第01讲 实数及其运算（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02实数的分类 题型03无理数的估算 命题点二 实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01实数的相关概念及性质 命题点三 实数的大小比较 题型01实数的大小比较 命题点四 科学记数法 题型01利用科学记数法表示较大的数 题型02利用科学记数法表示较小的数 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 题型01求一个数的平方根或立方根 题型02根据平方根或立方根的性质求解 题型03平方根及立方根的实际应用 命题点六 实数的运算 题型01实数的混合运算 题型02实数运算与新定义问题 题型03实数运算的简单应用 05·重难突破·思维进阶 24 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 非负性的应用 突破三 实数运算与新定义问题 突破四 利用实数的相关知识解决新情境问题 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 正数与负数 辽宁省卷 T11 / / 理解具有相反意义的量，能用正数和负数表示实际问题中的数量。 实数的大小比较 / 辽宁省卷T2 / 会比较实数的大小，包括正数、负数和零；掌握借助绝对值对负数进行比较大小。 相反数、绝对值、倒数 / / 沈阳卷T1 鞍山卷T1 丹东卷T1 盘锦卷T1 锦州卷T1 阜新卷T1 营口卷T1 抚顺、葫芦岛卷T1 本溪、铁岭、辽阳卷T1 掌握求实数的绝对值、相反数、倒数的方法，借助数轴理解绝对值和相反数的意义。 科学记数法 辽宁省卷 T2 辽宁省卷T3 沈阳卷T3 鞍山卷T9 丹东卷T11 盘锦卷T3 锦州卷T9 本溪、铁岭、辽阳卷T11 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 辽宁省卷 T16 辽宁省卷 T16 沈阳卷T17 盘锦卷T11 阜新卷T3 阜新卷T11 营口卷T3 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 结合正数与负数、绝对值与相反数、有理数的大小比较、科学记数法表示、实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选填题和计算题为主。正数与负数：常结合生活实际（如收支、行走方向、温度变化）考查具有相反意义的量的表示；有理数的大小比较：可单独命题，也可结合数轴进行判断；绝对值与相反数：可直接考查求实数的绝对值与相反数或倒数，也可融合在数轴分析、实数运算中考查；科学记数法：考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合，为每年必考点，题型较固定；实数的运算：为每年必考点，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程的准确性和规范性。 考点一 实数及其分类 1.正数、负数 (1)大于0的数叫做正数；小于0的数，叫做负数；0既不是正数，也不是负数。 (2)用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”. 2.实数 (1)整数和分数统称为有理数； 【本质】有理数能够化为分数的形式，即形如，其中 p,q是整数，且 q≠0。 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. (2) 无限不循环小数叫做无理数； 【补充1】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等. 【补充2】常见的无理数： ①开方开不尽的数，如：、等. 注意带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π等. ③具有特定结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. ④某些三角函数，如sin60°、cos20°. (3)有理数和无理数统称为实数。 3.实数的分类 1．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 2．（2025·辽宁营口·三模）蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启人形机器人智造的黄金时代．国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻．若人形机器人向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作（  ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁丹东·一模）实数0，，，1.01001000，，中，无理数有 个． 4．（2025·辽宁阜新·二模）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小颖得了81分，记作（   ） A．81分 B．分 C．分 D．分 考点二 实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 1. 数轴 定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴 示意图及三要素 原点 正方向 单位长度 数轴上的点和两点间的距离 (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的。 (2)利用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。 (3)数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数（简称大数-小数）。 2. 相反数 定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数。 性质与意义 (1)实数a的相反数是-a，0的相反数是0。 (2)若a，b互为相反数，则a+b=0。 (3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即这两个数所在的点关于原点对称。 (4)多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 3. 绝对值 定义 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|. 性质 (1) (2)任何实数的绝对值都是非负数。 (2)绝对值的几何意义：数轴上表示一个数的点到原点的距离。如：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离；|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离；|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离。 4.倒数 倒数 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数。 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 1．（2025·辽宁·一模）若实数a的相反数是，则a等于（　　） 2．（2025·辽宁盘锦·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁鞍山·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D． 4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 考点三 实数的大小比较 数轴比较法 同一数轴上表示的两个数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 类别比较法 正数大于零，负数小于零，正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 差值比较法 设a，b是两实数，若。 平方比较法 若a，b是两负实数，若a＜b；若a，b是两正实数，若a＞b； 主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小。 倒数法 对于符号相同的两个数，若，则a＞b；若，则a＜b。 求商比较法 设a，b是两正实数，若。 估算法 先估算出数或数中某部分的取值范围，再进行比较.例如≈1.414，≈1.732，≈2.236。 1．（2024·辽宁·中考真题）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（    ） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 2．（2025·辽宁盘锦·三模）沸点是液体沸腾时的温度，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（   ） 气体 氦（） 氢气（） 氮气（） 氧气（） 液化温（） A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）在实数，，，1中，最小的数是（    ） A． B． C． D．1 考点四 科学记数法 1.科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 表示方法： 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数=原数的整数位数减1 a=5.5，n=6 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数=原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零） a=-5.5，n=-6 注意：对于含有计数(量)单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示. 常考的计数单位：； 常考的计量单位：. 1．（2025·辽宁·中考真题）十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁丹东·二模）自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，我省向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约亿元．亿用科学记数法表示应为 ． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产浸没式光刻机，填补国内空白.已知.将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 考点五 平方根、算数平方根、立方根 名称 定义 性质 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，a叫做被开方数。 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.即若，则x叫做a的平方根，记作±。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么x叫做a的立方根或三次方根，记作。 正数只有一个正的立方根，0的立方根是0，负数只有一个负的立方根。 互为相反数的两个数的立方根互为相反数。 【补充1】平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写。 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写。 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即。 在中，a是任意数。 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即。 【补充2】常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 【补充3】非负数及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数的三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数的性质：①非负数有最小值零； ②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 1．（2025·辽宁沈阳·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁阜新·一模）的平方根是 ． 3．（2025·辽宁锦州·三模）9的算术平方根为（    ） A． B．3 C．﹣3 D． 考点六 实数的运算 1.实数运算法则 实数的加法法则 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加之和为0； 4) 一个数同0相加，仍得这个数。 实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数。 实数的乘法法则 1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2)任何数同0相乘，都得0。 实数的除法法则 1)除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即：； 2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3)0除以任何不为0的数，都得0。 实数的乘方 求几个相同因数乘积的运算，写作aⁿ，aⁿ表示 n个a连续相乘。 1)正数的任何次幂都是正数； 2) 0的任何正整数次幂都是0； 3)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，可称为奇负偶正。 实数的开方 1)开平方是求一个数的平方根的运算； 2) 开立方是求一个数的立方根的运算。 2.零指数幂、负整数指数幂 (1)零指数幂：任何不等于零的数的0次幂都等于1。