2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第7讲 简单事件的概率

这是一份初中数学期末复习课件，共40页，围绕“简单事件的概率”展开。以田忌赛马故事引入，通过例题辨析必然事件与随机事件，讲解概率意义与性质，结合列表法、树状图法求概率，包含与代数、几何、函数的综合运用及变式练习，搭建从基础到拓展的学习支架。 资料特色鲜明，融合数学核心素养。以历史故事激发兴趣，培养从现实中发现数学的眼光；通过列表、树状图等方法训练逻辑推理与运算能力，体现数学思维；结合方程、几何判定等综合题，强化模型意识与应用能力，落实数学语言表达。分层例题与变式练习帮助学生逐步掌握概率本质，为教师提供清晰的教学路径，助力期末高效复习。

第7讲 简单事件的概率 YOUR LOGO 田忌赛马 孙膑是战国时代的齐国(今山东一带)人，是春秋末期杰出的军事家孙武的后代．他曾在齐国将领田忌手下当门客． 田忌常和齐威王及诸公子以赛马赌博．田忌的马有上、中、下三等；齐王的马也有上、中、下三等，但每一等都比田忌同等的马好，于是田忌屡赛屡输．这次他俩又下了1 000两黄金的赌注，田忌一筹莫展．就在这时，孙膑对田忌说：“您尽管同他赛，我有办法让您赢．” 比赛开始了．齐王令出上马，孙膑让田忌先出下马，齐王舒舒服服、轻而易举地赢了第一场；然后齐王令出中马，孙膑让田忌出上马，经过激烈比赛，田忌的马赢了；最后齐王出下马，孙膑让田忌出中马，田忌的马又赢了.3场比赛，田忌以2∶1取胜，“卒得王千金”． 这次比赛有以下特点：知己知彼，避敌锋芒，后发制人，以弱胜强．这里包含着许多辩证的军事思想，并且成功地应用了数学(数学决不单单是计算)． 田忌反败为胜，令齐王大为惊讶，于是田忌向齐王推荐孙膑．齐王准奏，任命孙膑为军师．此后孙膑屡建战功．而“田忌赛马”则成为脍炙人口的一个故事，数学家爱说它，政治家、哲学家、军事家也爱说它． 必然事件与随机事件 例1　下列说法中不正确的是 (　 　) A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个 球是必然事件 C．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定 事件 D．一只盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个(每个球除 了颜色外都相同)．如果从中任取一个球，取得的是红 球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是6 C 【解析】 A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故A选项正确； B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件，故B选项正确； C．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是不确定事件，故C选项错误； 【思路生成】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率的求法作出判断． 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件． 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件． 随机事件：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件. 1．下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100 ℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是_________．(填序号) ①③ 概率在游戏中的应用 例2　小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔(不放回)，若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜． (1)请用树状图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果； (2)请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利． 【思路生成】(1)列表将所有等可能的结果一一列举出来 即可； (2)根据概率公式求得小明获胜的概率即可判断是否公平． 解：(1)列表得： 红1 红2 红3 黑1 黑2 红1 ____ 红1红2 红1红3 红1黑1 红1黑2 红2 红2红1 ____ 红2红3 红2黑1 红2黑2 红3 红3红1 红3红2 ____ 红3黑1 红3黑2 黑1 黑1红1 黑1红2 黑1红3 ____ 黑1黑2 黑2 黑2红1 黑2红2 黑2红3 黑2黑1 ____ 2．让图2－7－1中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于 (　 　) 图2－7－1 C 列举法求概率 用列举法求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率． 列表法或树状图法求概率 列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，经常采用列表法． 树状图：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，可采用画“树状图法”． 游戏公平性 所谓游戏是否公平，就是看所关注结果的概率，概率相等，游戏公平；概率不相等，则表明游戏是不公平游戏，可以通过修改游戏规则使之公平． 3.某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去，规定如下：将正面分别标有数字1，2，3，4的四张卡片(除数字外其余都相同)洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回，重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字，如果两个数字的和为奇数，则小明去；如果两个数字的和为偶数，则小亮去． (1)请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字和的所有可能出现的结果； (2)你认为这个规则公平吗？请说明理由． 解：(1)画树状图如答图所示． 由树状图可知共出现了16种可能的结果．  变式跟进3答图 概率与代数或方程的综合运用 例3　大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字－1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作为p的值；然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为q的值，两次结果记为(p，q)． (1)请你帮他们用树状图或列表法表示(p，q)所有可能出现的结果； (2)求满足关于x的方程x2＋px＋q＝0没有实数解的概率． 【思路生成】(1)首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果； (2)由(1)可求得满足关于x的方程x2＋px＋q＝0没有实数解的所有可能情况，进而得出所求概率． q (p，q) p －1 0 1 －1 (－1，－1) (－1，0) (－1，1) 0 (0，－1) (0，0) (0，1) 1 (1，－1) (1，0) (1，1) (2)当p2－4q<0时，方程没有实数解，满足p2－4q<0的(p，q)共有3对：(－1，1)，(0，1)，(1，1)． 解：(1)列表表示(p，q)所有可能的结果如下，共有9种： 概率与代数或几何的综合运用 概率与代数、几何的综合运用是近年来中考的热点，这类问题的本质还是求概率，只不过应用代数或几何的方法确定某些具有限制条件的事件数． 