即: ③=DE 在 ABC和 DEF中 ∴ ABC≌ DEF( ⑥). 20.(10分)如图,已知点A,B以及直线l. (1)用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线,交直线l于点P. (2)在(1)所作的图中,M,N是直线l上的两点.若AM=PN,BN=PM.求证:∠MAP=∠NPB. 21.(10分)如图, ABC中,AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F,且AB=CE,作AD⊥BC交BC于点D. (1)若∠BAE=44 ,求∠C的度数. (2)若AC=7cm, ABC的周长为17cm,求DC的长. 22.(11分)根据以下素材,探索完成任务. 荡秋千问题 素材1 如图1,小丽与爸妈在公园里荡秋千,开始时小丽坐在秋千的起始位置,且起始位置与地面垂直. 素材2 如图2,小丽从秋千的起始位置A处,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m,∠BOC=90 . 问题解决 任务1 OBD与 COE全等吗?请说明理由; 任务2 当爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面有多高? 23.(17分)在等腰 ABC中,AB=AC,点D是AC上一动点,点E在BD的延长线上,且AB=AE,AF平分∠CAE交DE于点F,连接FC. (1)如图1,求证:∠ABE=∠ACF; (2)如图2,当∠ABC=60 时,在BE上取点M,使BM=EF,连接AM.求证: AFM是等边三角形; (3)如图3,当∠ABC=45 ,且AE∥BC时,求证:BD=2EF. 2025-2026学年浙江省温州市新星学校八年级(上)第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A D C B B C 一.选择题(本题有10个小题,每小题3分共30分) 1.(3分)第33届夏季奥运会在法国巴黎举行,如图所示巴黎奥运会项目图标中,属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据题意利用轴对称的定义“根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形”对答案逐一分析即可得到答案. 【解答】解:A,C,D选项中的图形不能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形, B选项中的图形能找到这样的一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形. 故选:B. 【点评】本题考查轴对称定义,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形. 2.(3分)若一个三角形的两边长分别为3cm和8cm.则第三边长可能是( ) A.3cm B.9cm C.2cm D.11cm 【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围,即可解答. 【解答】解:∵三角形的两边长为3cm和8cm, ∴第三边x的长度范围是8﹣3<x<8+3, 即5<x<11, 9适合, 故选:B. 【点评】本题考查的是三角形的三边关系,掌握三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键. 3.(3分)下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能判断三角形类型的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据三角形的分类:直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可. 【解答】解:A、知道两个角,可以计算出第三个角的度数,因此可以判断出三角形类型; B、露出的角是钝角,因此是钝角三角形; C、露出的角是锐角,其他两角都不知道,因此不能判断出三角形类型; D、露出的角是钝角,因此是钝角三角形; 故选:C. 【点评】此题主要考查了三角形,关键是掌握三角形的分类. 4.(3分)下列条件中,可以判定 ABC是等腰三角形的是( ) A.∠B=40 ,∠C=80 B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.2∠A=∠B+∠C D.三个角的度数之比是2:2:1 【分析】根据选项中 ABC三个角的关系,利用三角形的内角和定理可分别求出 ABC三个角的度数,进而根据等腰三角形的判定可得出答案. 