用公式表示为：a⁰ = 1 （其中 a ≠ 0） (2)负整数指数幂：任何不等于零的数的 -n 次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。用公式表示为： （其中 a ≠ 0, n 是正整数） 3.特殊角的锐角三角函数值 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 4.加法、乘法运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 5.实数的混合运算顺序 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果有括号，则先进行括号里的运算，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 1．（2025·辽宁·中考真题）计算： 2．（2024·辽宁·中考真题）计算： 3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 判断正负数的方法： （1）看符号，任何一个实数由符号和绝对值两部分组成，绝对值前面有负号的数是负数； （2）与0比较法：比0大的数为正数，比0小的数为负数； （3）利用数轴比较，位于数轴原点左边的数为负数，位于数轴原点右边的数为负数。 （4）利用特殊值法判断式子正负 1.在判断正负数时，有多重负号的应注意负号的个数，有偶数个负号的是正数，奇数个负号的数是负数； 2.在表示相反意义的量时，应注意看清题目如何定义正方向，而不能仅凭常识判断。 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小颖得了81分，记作（   ） A．81分 B．分 C．分 D．分 【典例】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·一模）乙醇是一种有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁辽阳·二模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损失八斗（减少八斗）记为（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·零模）在中，负数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ►题型02 实数的分类 1.有理数与无理数的根本区别在于小数的循环与不循环.有限小数、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，也就是说无理数应满足两个条件，一是无限小数，二是不循环的，二者缺一不可. 2.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时不要遗漏0. 【典例】1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）下列各数中是正有理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）实数（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·零模）下列实数中，无理数是（    ） 【变式】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）下列各数中，有理数是（    ） A． B．0 C． D． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·一模）下列一组数（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ►题型03 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例】1．（2025·辽宁锦州·二模）物体的动能（单位：J）与物体的质量（单位：）和运动速度（单位：）有关，三者的关系为．当时，该物体的运动速度的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）一张正方形卡片面积为，设正方形的边长为，估计（m，n是连续的两个整数），则的值为 ． 【变式】1．（2025·辽宁辽阳·一模）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式】2．（2025·辽宁营口·二模）估算的值（   ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·零模）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 命题点二 实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 实数的相关概念及性质 正确掌握相反数、绝对值以及倒数的含义和性质，是正确解答此类问题的关键。 （1）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数的和为0。 （2）绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离称为a的绝对值；正数和0的绝对值是它本身；负数的绝对值等于它的相反数。 （3）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 1.零的相反数是它本身；正数和0的绝对值是它本身；1和-1的倒数是它本身，0没有倒数。 2.绝对值具有非负性，因此绝对值不可能等于一个负数。 3.在求一个数的倒数时，注意它的符号不发生改变。 【典例】1．（2025·辽宁本溪·一模）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（   ） A．2025 B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·一模）在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·二模） 的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·三模）的值是（   ） A． B．2025 C． D． 【变式】3．（2025·辽宁朝阳·二模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（    ） A．-3 B．-2 C．-1 D．1 命题点三 实数的大小比较 ►题型01 实数的大小比较 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法. 这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 在比较两个负数的大小时，有的考生容易出错，一方面要熟记绝对值大的反而小，另一方面也可以借助数轴比较大小，切不可粗心。 【典例】1．（2025·辽宁辽阳·一模）当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）： 气体 氧气 氨气 氢气 氮气 液化温度/℃ 其中液化温度最低的气体是 （    ） A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·一模）下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁鞍山·一模）某公司2024年四个季度的盈利情况如下表，则收益最低的季度是（   ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利/万元 31.5 27.8 A．第一季度 B．第二季度 C．第三季度 D．第四季度 【变式】2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）下表中记录了大洋洲、欧洲、亚洲和南美洲的陆地海拔的最低海拔： 大洲 大洋洲 欧洲 亚洲 南美洲 最低海拔 其中这四大洲中陆地海拔的最低海拔最小的大洲是（    ） A．大洋洲 B．欧洲 C．亚洲 D．南美洲 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A． B． C． D． 命题点四 科学记数法 ►题型01 利用科学记数法表示较大的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示。用科学记数法表示带单位的大数的技巧：。 【典例】1．（2025·辽宁丹东·一模）2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．此次发现的超大规模离子吸附型稀土矿有望成为中国最大的中重稀土矿床．将1150000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·三模）截至年月日，《哪吒之魔童闹海》总票房（含预售）达亿元，不仅仅是中国影史上首部破百亿大关的电影，更创造全球动画影史的新纪录，国漫崛起势不可挡．数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）2025年1月5日，我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10911米成功完钻，标志着我国在深地领域的技术跨越．将数据10910用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·二模）辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．年全省共接待游客万人次.将“万”用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·二模）据不完全统计，截至年月，累计下载量超亿次，周活跃用户峰值近万，数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． ►题型02 利用科学记数法表示较小的数 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）2025年3月，中国科研团队在二维金属研究领域取得了突破性进展，成功制备出厚度仅为一张普通A4纸百万分之一的二维金属材料，比如一片单层铋金属的厚度仅为6.3埃米，约0.00000000063米，将0.00000000063用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·三模）芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”，已知m，即纳米的十分之一，若某芯片薄膜的厚度为“”，则将“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·二模）全球芯片制造已经进入纳米到纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一．华为手机搭载了全球首款纳米制程芯片，纳米就是米．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁本溪·二模）一张A4纸的规格为210毫米毫米，它的面积约为平方千米．将数字用科学记数法表示应为 ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）《察伟算经》记载，“忽，十微，微，十纤”，也就是说1忽微，1微纤，由分、厘、毫、丝、忽、微、纤这些中国古代的计量单位之间的关系，可推算1分纤，某生物体长是“30纤”，换算成“分”，用科学记数法表示为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 命题点五 平方根、算数平方根、立方根 ►题型01 求一个数的平方根或立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 【易错失分点】求的平方根，要先把去根号，再求平方根 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·三模）9的平方根是，用下列式子表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）计算： ． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·二模）计算： ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）的立方根是 ． ►题型02 根据平方根或立方根的性质求解 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列命题中，真命题的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．一个正数的算术平方根一定比这个数小 C．点关于x轴的对称点坐标是 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ►题型03 平方根及立方根的实际应用 1）把实际问题抽象成数学问题. 2）根据题意列出方程，利用平方根/立方根的定义求出方程的解. 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为，则该铁块棱长大小的范围是（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）交通警察通常根据刹车后车轮滑动的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑动的距离（单位：m），f表示动摩擦因数． (1)若某车刹车后车轮滑动的距离，动摩擦因数，这辆车的速度是___________； (2)在某次交通事故调查中，测得，，该路段限速，这辆肇事汽车是否超速？ 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2．一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3．， 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·零模）计算：． 