九年级数学上学期第一次月考·培优卷（浙教版，举一反三）

九年级数学上学期第一次月考·培优卷 【浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：二次函数~简单事件的概率 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（2025·贵州贵阳·一模）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 3．（3分）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（    ） A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位； B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位； C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位； D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位； 4．（3分）（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）“二十四节气”是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，不仅是指导农耕生产的时间体系，还蕴含着丰富的民俗文化和生活智慧．一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片（除了画面内容外其他都相同），其中有1张“霜降”，1张“惊蛰”，2张“小满”，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小满”的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（2025·河南郑州·模拟预测）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，与其对应的函数值，则下列说法正确的是（   ） A．该二次函数图象的对称轴是直线 B．该二次函数的图象开口向上 C．该二次函数的图象与轴可能没有交点 D． 7．（3分）小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有数字、、、、、的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于，则小晶赢；若点数之和等于，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么（      ） A．小晶赢的机会大 B．小红赢的机会大 C．小晶、小红赢的机会一样大 D．不能确定 8．（3分）已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值与（　　） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 9．（3分）数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是（） A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求 C．，需都知道，才能求t D．即使，都知道，仍无法求 10．（3分）（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则其中结论错误的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ． 12．（3分）（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ． 13．（3分）（2025·安徽合肥·三模）在古代，我们常用抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”表示刚毅，符号“☱”表示愉快．若符号中的“⚋”代表“阴”，“⚊”代表“阳”，且每行出现阴、阳的可能性相同，则随机画一个三行符号，出现一阴两阳的概率是 ． 14．（3分）（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则 ． 15．（3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 16．（3分）（2025·四川成都·模拟预测）新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数，其顶点为． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围． 18．（6分）（24-25七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 19．（8分）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 20．（8分）（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 21．（10分）（2025·江苏无锡·模拟预测）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 22．（10分）（2025·甘肃·三模）数学老师用游戏的方式给甲、乙两个学习小组提供足球票观看比赛．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从该口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票，否则，乙组获得足球票． (1)用列表或画树状图的方法，求甲组获得足球票的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 23．（12分）某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． (1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ (3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 24．（12分）（25-26九年级上·辽宁抚顺·开学考试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标； (2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为？ (3)当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期第一次月考·培优卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质． 【详解】解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 2．（3分）（2025·贵州贵阳·一模）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意；由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20， ， 抽出某个球的颜色最有可能的是黄球； 故选：C． 3．（3分）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（    ） A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位； B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位； C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位； D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位； 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先将化为顶点式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线， 故选：A． 4．（3分）（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）“二十四节气”是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，不仅是指导农耕生产的时间体系，还蕴含着丰富的民俗文化和生活智慧．一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片（除了画面内容外其他都相同），其中有1张“霜降”，1张“惊蛰”，2张“小满”，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小满”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用概率公式求概率，根据在一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“小满”，然后运用概率公式计算即可，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比成为解题的关键． 