【解答】解:对于选项A, ∵∠B=40 ,∠C=80 ∴∠A=180 ﹣(∠B+∠C)=60 , 故选项A不能判定 ABC为等腰三角形; 对于选项B, ∵∠A:∠B:∠C=1:2:3, 可设∠A=k,∠B=2k,∠C=3k, 又∵∠A+∠B+∠C=180 , ∴k+2k+3k=180 , 解得:k=30 , ∴∠A=k=30 ,∠B=2k=60 ,∠C=3k=90 , 故选项B不能判定 ABC为等腰三角形; 对于选项C, ∵2∠A=∠B+∠C, 又∵∠A+∠B+∠C=180 , ∴3∠A=180 , 解得:∠A=60 , 此时不能确定∠B和∠C的度数,无法判定 ABC的形状, 故选项C不能判定 ABC为等腰三角形; 对于选项D, ∵三个角的度数之比是2:2:1, 不妨假设∠A:∠B:∠C=2:2:1, 可设∠A=2k,∠B=2k,∠C=k, ∵∠A+∠B+∠C=180 , ∴2k+2k+2=180 , 解得:k=36 , ∴∠A=2k=72 ,∠B=2k=72 ,∠C=k=36 , ∵∠A=∠B, ∴ ABC为等腰三角形, 故选项D可以判定 ABC为等腰三角形. 故选:D. 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定,三角形的内角和定理,理解等腰三角形的判定,灵活利用三角形的内角和定理进行角度的计算是解决问题的关键. 5.(3分)对于命题“如果∠1+∠2=90 ,那么∠1≠∠2.”能说明它是假命题的反例是( ) A.∠1=∠2=45 B.∠1=40 ,∠2=50 C.∠1=50 ,∠2=50 D.∠1=40 ,∠2=40 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件,但不满足结论的例子,逐项判断即可. 【解答】解:A、∠1=∠2=45 满足∠1+∠2=90 ,但不满足∠1≠∠2,满足题意; B、∠1=40 ,∠2=50 满足命题“如果∠1+∠2=90 ,那么∠1≠∠2.”,不符合题意; C、∠1=50 ,∠2=50 不满足命题“如果∠1+∠2=90 ,那么∠1≠∠2.”,不符合题意; D、∠1=40 ,∠2=40 不满足命题“如果∠1+∠2=90 ,那么∠1≠∠2.”,不符合题意; 故选:A. 【点评】考查了命题与定理的知识,理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键. 6.(3分)下列图形中,正确画出AC边上的高的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据三角形的高的概念判断即可. 【解答】解:A、图中没有画出AC边上的高,不符合题意; B、图中没有画出的BE是AC边上的高,不符合题意; C、图中没有画出AC边上的高,不符合题意; D、图中画出AC边上的高,符合题意; 故选:D. 【点评】本题考查的是三角形的高的概念,从三角形的一个顶点向对边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高. 7.(3分)如图, ABC与 A'B'C′关于直线l对称,∠B=35 ,∠C'=50 ,则∠A=( ) A.90 B.85 C.95 D.105 【分析】利用轴对称变换的性质以及三角形内角和定理求解. 【解答】解:∵ ABC与 A'B'C′关于直线l对称, ∴ ABC≌ A′B′C′, ∴∠C=∠C′=50 , ∴∠A=180 ﹣∠B﹣∠C=180 ﹣35 ﹣50 =95 . 故选:C. 【点评】本题考查轴对称的性质,三角形内角和定理,解题的关键是掌握轴对称的性质. 8.(3分)为了测出池塘两端A,B 的距离,小红在地面上选择了点O,D,C,使OA=OC,OB=OD,且点A,O,C和点B,O,D分别都在一条直线上,小红认为只要量出D,C的距离,就能知道AB,小红是根据 OAB≌ OCD来判断AB=DC的,那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【分析】根据已知条件两边及两边的夹角对应相等解答. 【解答】解:在 AOB和 COD中, , ∴ AOB≌ COD(SAS). 故选:B. 【点评】本题考查了全等三角形的应用,准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键. 9.(3分)如图,在Rt ABC中,∠C=90 .以点A为圆心,适当的长为半径画弧,分别交AB,AC于D,E两点,再分别以点D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧交于点F,射线BF交AC于点G,若CG=4,AB=8,则 ABG的面积为( ) A.12 B.16 C.24 D.32 【分析】如图,过点G作GH⊥AB于点H.证明GH=GC=4,再利用三角形面积公式求解. 