【典例】2．（2025·辽宁朝阳·二模）计算：； 【变式】1．（2025·辽宁锦州·二模）计算：； 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·一模）计算：； 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·一模）计算：； ►题型02 实数运算与新定义问题 1．准确理解新定义的概念、规则，将其转化为数学语言。 2．分析新定义的应用条件，避免忽略限制。 3．把新定义问题转化为常规实数运算、方程等知识求解。 4．可通过示例或特殊值验证理解，分步骤拆解问题解决。 【典例】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；…….则的值为 ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化．对数的定义：一般地，若（，且），那么叫做以为底的对数，记作：，比如：可以转化为对数，对数式，可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：（，，，）理由如下： 设，，则，， ，由对数的定义得， 又， ， 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式_____； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． ►题型03 实数运算的简单应用 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）五峰毛尖，是中国名茶之一，最佳保存的温度为，以下几个温度中，不适合储存的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·一模）杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某一天这四个城市的最高气温和最低气温（单位：），则这天日温差最小的城市是（    ） A．杭州 B．武汉 C．重庆 D．拉萨 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“”表示盈利，“”表示亏损，他记录的表格如下： 天数/天 盈亏情况/元 1 2 3 4 5 6 下列关于盈亏说法正确的是（    ） A．6天以来亏损了4元 B．6天以来亏损了2元 C．6天以来盈利了12元 D．6天以来盈利了6元 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）某地某天早晨的气温是℃,到中午升高了℃，晚上又降低了℃.那么晚上的温度是 . 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·零模）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为 ． 突破二 非负性的应用 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若实数m、n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知，那么的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知非零实数，满足，则等于（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）配方法如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将复杂的表达式转化为“完全平方”模块或其组合，并利用非负性优势，能在方程求解、极值分析等场景中化繁为简，成为破解难题的黄金钥匙．例如，可配方成． 解决问题： （1）已知，可配方成（，为常数），则______； 探究问题： （2）已知，求的值； 拓展结论： （3）已知实数，满足，则的最大值是______． 突破三 实数运算与新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如定义运算“□”的运算法则为：，则的值为（　　） A．4 B．6 C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 突破四 利用实数的相关知识解决新情境问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又， ，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写结果： ①________． ②________． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的表示，第二位上的表示，第三位上的表示，第四位上的表示．故，其中． 例如：；转化为十进制的数，转化为十进制的数（注意：对于任何非零数都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）． ___________，___________； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满个，则此绳子左边的绳子打个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满进得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为___________个； (3)如果五进制三位数，与八进制两位数，分别转化为十进制表示的数，则两数和为，求出满足条件的的值． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）在中学体育测试中，初一男生引体向上测试的满分标准为13次．在一次引体向上测试中，小明的成绩是12次，记为“”．如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（    ）次． A．14 B．15 C．16 D．17 2．（2025·辽宁沈阳·二模）我国通过嫦娥系列任务，系统研究了月球表面及极区的极端低温环境，以下是我国嫦娥系列任务及其测温（实测及预期）情况统计表： 任务名称（年份） 测量区域 测温情况 嫦娥三号（2013） 虹湾（正面） 实测，夜间最低： 嫦娥四号（2019） 南极—艾特肯盆地（背面） 实测，夜间最低： 嫦娥五号（2020） 风暴洋地区（正面） 实测，月壤样本间接推测极区温度： 以下 嫦娥七号（计划2026年） 月球南极 预期，目标最低温度： 以下 下列相关温度数据，最低的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁沈阳·三模）每年10月的第二个星期四是世界视力日，爱护视力，从己做起．验光时，例如，将近视50度记录为“”，等等．现有5位同学的验光记录如下：．通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正．在这5位同学中，需要持续佩戴眼镜的同学有（　　） A．0位 B．1位 C．2位 D．3位 4．（2025·辽宁阜新·二模）下列各数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D．3 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（2025·辽宁盘锦·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁丹东·模拟预测）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁抚顺·三模）计算： 9．（2025·辽宁锦州·三模）计算： 10．（2025·辽宁营口·模拟预测）计算：； 11．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁·模拟预测）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（    ） A．80 B．6400 C．6561 D．6560 13．（2025·辽宁·模拟预测）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2025·辽宁·模拟预测）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 15．（2025·辽宁·模拟预测）小明是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念，他规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如等，类比有理数的乘方，小明把记作记作．请你根据小明的规定解决下列问题： (1)_______，_______． (2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是_______（填序号）． ①对于任何正整数，都有； ②； ③； ④对于任何正整数，都有． (3)计算：． 16．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 17．（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 18．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 19．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 21．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 22．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 23．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 25．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 26．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 28．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 29．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 18 命题点一 实数的分类 题型01正负数的意义 题型02实数的分类 题型03无理数的估算 命题点二 实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 题型01实数的相关概念及性质 命题点三 实数的大小比较 题型01实数的大小比较 命题点四 科学记数法 题型01利用科学记数法表示较大的数 题型02利用科学记数法表示较小的数 命题点五 平方根、算术平方根与立方根 题型01求一个数的平方根或立方根 题型02根据平方根或立方根的性质求解 题型03平方根及立方根的实际应用 命题点六 实数的运算 题型01实数的混合运算 题型02实数运算与新定义问题 题型03实数运算的简单应用 05·重难突破·思维进阶 42 突破一 实数与数轴相结合的应用 突破二 非负性的应用 突破三 实数运算与新定义问题 突破四 利用实数的相关知识解决新情境问题 06·优题精选·练能提分 53 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 正数与负数 辽宁省卷 T11 / / 理解具有相反意义的量，能用正数和负数表示实际问题中的数量。 实数的大小比较 / 辽宁省卷T2 / 会比较实数的大小，包括正数、负数和零；掌握借助绝对值对负数进行比较大小。 相反数、绝对值、倒数 / / 沈阳卷T1 鞍山卷T1 丹东卷T1 盘锦卷T1 锦州卷T1 阜新卷T1 营口卷T1 抚顺、葫芦岛卷T1 本溪、铁岭、辽阳卷T1 掌握求实数的绝对值、相反数、倒数的方法，借助数轴理解绝对值和相反数的意义。 科学记数法 辽宁省卷 T2 辽宁省卷T3 沈阳卷T3 鞍山卷T9 丹东卷T11 盘锦卷T3 锦州卷T9 本溪、铁岭、辽阳卷T11 会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。 实数的运算 辽宁省卷 T16 辽宁省卷 T16 沈阳卷T17 盘锦卷T11 阜新卷T3 阜新卷T11 营口卷T3 能进行实数的简单四则运算，理解乘方、开方的意义；掌握实数运算的顺序和运算律，能进行含有二次根式、绝对值、三角函数值等的混合运算。 命题预测 结合正数与负数、绝对值与相反数、有理数的大小比较、科学记数法表示、实数的混合运算等情境考查实数相关知识，题型一般以选填题和计算题为主。正数与负数：常结合生活实际（如收支、行走方向、温度变化）考查具有相反意义的量的表示；有理数的大小比较：可单独命题，也可结合数轴进行判断；绝对值与相反数：可直接考查求实数的绝对值与相反数或倒数，也可融合在数轴分析、实数运算中考查；科学记数法：考查大数或小数的科学记数法表示，常与实际问题结合，为每年必考点，题型较固定；实数的运算：为每年必考点，考查绝对值、二次根式、特殊角的三角函数值、负指数幂、零指数幂等的混合运算，注重计算过程的准确性和规范性。 考点一 实数及其分类 1.正数、负数 (1)大于0的数叫做正数；小于0的数，叫做负数；0既不是正数，也不是负数。 (2)用正、负数可以表示具有相反意义的量，一对相反意义的量，其中一个“意义”规定用“+”表示，则另一个“意义”必定用“-”表示．如：若规定向东5米为“+5米”，则向西9米为“-9米”. 2.实数 (1)整数和分数统称为有理数； 【本质】有理数能够化为分数的形式，即形如，其中 p,q是整数，且 q≠0。 【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. (2) 无限不循环小数叫做无理数； 【补充1】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等. 【补充2】常见的无理数： ①开方开不尽的数，如：、等. 注意带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π等. ③具有特定结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. ④某些三角函数，如sin60°、cos20°. (3)有理数和无理数统称为实数。 