4．在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A，B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有－5，－1，1.每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y. (1)若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是－1，它们恰好是ax－y＝5的解，求a的值； (2)求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y＝5的解的概率．(请用树状图或列表法求解) 解：(1)把x＝2，y＝－1代入ax－y＝5，得2a＋1＝5，解得a＝2. (2)由题意，列表如下： A组 (x，y) B组 0 2 3 －5 (0，－5) (2，－5) (3，－5) －1 (0，－1) (2，－1) (3，－1) 1 (0，1) (2，1) (3，1) 由表可知，总共有9种结果，甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y＝5的解的结果有3种：(0，－5)，(2，－1)，(3，1)． 概率与几何的综合运用 例4　四张背面完全相同的纸牌(如图2－7－2，用①，②，③，④表示)．正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽出一张(不放回)，再随机抽出一张． (1)写出两次摸牌出现的所有可能的结果(用①，②，③，④表示)； (2)以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形ABCD为平行四边形的概率． 图2－7－2 【思路生成】(1)利用树状图或列表展示所有等可能的结果数； (2)由于共有12种等可能的结果数，根据平行四边形的判定找出所有符合条件的情况，再利用概率公式求解即可． 解：(1)画树状图 例4答图 　或列表 ① ② ③ ④ ① － ①② ①③ ①④ ② ②① － ②③ ②④ ③ ③① ③② － ③④ ④ ④① ④② ④③ － ∴出现的所有可能的结果是：①②，①③，①④，②①，②③，②④，③①，③②，③④，④①，④②，④③. (2)能判断四边形ABCD为平行四边形的结果是：①③，①④，②③，③①，④①，③②六种， 5．如图2－7－3，有以下3个条件：①AC＝AB，②AB∥ CD，③∠1＝∠2.从这3个条件中选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是 (　 　) 图2－7－3 D 6．如图2－7－4，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一个点C，使△ABC为直角三角形的概率是 (　 　) D 图2－7－4 概率与函数的综合运用 例5　在一个不透明的布袋里装有4个标号为1，2，3，4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x，y)． (1)请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标； (2)求点(x，y)在函数y＝－x＋5图象上的概率． 【思路生成】(1)首先根据题意画出表格，即可得到P的所有坐标； (2)然后由表格求得所有等可能的结果与数字x，y满足y＝－x＋5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 　解：(1)列表得： y (x，y) x 1 2 3 4 1 — (1，2) (1，3) (1，4) 2 (2，1) — (2，3) (2，4) 3 (3，1) (3，2) — (3，4) 4 (4，1) (4，2) (4，3) — 点P所有可能的坐标有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12种． (2)∵共有12种等可能的结果，其中在函数y＝－x＋5图象上的有4种，即(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， C 8．从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落 在抛物线y＝－x2＋x＋2上的概率为_____． 例6　5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花．已知康乃馨每枝5元，兰花每枝3元，小明只有30元，希望购买花的枝数不少于7枝，其中至少有一枝是康乃馨． (1)小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案； (2)如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从(1)中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率． 解：(1)设小明购买x枝康乃馨，y枝兰花，则 当x＝3时，5×3＋3y≤30，∴y≤5，∴y＝5，4，所以购买3枝康乃馨，5枝兰花；3枝康乃馨，4枝兰花； 综上所述，共有8种购买方案，方案如下表 方案序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 康乃馨枝数(枝) 1 1 1 2 2 3 3 4 兰花枝数(枝) 8 7 6 6 5 5 4 3 购买所需钱数(元) 29 26 23 28 25 30 27 29 此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比. D．P(红球)＝，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，所以m＋n＝6，故D选项正确． 1．事件的分类： 事件 2．概率的意义：如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为P(A)＝. 3．P(必然事件)＝1； P(不可能事件)＝0； 0＜P(随机事件)＜1. (2)共20种情况，其中颜色相同的有8种， ∴小明获胜的概率为＝， 则小军获胜的概率为1－＝，∵<， ∴不公平，对小军有利． A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. (2)出现的奇数有8个，则P(和为奇数)＝＝；P(和为偶数)＝＝.P(和为奇数)＝P(和为偶数)，所以游戏公平． ∴关于x的方程x2＋px＋q＝0没有实数解的概率是＝. 所以甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y＝5的解的概率为＝. 故能判断四边形ABCD为平行四边形的概率为＝. A．0 B. C. D．1 A. B. C. D. ∴点P(x，y)在函数y＝－x＋5图象上的概率为＝. 7．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标(x，y)，那么点P落在双曲线y＝上的概率为 (　 　) A. B. C. D. 【解析】 列表一共有36种结果，每种结果出现的可能性是相同的，点P落在双曲线y＝上的有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)． ∴点P落在双曲线y＝上的概率为＝. ①＋②×3，得5x＋3y＋21≤30＋3x＋3y，∴x≤， ∴1≤x≤. 当x＝1时，5×1＋3y≤30，∴y≤，∴y＝8，7，6，所以购买1枝康乃馨，8枝兰花；1枝康乃馨，7枝兰花；1枝康乃馨，6枝兰花； 当x＝2时，5×2＋3y≤30，∴y≤，∴y＝6，5，所以购买2枝康乃馨，6枝兰花；2枝康乃馨，5枝兰花； 当x＝4时，5×4＋3y≤30，∴y≤，∴y＝3，所以购买4枝康乃馨，3枝兰花． (2)如果小明先购买一张2元的祝福卡，则5x＋3y≤28，所以从(1)中任选一种方案购花，他能实现购买愿望的概率为. $