【解答】解:如图,过点G作GH⊥AB于点H. ∵AG平分∠CAB,GC⊥AC,GH⊥AB, ∴GH=GC=4, ∴ ABG的面积•AB•GH8 4=16. 故选:B. 【点评】本题考查作图﹣基本作图,三角形的面积,角平分线的性质,解题的关键是掌握相关知识解决问题. 10.(3分)如图, ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,点E是AC边的中点,点P是AD上的一个动点,当PC+PE最小时,∠CPE的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 【分析】连接BE,则BE的长度即为PE与PC和的最小值.再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30 ,即可解决问题; 【解答】解:如连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC最小, ∵ ABC是等边三角形,AD⊥BC, ∴PC=PB, ∴PE+PC=PB+PE=BE, 即BE就是PE+PC的最小值, ∵ ABC是等边三角形, ∴∠BCE=60 , ∵BA=BC,AE=EC, ∴BE⊥AC, ∴∠BEC=90 , ∴∠EBC=30 , ∵PB=PC, ∴∠PCB=∠PBC=30 , ∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60 , 故选:C. 【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质,熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键. 二.填空题(本题有8个小题,每小题4分共32分) 11.(4分)写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 “面积相等的两个三角形全等” . 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题. 【解答】解:命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”, 故答案为:“面积相等的两个三角形全等”. 【点评】本题考查的是互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 12.(4分)等腰三角形的一个外角度数为80 ,则顶角度数为 100 . 【分析】三角形内角与相邻的外角和为180 ,三角形内角和为180 ,等腰三角形两底角相等,100 只可能是顶角. 【解答】解:等腰三角形一个外角为80 ,那相邻的内角为100 , 三角形内角和为180 ,如果这个内角为底角,内角和将超过180 , 所以100 只可能是顶角. 故答案为:100 . 【点评】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理;判断出80 的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键. 13.(4分)如图所示的是一款手机支架,能非常方便地支起手机,由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的 稳定性 . 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可. 【解答】解:这款手机支架的设计原理是三角形的稳定性, 故答案为:稳定性. 【点评】本题考查的是三角形的性质,熟记三角形具有稳定性是解题的关键. 14.(4分)一副三角板按如图所示叠放在一起,则图中∠ 的度数是 75 . 【分析】求出∠ADB=60 ,得到∠CDA=180 ﹣60 =120 ,由三角形的外角性质即可求出∠ 的度数. 【解答】解:∵∠ADB=90 ﹣∠A=90 ﹣30 =60 , ∴∠CDA=180 ﹣60 =120 , ∵∠B=45 , ∴∠ =∠ADC﹣∠B=75 . 故答案为:75 . 【点评】本题考查三角形的外角性质,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 15.(4分)如图,在 ABC中,AB=9,AC=7,AD为中线,则 ABD与 ACD的周长之差的值为 2 . 【分析】根据三角形的中线的定义得到BD=DC,再根据三角形周长公式计算即可. 【解答】解:∵AD为 ABC的中线, ∴BD=DC, ∴ ABD与 ACD的周长之差为:(AB+BD+AD)﹣(AC+CD+AD)=AB﹣AC=9﹣7=2, 故答案为:2. 【点评】本题考查的是三角形的中线,三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线. 16.