3.实数的分类 1．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准质量用“”表示，那么低于标准质量就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作， 故答案为：． 2．（2025·辽宁营口·三模）蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启人形机器人智造的黄金时代．国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻．若人形机器人向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负号的应用，向前空翻记作“”，则向后空翻记作“”，由此可解． 【详解】解：向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作， 故选：B． 3．（2025·辽宁丹东·一模）实数0，，，1.01001000，，中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：0，，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 1.01001000是有限小数，属于有理数； 无理数有，，共2个． 故答案为：2． 4．（2025·辽宁阜新·二模）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小颖得了81分，记作（   ） A．81分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数以及有理数减法的应用，据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（分）， 即小英的成绩记作分， 故选：C． 考点二 实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) 1. 数轴 定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴 示意图及三要素 原点 正方向 单位长度 数轴上的点和两点间的距离 (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的。 (2)利用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大。 (3)数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数（简称大数-小数）。 2. 相反数 定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数。 性质与意义 (1)实数a的相反数是-a，0的相反数是0。 (2)若a，b互为相反数，则a+b=0。 (3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即这两个数所在的点关于原点对称。 (4)多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 3. 绝对值 定义 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|. 性质 (1) (2)任何实数的绝对值都是非负数。 (2)绝对值的几何意义：数轴上表示一个数的点到原点的距离。如：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离；|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离；|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离。 4.倒数 倒数 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数。 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 1．（2025·辽宁·一模）若实数a的相反数是，则a等于（　　） A． B． C．2024 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，掌握相反数的概念是解答本题的关键．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．根据相反数的概念解答即可． 【详解】解：实数a的相反数是 则， 故选：C． 2．（2025·辽宁盘锦·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的除法，有理数的减法等．先根据点在数轴上的位置得出，，再结合有理数的除法，有理数的减法，绝对值的性质逐项分析即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，， 故，B选项结论错误，不符合题意； 故，A选项结论错误，不符合题意； 故，C选项结论错误，不符合题意； 则， 故，D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 3．（2023·辽宁鞍山·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案． 【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数， 所以，﹣2023的绝对值等于2023． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键． 4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）的倒数是（   ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可. 【详解】解：∵， ∴3的倒数是， ∴ 的倒数是， 故选：B 考点三 实数的大小比较 数轴比较法 同一数轴上表示的两个数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 类别比较法 正数大于零，负数小于零，正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 差值比较法 设a，b是两实数，若。 平方比较法 若a，b是两负实数，若a＜b；若a，b是两正实数，若a＞b； 主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小。 倒数法 对于符号相同的两个数，若，则a＞b；若，则a＜b。 求商比较法 设a，b是两正实数，若。 估算法 先估算出数或数中某部分的取值范围，再进行比较.例如≈1.414，≈1.732，≈2.236。 1．（2024·辽宁·中考真题）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（    ） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 【答案】A 【分析】此题主要考查了负数的大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．比较各负数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案． 【详解】，，， ∵， ∴， ∴海拔最低的是亚洲． 故选：A． 2．（2025·辽宁盘锦·三模）沸点是液体沸腾时的温度，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（   ） 气体 氦（） 氢气（） 氮气（） 氧气（） 液化温（） A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦 【答案】A 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵， ∴， ∴沸点最高的液体是氧气， 故选：． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）在实数，，，1中，最小的数是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴最小的数是． 故选：B． 考点四 科学记数法 1.科学记数法 定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 表示方法： 类别 a的确定 n的确定 示例 |A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数=原数的整数位数减1 a=5.5，n=6 0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数=原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零） a=-5.5，n=-6 注意：对于含有计数(量)单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示. 常考的计数单位：； 常考的计量单位：. 1．（2025·辽宁·中考真题）十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 2．（2025·辽宁丹东·二模）自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，我省向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约亿元．亿用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：亿 ； 故答案为：． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产浸没式光刻机，填补国内空白.已知.将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将用科学记数法表示为 故选：B 考点五 平方根、算数平方根、立方根 名称 定义 性质 算术平方根 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，a叫做被开方数。 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.即若，则x叫做a的平方根，记作±。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么x叫做a的立方根或三次方根，记作。 正数只有一个正的立方根，0的立方根是0，负数只有一个负的立方根。 互为相反数的两个数的立方根互为相反数。 【补充1】平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。 表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写。 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写。 被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即。 在中，a是任意数。 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即。 【补充2】常见实数的平方与立方： 常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 【补充3】非负数及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数的三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数的性质：①非负数有最小值零； ②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 1．（2025·辽宁沈阳·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，正确的计算是解题的关键．根据求一个数的算术平方根，算术平方根的非负性，求一个数的立方根逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·辽宁阜新·一模）的平方根是 ． 【答案】±2 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 3．（2025·辽宁锦州·三模）9的算术平方根为（    ） A． B．3 C．﹣3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是3． 故选：B． 考点六 实数的运算 1.实数运算法则 实数的加法法则 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3)互为相反数的两个数相加之和为0； 4) 一个数同0相加，仍得这个数。 实数的减法法则 减去一个数等于加上这个数的相反数。 实数的乘法法则 1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2)任何数同0相乘，都得0。 实数的除法法则 1)除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即：； 2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3)0除以任何不为0的数，都得0。 实数的乘方 求几个相同因数乘积的运算，写作aⁿ，aⁿ表示 n个a连续相乘。 1)正数的任何次幂都是正数； 2) 0的任何正整数次幂都是0； 3)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，可称为奇负偶正。 实数的开方 1)开平方是求一个数的平方根的运算； 2) 开立方是求一个数的立方根的运算。 2.零指数幂、负整数指数幂 (1)零指数幂：任何不等于零的数的0次幂都等于1。