【详解】解：在一个不透明的盒子中装了4张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“小满”， 从中随机摸出一张卡片，恰好是“小满”的概率为， 故选：D． 5．（3分）（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求2次摸到的球颜色不同的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有10种，再由概率公式求解即可．本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验． 【详解】解：画树状图如图所示： 共有16种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有10种， ∴2次摸到的球颜色不同的概率为， 故选：B． 6．（3分）（2025·河南郑州·模拟预测）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，与其对应的函数值，则下列说法正确的是（   ） A．该二次函数图象的对称轴是直线 B．该二次函数的图象开口向上 C．该二次函数的图象与轴可能没有交点 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则可对选项进行判断；由于当时，，则抛物线的顶点在第四象限，从而得到抛物线开口向上，抛物线与轴有个交点，从而可对B、C选项进行判断；通过比较点和点到对称轴的距离，根据二次函数的性质得到，于是可对D选项进行判断． 【详解】解： 抛物线经过，， 抛物线的对称轴为直线，所以选项A不符合题意； 当时，， 抛物线的顶点在第四象限， 抛物线开口向上，所以选项B符合题意； 抛物线与轴有个交点，所以C选项不符合题意； 点到直线的距离大于点到直线的距离， 而抛物线开口向上， ，所以D选项不符合题意． 故选：B． 7．（3分）小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有数字、、、、、的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于，则小晶赢；若点数之和等于，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么（      ） A．小晶赢的机会大 B．小红赢的机会大 C．小晶、小红赢的机会一样大 D．不能确定 【答案】B 【分析】先通过列表得到共有36种等可能的结果，其中点数之和等于6的占5种，点数之和等于7的占6种，再根据概率的定义得到P（小晶赢）=；P（小红赢）==，即可得到答案． 【详解】列表如下： 共有36种等可能的结果，其中点数之和等于6的占5种，点数之和等于7的占6种，∴P（小晶赢）=；P（小红赢）==，即P（小晶赢）＜P（小红赢），所以小红赢的机会大． 故选B． 【点睛】本题考查了游戏公平性问题：先利用列表或树状图法展示所有等可能的结果数，然后找出两个事件所发生的结果数，根据概率的定义计算出它们的概率，然后通过概率的大小判断游戏是否公平． 8．（3分）已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时，函数值与（　　） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的图象性质，利用二次函数的对称性解决问题． 可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．求出，代入求出y，再分别把每项数代入求出y，看看y值是否相等即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则以、为横坐标的两点关于直线对称， 若，则， 若，则， 所以， 代入二次函数的解析式得：， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 9．（3分）数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是（） A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求 C．，需都知道，才能求t D．即使，都知道，仍无法求 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值问题，在本题中分类讨论思想运用是解题的关键．先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论． 【详解】解：二次函数， 该抛物线的对称轴为直线，且， 当， 当时，二次函数有最大值为：，即， 当时，二次函数有最小值为：，即， 当， 当时，二次函数有最大值为：， 当时，二次函数有最小值为：，即， 当， 此时当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值，即， ，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，即， ，当或1时．函数有最大值， 当时，函数有最小值，即， 的值与有关，但与无关， 故选：． 10．（3分）（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则其中结论错误的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：由图象可知：，，， ，故错误，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故错误，符合题意； ，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知：， 当时，， 故正确，不合题意； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于时， 在轴下方的抛物线上存在点，使得， 即， ， ， ， ， 解得：，故错误，符合题意； 易知抛物线与轴的另外一个交点坐标为， ， 若方程， 即方程的两根为，， 则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故错误，符合题意； 故选：． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值为4， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 12．（3分）（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，设，，则由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合计算得出，从而可得，由二次函数的对称性计算可得，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设，， ∴、是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线上有两个点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，． 故答案为：． 13．（3分）（2025·安徽合肥·三模）在古代，我们常用抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“☰”表示刚毅，符号“☱”表示愉快．若符号中的“⚋”代表“阴”，“⚊”代表“阳”，且每行出现阴、阳的可能性相同，则随机画一个三行符号，出现一阴两阳的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是列出所有可能的基本事件，再找出符合条件的基本事件个数，最后根据概率公式计算概率． 明确每行有阴、阳两种可能，三行符号的所有结果可通过列举得出；数出其中一阴两阳的结果个数；根据概率公式“概率所求情况数与总情况数之比”计算概率． 【详解】解：因为每行出现阴、阳的可能性相同，且每行有2种情况，所以三行符号的所有可能结果有： （阴，阴，阴）、（阴，阴，阳）、（阴，阳，阴）、（阴，阳，阳）、 （阳，阴，阴）、（阳，阴，阳）、（阳，阳，阴）、（阳，阳，阳）， 共8种． 其中出现一阴两阳的结果有：（阴，阳，阳）、（阳，阴，阳）、（阳，阳，阴），共3种． 根据概率公式，出现一阴两阳的概率是． 故答案为：． 14．（3分）（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 15．（3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了频率估计概率，由落入黑色部分的频率稳定在0.6，可根据几何概率求黑色部分的面积；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：15． 16．（3分）（2025·四川成都·模拟预测）新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．