(4分)如图,已知 ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为 9 . 【分析】从已知条件开始思考.根据角平分线的性质和平行线的性质可得结论. 【解答】解:∠DFB=∠DBF,∠EFC=∠ECF ∴BD=DF,CE=EF ∴DE=DF+EF=BD+CE=9. 故填9. 【点评】此题考查角平分线的性质和平行线的性质,求出∠DFB=∠DBF,∠EFC=∠ECF,是关键. 17.(4分)若等腰三角形的两边长分别为4和6,则其周长是 14或16 . 【分析】根据等腰三角形的性质,分两种情况:①当腰长为6时,②当腰长为4时,解答出即可. 【解答】解:根据题意, ①当腰长为6时,三边为6,6,4, 符合三角形三边关系,周长=6+6+4=16; ②当腰长为4时,三边为4,4,6, 符合三角形三边关系,周长=4+4+6=14. 故答案为:14或16. 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形三边的关系,注意本题要分两种情况解答. 18.(4分)如图1,正方形ABCD被分割成五部分,其中①②③④为四个全等的四边形,⑤为正方形,且①②③④恰好可以拼成图2的正方形EFGH.若在正方形EFGH中,恰有MG=2HM,则 . 【分析】设HM=m,则MG=2HM=2m,可求得图1中的小正方形的边长为2m﹣m=m,则它的面积为m2,而正方形EFGH的边长为m+2m=3m,则S正方形EFGH=9m2,求得S正方形ABCD=10m2,所以,于是得到问题的答案. 【解答】解:设HM=m,则MG=2HM=2m, 如图1,GH=MG﹣HM=2m﹣m=m, ∴S正方形PQGH=m2, 如图2,∵GH=HM+MG=m+2m=3m, ∴S正方形EFGH=(3m)2=9m2, ∴S正方形ABCD=9m2+m2=10m2, ∴, 故答案为:. 【点评】此题重点考查图形的全等、正方形的面积公式等知识,正确地用含同一字母的代数式表示图1中的小正方形的边长和正方形EFGH的边长是解题的关键. 三.解答题(本题有6大题,共58分) 19.(10分)看图填空:如图,已知AC∥DF,AD=BE,AC=DF,试说明 ABC≌ DEF. 证:∵AC∥DF ∴∠A ①=∠FDE(两直线平行,同位角相等) ∵AD=BE ∴AD+DB ②=BE+DB;即:AB ③=DE 在 ABC和 DEF中 ∴ ABC≌ DEF( SAS ⑥). 【分析】由AD=BE,可得AB=DE,根据SAS解可证明 ABC≌ DEF即可. 【解答】证明:∵AC∥DF, ∴∠A=∠FDE, ∵AD=BE, ∴AD+DB=BE+DB, 即AB=DE, 在 ABC与 DEF中, , ∴ ABC≌ DEF(SAS), 故答案为:A;AD+DB;AB;SAS. 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据SAS解可证明 ABC≌ DEF解答. 20.(10分)如图,已知点A,B以及直线l. (1)用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线,交直线l于点P. (2)在(1)所作的图中,M,N是直线l上的两点.若AM=PN,BN=PM.求证:∠MAP=∠NPB. 【分析】(1)作线段AB的垂直平分线交直线l于点P,连接PA,PB即可; (2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可. 【解答】(1)解:如图,点P即为所求; (2)证明:在 AMP和 BNP中 , ∴ AMP≌ PNB(SSS) ∴∠MAP=∠NPB. 【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质,熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键. 21.(10分)如图, ABC中,AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F,且AB=CE,作AD⊥BC交BC于点D. (1)若∠BAE=44 ,求∠C的度数. (2)若AC=7cm, ABC的周长为17cm,求DC的长. 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出∠C=∠EAC,∠AEB=68 ,再根据三角形外角性质求解即可; (2)根据三角形周长定义求出AB+BC=10cm,根据等腰三角形的性质求出BD=DE,再根据线段的和差求解即可. 