用公式表示为：a⁰ = 1 （其中 a ≠ 0） (2)负整数指数幂：任何不等于零的数的 -n 次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数。用公式表示为： （其中 a ≠ 0, n 是正整数） 3.特殊角的锐角三角函数值 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 4.加法、乘法运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 5.实数的混合运算顺序 先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果有括号，则先进行括号里的运算，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 1．（2025·辽宁·中考真题）计算： 【答案】4 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 2．（2024·辽宁·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：． 【答案】10 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算． 命题点一 实数的分类 ►题型01 正负数的意义 判断正负数的方法： （1）看符号，任何一个实数由符号和绝对值两部分组成，绝对值前面有负号的数是负数； （2）与0比较法：比0大的数为正数，比0小的数为负数； （3）利用数轴比较，位于数轴原点左边的数为负数，位于数轴原点右边的数为负数。 （4）利用特殊值法判断式子正负 1.在判断正负数时，有多重负号的应注意负号的个数，有偶数个负号的是正数，奇数个负号的数是负数； 2.在表示相反意义的量时，应注意看清题目如何定义正方向，而不能仅凭常识判断。 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小颖得了81分，记作（   ） A．81分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数以及有理数减法的应用，据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（分）， 即小英的成绩记作分， 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，绝对值的运算及相反数运算，根据几个定义逐个求解即可得到答案，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得， A、是负数，符合题意； B、是正数，不符合题意； C、是正数，不符合题意， D、是正数，不符合题意， 故选：A． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·一模）乙醇是一种有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的实际应用，特别是温度的正负表示方法．关键在于理解题目中规定的正负号含义∶零上温度用正数表示，零下温度用负数表示． 【详解】解：零上记作， 零下记作． 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁辽阳·二模）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损失八斗（减少八斗）记为（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，正负数表示具有相反意义的量． 根据题意益实一斗（增加1斗）记为斗，则损失八斗（减少八斗）记为斗，即可得到答案． 【详解】解：根据题意益实一斗（增加1斗）记为斗， 则损失八斗（减少八斗）记为斗， 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·零模）在中，负数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】负数就是小于0的数，依据定义即可求解． 【详解】解：在中，负数有，共3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正数和负数，掌握负数的定义是解答本题的关键． ►题型02 实数的分类 1.有理数与无理数的根本区别在于小数的循环与不循环.有限小数、无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，也就是说无理数应满足两个条件，一是无限小数，二是不循环的，二者缺一不可. 2.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时不要遗漏0. 【典例】1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）下列各数中是正有理数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据实数的分类逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，是无理数，不合题意； B. 是正的有理数，符合题意， C. 0，是有理数，不是正有理数，不合题意， D. 是无理数，不合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）实数（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）中，无理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据有限小数和无限循环小数是有理数，无理数就是无限不循环小数，可得答案． 【详解】3.14，1.732是有限小数，是有理数， 是分数，是有理数， 是无限循环小数，是有理数， 是整数，是有理数， ，是无理数， ，，，(相邻两个1之间的0的个数逐次加1) 是无理数，共4个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义：无理数就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…(相邻两个1之间的0的个数逐次加1)等有这样规律的数． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·零模）下列实数中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】根据无理数的定义可得：无理数是 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）下列各数中，有理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的定义进行逐一判断即可：整数和分数（有限小数和无限循环小数）统称为有理数． 【详解】解：A、 是无理数，不符合题意； B、0是有理数，符合题意； C、是无理数，不符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数和有理数的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行判断． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·一模）下列一组数（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数定义．根据无理数与有理数的概念进行判断即可得． 【详解】解： (相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有： (相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个， 故选：C. ►题型03 无理数的估算 若，则，因此我们可以找距离a最近的两个平方数，来估算的大小.例如:因为25＜a＜36，则. 【典例】1．（2025·辽宁锦州·二模）物体的动能（单位：J）与物体的质量（单位：）和运动速度（单位：）有关，三者的关系为．当时，该物体的运动速度的值在（　　） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，熟练掌握无理数估算大小的方法是解题关键． 首先根据题意代入数值得，然后利用无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：当时， 代入得 （负值舍去）， ∵， ∴， ∴该物体的运动速度的值在4和5之间． 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）一张正方形卡片面积为，设正方形的边长为，估计（m，n是连续的两个整数），则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了估算无理数的大小，代数式取值，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长，再利用夹逼法估算的取值范围，最后计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形卡片面积为， ∴， ∵， ∴， ∵（m，n是连续的两个整数）， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式】1．（2025·辽宁辽阳·一模）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估值，先求出，根据即可解答． 【详解】解：当，时，， ∵， ∴， ∴能量E的值在5和6之间． 故选：B 【变式】2．（2025·辽宁营口·二模）估算的值（   ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，掌握无理数的估算是解题的关键．先估计的整数部分，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：B 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·零模）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 命题点二 实数的相关概念(数轴、相反数、绝对值、倒数) ►题型01 实数的相关概念及性质 正确掌握相反数、绝对值以及倒数的含义和性质，是正确解答此类问题的关键。 （1）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数的和为0。 （2）绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离称为a的绝对值；正数和0的绝对值是它本身；负数的绝对值等于它的相反数。 （3）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 1.零的相反数是它本身；正数和0的绝对值是它本身；1和-1的倒数是它本身，0没有倒数。 2.绝对值具有非负性，因此绝对值不可能等于一个负数。 3.在求一个数的倒数时，注意它的符号不发生改变。 【典例】1．（2025·辽宁本溪·一模）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴．根据，求出，继而可以求出点表示的数． 【详解】解：∵，点表示的数是2025， ∴， ∵点在O点左侧， ∴点表示的数为：， 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·一模）在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，掌握绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是是解题的关键．根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可． 【详解】解： ，，，，且， 绝对值最小的数是， 故选：A． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·二模） 的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可． 【详解】解：与只有符号不同， 所以的相反数是， 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·三模）的值是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：． 故选：B 【变式】3．（2025·辽宁朝阳·二模）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（    ） A．-3 B．-2 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3． 【详解】解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO， ∴点C表示的数为-2， ∴a=-2-1=-3． 故选A． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 命题点三 实数的大小比较 ►题型01 实数的大小比较 比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法. 这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b. 在比较两个负数的大小时，有的考生容易出错，一方面要熟记绝对值大的反而小，另一方面也可以借助数轴比较大小，切不可粗心。 【典例】1．（2025·辽宁辽阳·一模）当气体的温度降低到一定程度的时候就会变成液体，人们把这种变化过程叫做液化．初中物理就介绍了下面几种常见气体液化时的温度（标准大气压）： 气体 氧气 氨气 氢气 氮气 液化温度/℃ 其中液化温度最低的气体是 （    ） A．氧气 B．氨气 C．氢气 D．氮气 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴液化温度最低的气体是氢气； 故选C． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·一模）下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 根据实数的大小比较法则比较大小即可得出选项． 【详解】解：∵， ∴这四个实数中最小的数是． 故选C． 【变式】1．（2025·辽宁鞍山·一模）某公司2024年四个季度的盈利情况如下表，则收益最低的季度是（   ） 时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈利/万元 31.5 27.8 A．第一季度 B．第二季度 C．第三季度 D．第四季度 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，有理数的大小比较．根据正数和负数的实际意义比较各数的大小即可． 【详解】解：， 则收益最低的季度是第二季度， 故选：B． 【变式】2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）下表中记录了大洋洲、欧洲、亚洲和南美洲的陆地海拔的最低海拔： 大洲 大洋洲 欧洲 亚洲 南美洲 最低海拔 其中这四大洲中陆地海拔的最低海拔最小的大洲是（    ） A．大洋洲 B．欧洲 C．亚洲 D．南美洲 【答案】C 【分析】本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键是要明确比较方法． 几个负数，绝对值越大，其值反而越小，据此判断即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， ∴最低海拔最小的大洲是亚洲． 故选：C ． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，掌握绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是是解题的关键．根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可． 【详解】解： ，，，，且， 绝对值最小的数是， 故选：A． 命题点四 科学记数法 ►题型01 利用科学记数法表示较大的数 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示。用科学记数法表示带单位的大数的技巧：。 【典例】1．（2025·辽宁丹东·一模）2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．此次发现的超大规模离子吸附型稀土矿有望成为中国最大的中重稀土矿床．将1150000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·三模）截至年月日，《哪吒之魔童闹海》总票房（含预售）达亿元，不仅仅是中国影史上首部破百亿大关的电影，更创造全球动画影史的新纪录，国漫崛起势不可挡．数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）2025年1月5日，我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10911米成功完钻，标志着我国在深地领域的技术跨越．将数据10910用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·二模）辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．年全省共接待游客万人次.将“万”用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，首先，又因为，所以用科学记数法表示万为． 【详解】解：万． 故选：B． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·二模）据不完全统计，截至年月，累计下载量超亿次，周活跃用户峰值近万，数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故选：C． ►题型02 利用科学记数法表示较小的数 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）2025年3月，中国科研团队在二维金属研究领域取得了突破性进展，成功制备出厚度仅为一张普通A4纸百万分之一的二维金属材料，比如一片单层铋金属的厚度仅为6.3埃米，约0.00000000063米，将0.00000000063用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·三模）芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”，已知m，即纳米的十分之一，若某芯片薄膜的厚度为“”，则将“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为， 其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为 整数．确定的 值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的 绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，是 正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数． 【详解】解：， 将用科学记数法表示为， 故选：D． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·二模）全球芯片制造已经进入纳米到纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一．华为手机搭载了全球首款纳米制程芯片，纳米就是米．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10-9． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式】2．（2025·辽宁本溪·二模）一张A4纸的规格为210毫米毫米，它的面积约为平方千米．将数字用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的定义．关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式．其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位．根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）《察伟算经》记载，“忽，十微，微，十纤”，也就是说1忽微，1微纤，由分、厘、毫、丝、忽、微、纤这些中国古代的计量单位之间的关系，可推算1分纤，某生物体长是“30纤”，换算成“分”，用科学记数法表示为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：∵分纤， ∴30纤分， 故选：A． 命题点五 平方根、算数平方根、立方根 ►题型01 求一个数的平方根或立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 【易错失分点】求的平方根，要先把去根号，再求平方根 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·三模）9的平方根是，用下列式子表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据平方根的定义和性质解答即可． 【详解】解： ． 故选C． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）计算： ． 【答案】3 【分析】根据立方根和算术平方根的计算方法计算即可； 【详解】． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的计算，准确计算是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·二模）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，先算出根号，再相乘即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：6． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【答案】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）的立方根是 ． 【答案】-2 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． ►题型02 根据平方根或立方根的性质求解 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 故答案为：4． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如果是的算术平方根，那么一定是（　　） A．正数 B． C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根满足且，因此必为非负数，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴必为非负数， 故选：． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列命题中，真命题的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．一个正数的算术平方根一定比这个数小 C．点关于x轴的对称点坐标是 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假以及矩形的性质、算术平方根、轴对称以及正方形性质，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，故原说法是错误的，不符合题意； B、1的算术平方根是1，故一个正数的算术平方根不一定比这个数小，故该选项是错误的，不符合题意； C、点关于x轴的对称点坐标是，故该选项是正确的，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法是错误的，不符合题意； 故选：C． ►题型03 平方根及立方根的实际应用 1）把实际问题抽象成数学问题. 2）根据题意列出方程，利用平方根/立方根的定义求出方程的解. 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为，则该铁块棱长大小的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用立方根知识进行估算求解． 【详解】由题意得，该铁块棱长是， ∵ ， 该铁块棱长大小的范围是， 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）交通警察通常根据刹车后车轮滑动的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑动的距离（单位：m），f表示动摩擦因数． (1)若某车刹车后车轮滑动的距离，动摩擦因数，这辆车的速度是___________； (2)在某次交通事故调查中，测得，，该路段限速，这辆肇事汽车是否超速？ 【答案】(1) (2)这辆肇事汽车超速了 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）将，代入计算即可； （2）将，代入计算求出车速，进而比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解：， ， ， 这辆肇事汽车超速了． 命题点六 实数的运算 ►题型01 实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2．一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3．， 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·零模）计算：． 【答案】11 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值再合并即可． 【详解】解： ． 【典例】2．（2025·辽宁朝阳·二模）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键： 先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可； 【详解】解： 【变式】1．（2025·辽宁锦州·二模）计算：； 【答案】； 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先根据负整数指数幂、完全平方公式和绝对值的性质化简各式，再算加减法即可； 【详解】解： 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·一模）计算：； 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂分别计算，再合并即可； 【详解】解：原式 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·一模）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的混合计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； 【详解】解： ►题型02 实数运算与新定义问题 1．准确理解新定义的概念、规则，将其转化为数学语言。 2．分析新定义的应用条件，避免忽略限制。 3．把新定义问题转化为常规实数运算、方程等知识求解。 4．可通过示例或特殊值验证理解，分步骤拆解问题解决。 【典例】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；…….则的值为 ． 【答案】 【分析】要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果． 