根据是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，，将，代入解方程组得到由，，两式相减得：，求得，得到“偶点”在直线上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线与抛物线在内有交点，将代入抛物线方程得得到，，这是一个函数，对称轴为直线，当时，当时，当时，求得在的最小值为，最大值为，于是得到结论． 【详解】解：已知是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，， 将，代入可得：， 解得或， ，当时，，不符合条件，舍去， 由，，两式相减得：， ， 即， ， ，即， “偶点”在直线上， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在内有交点， 联立得：， 整理得， ，，这是一个二次函数，对称轴为直线， 当时，； 当时，， 当时，； 在的最小值为，最大值为， 的取值范围 故答案为：；． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知二次函数，其顶点为． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象顶点的坐标为； (2)或． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）求出抛物线过N点时a的值，再结合图象求a的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象顶点的坐标为； （2）解：∵一次函数与直线交于点，与直线交于点， ∴，， ∵抛物线顶点的坐标为， ∴点在点的上方， ∵线段与二次函数只有一个交点， 则点N在抛物线上或抛物线下方， 当过点N时， ，即， 解得或， ∴或． 18．（6分）（24-25七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有______个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】(1)0.25 (2)5 (3)①④ 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． （1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数=球的总数×得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在0.67附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25； 故答案为：0.25； （2）解：根据题意得：（个）， 所以，盒子里白球有5个； （3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 19．（8分）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点 ，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 20．（8分）（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 21．（10分）（2025·江苏无锡·模拟预测）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）分两种情况：若点B恰好落在轴上；若点C恰好落在轴上，利用平移的性质解答即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：若点B恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：（不符合题意）， 此时点C的坐标为； 若点C恰好落在轴上， ∵， ∴线段向下平移4个单位， ∵， ∴点C的纵坐标为， 当时，， 解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：∵， ∴可设，则， ∴点F的坐标为或 设直线的解析式为， ∴，或 解得：或 ∴直线的解析式为或， ∴， 由旋转的性质得：， 如图，过点E作，交直线于点P，过点A，P作分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 如图，过点E作，交直线于点P，作轴，过点A，P作分别作x轴的平行线，交于点M，N，则，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， ∴点E的坐标为， 同理直线的解析式为， 联立得：，解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用，难度较大． 22．（10分）（2025·甘肃·三模）数学老师用游戏的方式给甲、乙两个学习小组提供足球票观看比赛．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从该口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票，否则，乙组获得足球票． (1)用列表或画树状图的方法，求甲组获得足球票的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表得出共有12种等可能的结果，其中为奇数的结果有4种，再由概率公式求解即可； （2）由（1）可知，甲组获得足球票的概率，共有12种等可能的结果，其中为偶数的结果有8种，再由概率公式求出乙组获得足球票的概率，然后比较即可． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中为奇数的结果有4种， 甲组获得足球票的概率； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，甲组获得足球票的概率，共有12种等可能的结果，其中为偶数的结果有8种， 乙组获得足球票的概率， ， 甲组获得足球票的概率乙组获得足球票的概率， 这个游戏不公平． 23．（12分）某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． (1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ (3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 【答案】(1)； (2)元/件； (3)万元． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的图象与性质求解． 根据利润单件利润销售量，即可解决问题； 当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价； 根据公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件，可得：，根据利润单件利润销售量，可得第二年的利润为，求出在的取值范围内二次函数的最小值即可． 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． （3）解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件， ， 解得：， ， 第二年的利润， 抛物线的对称轴为直线，开口向下，且， 当时，有最小值，最小值为万元， 答：该公司第二年的利润至少为万元． 24．（12分）（25-26九年级上·辽宁抚顺·开学考试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标； (2)当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为？ (3)当时，若图象与平行于轴的直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，它的顶点坐标； (2)或时，图象的最大值与最小值的差为； (3)当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （）用待定系数法求函数的解析式即可； （）根据点与点的位置，结合图象分类讨论即可； （）直线经过点时，直线与图象有两个交点，再结合图象，确定的取值即可． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为， 由， ∴它的顶点坐标； （2）解：由（）得它的顶点坐标； 当时，， ∴或， 当时，图象的最大值为，最小值为 ， ∴ ， 解得或， ∴时，图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴图象的最大值与最小值的差为； 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得（舍去）， 当时，图象的最大值为，最小值为， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述：或时，图象的最大值与最小值的差为； （3）解：当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点，如图： 当时， 解得：或（舍去）， 此时图象与直线有且只有两个公共点，如图： 当时，，此时图象与直线有且只有一个公共点， 综上所述：当或时，图象与直线有且只有一个公共点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$