【解答】解:(1)∵EF是AC的垂直平分线, ∴AE=CE, ∴∠C=∠EAC, ∵AB=CE, ∴AB=AE, 又∵∠BAE=44 , ∴∠ABE=∠AEB(180 ﹣44 )=68 , ∵∠AEB=∠C+∠EAC, ∴∠C=34 ; (2)∵AC=7cm, ABC的周长为17cm, ∴AB+BC=17﹣7=10cm, ∵AB=AE,AD⊥BC, ∴BD=DE, ∵AB=CE, ∴AB+BD=DE+CE(AB+BC)=5cm, ∵DC=DE+CE, ∴DC=5cm. 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,正确理解题意是解题的关键. 22.(11分)根据以下素材,探索完成任务. 荡秋千问题 素材1 如图1,小丽与爸妈在公园里荡秋千,开始时小丽坐在秋千的起始位置,且起始位置与地面垂直. 素材2 如图2,小丽从秋千的起始位置A处,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m,∠BOC=90 . 问题解决 任务1 OBD与 COE全等吗?请说明理由; 任务2 当爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面有多高? 【分析】任务1:理由AAS可以证明 OBO与 COE全等; 任务2:理由 BOD≌ OCE,得到BD=OE=1.4m,EC=OD=1.8m,进而可求出当爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面高度. 【解答】解:任务1:∵BD⊥OA,CE⊥OA, ∴∠ODB=∠OEC=90 , ∵∠BOC=90 ,∠BOD+∠EOC=90 ,∠BOD+∠DBO=90 , ∴∠OBD=∠EOC, 在 BOD和 OCE中, , ∴ BOD≌ OCE(AAS); 任务2:设OA的延长线与地面交于M,如图, ∵ BOD≌ OCE, ∴BD=OE=1.4m,EC=OD=1.8m, ∴EM=OD+DM﹣OE=1.8+1﹣1.4=1.4(m). 【点评】本题考查全等三角形的应用,理解题意,掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 23.(17分)在等腰 ABC中,AB=AC,点D是AC上一动点,点E在BD的延长线上,且AB=AE,AF平分∠CAE交DE于点F,连接FC. (1)如图1,求证:∠ABE=∠ACF; (2)如图2,当∠ABC=60 时,在BE上取点M,使BM=EF,连接AM.求证: AFM是等边三角形; (3)如图3,当∠ABC=45 ,且AE∥BC时,求证:BD=2EF. 【分析】(1)利用SAS定理证明 ACF≌ AEF,根据全等三角形的性质得到∠E=∠ACF,根据等腰三角形的性质得到∠E=∠ABE,等量代换证明结论; (2)在FB上截取BM=CF,连接AM,证明 ABM≌ ACF,根据全等三角形的性质得到AM=AF,∠BAM=∠CAF,进而证明 AMF为等边三角形; (3)延长BA、CF交于N,证明 BFN≌ BFC,得到CN=2CF=2EF,再证明 BAD≌ CAN,得到BD=CN,等量代换得到答案. 【解答】证明:(1)∵AF平分∠CAE, ∴∠EAF=∠CAF, ∵AB=AC,AB=AE, ∴AE=AC, 在 ACF和 AEF中, , ∴ ACF≌ AEF(SAS), ∴∠E=∠ACF, ∵AB=AE, ∴∠E=∠ABE, ∴∠ABE=∠ACF; (2)如图2,在FB上截取BM=CF,连接AM, ∵ ACF≌ AEF, ∴EF=CF,∠E=∠ACF=∠ABM, 在 ABM和 ACF中, , ∴ ABM≌ ACF(SAS), ∴AM=AF,∠BAM=∠CAF, ∵AB=AC,∠ABC=60 , ∴ ABC是等边三角形, ∴∠BAC=60 , ∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60 , ∵AM=AF, ∴ AMF为等边三角形; (3)如图3,延长BA、CF交于N, ∵AE∥BC, ∴∠E=∠EBC, ∵AB=AE, ∴∠ABE=∠E, ∴∠ABF=∠CBF, ∵∠ABC=45 , ∴∠ABF=∠CBF=22.5 ,∠ACB=45 ,∠BAC=180 ﹣45 ﹣45 =90 , ∴∠ACF=∠ABF=22.5 , ∴∠BFC=180 ﹣22.5 ﹣45 ﹣22.5 =90 , ∴∠BFN=∠BFC=90 , 在 BFN和 BFC中, , ∴ BFN≌ BFC(ASA), ∴CF=FN,即CN=2CF=2EF, ∵∠BAC=90 , ∴∠NAC=∠BAD=90 , 在 BAD和 CAN中, , ∴ BAD≌ CAN(ASA), ∴BD=CN, ∴BD=2EF. 【点评】本题考查的是三角形的综合题,全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 第24页(共24页) 学科网(北京)股份有限公司 $