本题考查了数字类规律探索，准确计算、发现规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，，故数组， ，，， 故数组， ，，， 故数组， ，，， 故数组， 故每3次变换一个循环， 且，，， ， 由， 故的值为． 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）阅读以下材料：指数与对数有密切的联系，它们之间可以互相转化．对数的定义：一般地，若（，且），那么叫做以为底的对数，记作：，比如：可以转化为对数，对数式，可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：（，，，）理由如下： 设，，则，， ，由对数的定义得， 又， ， 请解决以下问题： (1)将指数式转化为对数式_____； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查了新定义的知识解题，理解新定义，找到指数和对数的关系是求解本题的关键． （1）根据若（，且），有求解，即可解题； （2）类比于（，，，）的证明过程求解，即可解题； （3）根据对数运算法则与求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意可知指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：设，，则，， ，由对数的定义得， 又， ； （3）解： ． ►题型03 实数运算的简单应用 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加减运算等知识点，理解正负数的相反意义成为解题的关键． 先根据有理数的正负数的相反意义列式，然后根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：元． 故选D． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）五峰毛尖，是中国名茶之一，最佳保存的温度为，以下几个温度中，不适合储存的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减法，解题的关键是掌握正数和负数的意义．求出五峰毛尖保存的温度的范围，即可得解． 【详解】解：，， 五峰毛尖最佳保存的温度为到， 只有不在范围内，A选项符合题意． 故选：A． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·一模）杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某一天这四个城市的最高气温和最低气温（单位：），则这天日温差最小的城市是（    ） A．杭州 B．武汉 C．重庆 D．拉萨 【答案】C 【分析】根据温差的定义，逐一计算，比较大小解答即可． 本题考查了有理数减法的应用，有理数的大小比较，熟练掌握运算和比较大小是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 杭州的温差为：；武汉的温差为：； 重庆的温差为：；拉萨的温差为：； 且， 故重庆的温差最小． 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）某销售教辅材料的商家记录了6天以来每天的盈亏情况，并用“”表示盈利，“”表示亏损，他记录的表格如下： 天数/天 盈亏情况/元 1 2 3 4 5 6 下列关于盈亏说法正确的是（    ） A．6天以来亏损了4元 B．6天以来亏损了2元 C．6天以来盈利了12元 D．6天以来盈利了6元 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减的运用，根据题意列式计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故6天以来亏损了4元， 故选：A． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）某地某天早晨的气温是℃,到中午升高了℃，晚上又降低了℃.那么晚上的温度是 . 【答案】-3 【分析】根据早晨的气温是℃,到中午升高了℃，可知中午温度为-2+6=4℃，晚上又降低了℃可知晚上温度为4-7=-3℃. 【详解】∵-2+6-7=-3 ∴答案是-3. 【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是掌握有理数运算中符号的变化. 突破一 实数与数轴相结合的应用 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·零模）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置可知，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，，，， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确得到是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出． 由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：D． 【变式】1．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 先估算的取值范围，进而得出的取值范围，从而进行判断． 【详解】解：， ， ， ， 数轴上的点，，，，分别表示数，，，，， 表示数的点应落在线段上， 故选A． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴和算术平方根．由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， A、 ，，故本选项不符合题意； B、，，，，故本选项不符合题意； C、，，，，，故本选项不符合题意； D、，，，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，，， 在中，， ∴， ∴， 为原点，为正方向，则点对应的数为； 故答案为：． 突破二 非负性的应用 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若实数m、n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求出m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解即可求出的周长． 【详解】 ， ， ， 当作腰时，三边长分别为：2、2、4，不符合三边关系定理； 当作腰时，三边长分别为：2、4、4，符合三边关系定理，则周长为：； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，解决本题的关键是要能根据非负数的性质求出m、n的值，再根据m或n作为腰进行分类讨论． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， 的最大值为5． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知，那么的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，几个非负数的和为0，则这几个非负数的值均为0，可得到关于x、y的方程，解出x、y的值即可求得结果． 【详解】解： ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解决本题的关键是熟记常见的非负数并熟练掌握非负数的性质． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知非零实数，满足，则等于（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵（a-3）b2≥0， ∴a-3≥0， ∴a≥3， ∴2a-4＞0， ∴原式变形为， ∴b+2=0，（a-3）b2=0， ∴b=-2，a=3， ∴a+b=3+（-2）=1． 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）配方法如同代数变形术，通过拆解、重组、补全，将复杂的表达式转化为“完全平方”模块或其组合，并利用非负性优势，能在方程求解、极值分析等场景中化繁为简，成为破解难题的黄金钥匙．例如，可配方成． 解决问题： （1）已知，可配方成（，为常数），则______； 探究问题： （2）已知，求的值； 拓展结论： （3）已知实数，满足，则的最大值是______． 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】本题主要考查配方法，完全平方公式的运用，二次函数求最值的方法，掌握配方法的计算是关键． （1）根据题意，找出一次项系数，运用配方法计算即可； （2）根据题意，分组运用配方法计算得到，由非负性得到，由此即可求解； （3）根据题得到，代入所求代数式得到，根据二次函数求最值的方法即可求解． 【详解】解：（1） ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， ∴， ， ∵， ∴， 解得，， ∴； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴的最大值是． 突破三 实数运算与新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【详解】解：若是“最美实数”， 则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）对实数a．b，定义“★”运算规则如下：，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了新定义实数运算，根据题意可先求出，再根据题意求解即可. 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故选：A 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，负整整数指数幂，等根据新定义运算的规则，将根据新定义得出，分步计算各部分的值后求和． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：B 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如定义运算“□”的运算法则为：，则的值为（　　） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键；由题意先得出，然后再根据新定义运算进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查实数的运算，根据新定义列式计算即可． 【详解】解：∵对于任意实数，，都有， ∴ ， 故答案为：9． 突破四 利用实数的相关知识解决新情境问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又， ，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写结果： ①________． ②________． 【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56． 【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案； ②根据例题进行推理得出答案； ③根据例题进行推理得出答案； ④根据②③得出答案； （2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论. 【详解】（1）①， ， ∴， ∴能确定195112的立方根是一个两位数， 故答案为：两； ②∵195112的个位数字是2，又∵， ∴能确定195112的个位数字是8， 故答案为：8； ③如果划去195112后面三位112得到数195， 而， ∴， 可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5， 故答案为：5； ④根据②③可得：195112的立方根是58， 故答案为：58； （2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2， ∴13824的立方根是24， 故答案为：24； ②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5， ∴175616的立方根是56， 故答案为：56. 【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键. 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位，进制表示的数中，右起第一位上的表示，第二位上的表示，第三位上的表示，第四位上的表示．故，其中． 例如：；转化为十进制的数，转化为十进制的数（注意：对于任何非零数都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）． ___________，___________； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满个，则此绳子左边的绳子打个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满进得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数，她一共采集到的野果数量为___________个； (3)如果五进制三位数，与八进制两位数，分别转化为十进制表示的数，则两数和为，求出满足条件的的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了不同进制数与十进制数的转化，熟练掌握进制数的位权规则是解答本题的关键． （1）利用进制数的位权表示方法，将二进制、五进制数转化为十进制数； （2）结合六进制“逢进”的规则确定六进制数，再通过位权展开转化为十进制数； （3）先将五进制、八进制数分别转化为十进制数，再根据两数和的条件列方程求解未知数． 【详解】（1）解：，； （2）解：写出这个六进制数字为； ， 她一共采集到的野果数量为个； （3）解：， ， ，此时满足条件的． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 【答案】(1)见详解，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)或64 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：因为，，， 所以2，18，8这三个数是“老根数”； 其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：当时，则， 解得， 当时，则，解得，不合题意，舍去； 当时，则， 解得， 综上所述，或64． 1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）在中学体育测试中，初一男生引体向上测试的满分标准为13次．在一次引体向上测试中，小明的成绩是12次，记为“”．如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（    ）次． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用．正负数是一对具有相反意义的量，若相对于标准次数不足用负数表示，那么相对于标准次数超出用正数表示，据此求解即可． 【详解】解：∵满分标准为13次，小明的成绩是12次，记为“”． ∴如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（次）． 故选：B． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）我国通过嫦娥系列任务，系统研究了月球表面及极区的极端低温环境，以下是我国嫦娥系列任务及其测温（实测及预期）情况统计表： 任务名称（年份） 测量区域 测温情况 嫦娥三号（2013） 虹湾（正面） 实测，夜间最低： 嫦娥四号（2019） 南极—艾特肯盆地（背面） 实测，夜间最低： 嫦娥五号（2020） 风暴洋地区（正面） 实测，月壤样本间接推测极区温度： 以下 嫦娥七号（计划2026年） 月球南极 预期，目标最低温度： 以下 下列相关温度数据，最低的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，先求出各个选项中数的绝对值，再比较绝对值的大小，从而比较各个选项中数的大小，然后判断即可． 【详解】解：，，， ， ， ∴温度最低的是， 故选：D． 3．（2025·辽宁沈阳·三模）每年10月的第二个星期四是世界视力日，爱护视力，从己做起．验光时，例如，将近视50度记录为“”，等等．现有5位同学的验光记录如下：．通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正．在这5位同学中，需要持续佩戴眼镜的同学有（　　） A．0位 B．1位 C．2位 D．3位 【答案】C 【分析】本题主要考查正数和负数，有理数的大小比较，读懂题意是解题的关键． 根据近视50度记录为“”，，求出各位同学近视的度数与200度比较即可作答． 【详解】解：表示近视145度， 表示近视280度， 表示近视75度， 表示近视105度， 表示近视235度， ∵ 那么有2位同学需要持续配戴眼镜， 故选：C． 4．（2025·辽宁阜新·二模）下列各数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分别计算比较即可． 【详解】解：∵， ∴绝对值最大的数是． 故选：C． 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据，可得a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵、为两个连续整数， ∴，， ， 故选：A． 6．（2025·辽宁盘锦·二模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的除法，有理数的减法等．先根据点在数轴上的位置得出，，再结合有理数的除法，有理数的减法，绝对值的性质逐项分析即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，， 故，B选项结论错误，不符合题意； 故，A选项结论错误，不符合题意； 故，C选项结论错误，不符合题意； 则， 故，D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 7．（2025·辽宁丹东·模拟预测）国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达米，其中用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 8．（2025·辽宁抚顺·三模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的锐角三角函数． 根据算术平方根的定义、特殊角的锐角三角函数、指数幂和负指数幂的定义，把算式各部分计算出来，可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算即可； 【详解】解： 9．（2025·辽宁锦州·三模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数幂、特殊角的三角函数和负整数指数幂等知识； 先计算绝对值、0指数幂、代入特殊角的三角函数、计算负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可； 【详解】解：原式 ． 10．（2025·辽宁营口·模拟预测）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，化简二次根式，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 先计算特殊角三角函数值，再化简二次根式和计算零指数幂，负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可； 【详解】解： 11．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 12．（2025·辽宁·模拟预测）对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（    ） A．80 B．6400 C．6561 D．6560 【答案】D 【分析】本题本题考查了估算无理数的大小，的定义，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．由的定义为不大于的最大整数，6560进行3次操作后变为2，6561进行3次操作后变为3，据此可得出m的最大值． 【详解】解：∵，，， ∴对6560只需进行3次操作后变为2， ∵，，， ∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560， ∴m的最大值为6560． 故选：D． 13．（2025·辽宁·模拟预测）对于实数a，b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③若是一元二次方程的两个根，且，则m的值为3或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据新定义进行运算，整式的混合运算及一元二次方程根与系数的关系，即可一一判定． 【详解】解：，故①正确； 当时，即时，， 当时，即时，，故②正确； ∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴，解得：； 当时，， ∵， ∴或，解得：或； 综上所述：m的值为3或，故③错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 14．（2025·辽宁·模拟预测）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】(1)是 (2)①证明见解析最小算术平方根是4，最大算术平方根是20，②任意两个数的乘积都是完全平方数 (3)81 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“数”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“数”的定义分别求解算术平方根即可；根据新定义直接写出结论即可 （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∵结果分别为8，10，20，都是整数， ∴4，16，25是“数”， 故答案为：是； （2），，，其结果分别为4，10，20，都是整数， 所以2，8，50三个数是“数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20． ②任意两个数的乘积都是完全平方数； （3）解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得． 综上所述，的值为81． 15．（2025·辽宁·模拟预测）小明是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念，他规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如等，类比有理数的乘方，小明把记作记作．请你根据小明的规定解决下列问题： (1)_______，_______． (2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是_______（填序号）． ①对于任何正整数，都有； ②； ③； ④对于任何正整数，都有． (3)计算：． 【答案】(1)8； (2)③ (3) 【分析】本题考查有理数的除法，是一道新定义型题目，难度适中，熟练掌握有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）①要考虑为奇数和偶数的两种情况；②分别计算和的结果进行比较即可；③正确④为偶数，偶数个相除，结果应为正． （3）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：①对于任何正整数，当为偶数时，有，为奇数时，，故①错误； ②；，，故②错误； ③，故③正确； ④对于任何正整数，都有，而不是，故④错误； 故答案为③． （3）解： ． 16．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数． 计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是． 【详解】解：∵表示4的算术平方根，且， ∴ ． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 17．（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【答案】D 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 18．（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 19．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 20．（2025·四川巴中·中考真题）所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用． 根据题意可知每经历一个半衰期，质量变为原来的，由此可得经历个半衰期后的质量． 【详解】解：， ∴经历了个半衰期后的质量为． 故选：D． 21．（2025·湖南长沙·中考真题）中国式现代化取得了彪炳史册的伟大成就，极大地提升了我国的综合国力与国际影响力．据世界银行公布的2024年各国GDP数据，可知2024年中国GDP总量为万亿美元． 附：世界银行公布的2024年GDP排名前20名的部分国家数据表 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 国家 GDP总量（单位：万亿美元） 德国 4.59 巴西 2.33 印度 3.93 俄罗斯 2.05 英国 3.49 韩国 1.76 法国 3.13 瑞士 0.93 预计2025年中国GDP总量的增长率为左右，请你根据以上信息估算： 2025年中国GDP的增长量与下列哪个国家2024年GDP总量最接近？（    ） A．法国 B．瑞士 C．巴西 D．英国 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，计算2025年中国GDP的增长量即可求解； 【详解】解：2025年中国GDP的增长量为：万亿美元． ∴瑞士的GDP总量万亿美元与增长量万亿美元最接近； 故选：B 22．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 23．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 24．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 25．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 26．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算： ，给出下列结论：① ；②若 ，则；③ ；④若 ，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴ ，故①正确， ②∵ ， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③ 不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 27．（2025·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 28．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 29．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $