2026年中考数学一轮复习知识点强化训练——正方形

2026年中考数学复习知识点强化训练——正方形 考试范围：正方形；考试时间：100分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边在右侧作菱形BDEF，点E、F分别在AD、BC的延长线上，连接BE，则∠DBE的度数为（　　） A．30° B．25° C．22.5° D．20° 2．如图，Rt△ABC的直角边AC＝3，BC＝4，以AB为边作正方形ABDE，连接CE，则△ACE的面积为（　　） A．3 B． C．4 D．5 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B（0，﹣2）．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为（　　） A．（﹣3，5） B．（5，﹣3） C．（﹣2，5） D．（5，﹣2） 4．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是边BC的中点，点F是边AB的中点，连接DF，过点B作BG⊥DF交DF延长线于点G，连接AG、EG，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在正方形ABCD中，M，N分别为CD，BC边上的点，且AM⊥DN，AM与DN交于点P，连接AN，Q为AN中点，连接PQ，若AB＝15，DM＝7，则PQ的长为（　　） A．7 B． C．9 D． 6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作EG⊥BD，垂足为点G，若EF⊥CF，，则BE的长为（　　） A． B．2 C． D．3 7．如图，正方形ABCD的边长为6，△BEF为等腰直角三角形，BE＝EF＝3，∠BEF＝90°，连接DE、DF，点H为DF的中点，连接EH的最小值为（　　） A．3 B． C． D． 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边BC上一动点（不与点B，C重合），点C关于直线DE的对称点为F，求正方形的中心O与点F距离的最小值（　　） A．1 B． C． D． 9．如图，正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF．过点C作CG⊥EF交BD于点G．若BE＝1，EC＝5，则DG的长为（　　） A．3 B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点且BC＝CP，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F．下列结论：①AC＝DP；②EF∥DP；③CFCD；④若AB＝1，则OF．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每题3分，共24分） 11．在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC中点，点F在CD上．连接AE，AF，若∠EAF＝45°，则AF＝　 　 ． 12．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，过点E作EF⊥AD于点F，若AB＝3，EF＝1，则EC的长为　 　 ． 13．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥PB，PQ交CD于点Q，若AP＝CQ＝3，则正方形ABCD的面积为　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，E、F为BC边上的三等分点，联结AE，点B关于AE对称点为M，BM交AE于点N，BM的延长线交CD于点G，联结MF、MD、MC．以下结论正确的有　 　 （写序号）． ①MF⊥BG； ②∠CMG＝45°； ③MG＝MC； ④MD＝2MC； ⑤S△MFC＝2S△MCG． 15．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，以AD为边向内作等边△ADE，连接BE并延长交CD于点F，则CF＝　 　 16．如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则下列结论：①AE＝DF；②AF+CE＝AD；③∠DFE+∠EPC的度数始终保持不变； ④．其中正确的结论是　 　 ．（填写正确结论的序号） 三．解答题（共7小题，共66分） 17．如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF为菱形． （2）若，BE＝2，求四边形AECF的面积． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AD的中点，DF＝1，连接BE，EF，BF． （1）证明：△BEF是直角三角形； （2）过点E作EG⊥BF交DC于点G，交BF于点H，求EH的长； （3）在（2）的情况下，求CG的长． 19．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG． （1）求证：∠ADG＝90°； （2）如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，请探究EH、BE、DH三条线段之间的数量关系，并说明理由． 20．（1）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形CBF，已知，EF＝2，△ACF的面积为9，设AC＝a，BC＝b，求△ACE与△CBF的面积之和． （2）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝5，CN＝2，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为多少？ 21．在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形ABCD边BC、CD上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形ABCD为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），∠EAF＝45°，延长CD至G，使DG＝BE，BE＝2，DF＝3，则EF＝ 　 　 ；在图2中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，BE＝1，FD＝1.5，则EF＝ 　 　 ； 归纳证明： （2）在图3中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 22．如图所示，四边形ABCD为正方形，F、G分别为边AD、BC上的点，BE⊥FG于E． （1）求证：∠ABE＝∠GFD； （2）在EF上截取EH＝BE，连接DH，O为DH的中点，连接AO、AE． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段AO和AE的数量关系，并证明． 23．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点． （1）求AE的长； （2）如图2，过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长； （3）如图3，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求OE的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B B D C B B 二．填空题 11．． 12．． 13．． 14．①②④． 15．． 16．①②④． 三．解答 17．（1）证明：连接AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO， ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：由（1）知：四边形AECF是菱形， ∵， ∴AC＝BD＝6， ∵BE＝DF＝2， ∴EF＝BD﹣BE﹣DF＝2， ∴菱形AECF的面积． 18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，E为AD的中点，DF＝1， ∴AB＝AD＝CD＝CB＝4，∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴AE＝DEAD＝2，CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3， ∴BE2，EF，BF5， ∵BE2+EF2＝（2）2+（）2＝25，BF2＝52＝25， ∴BE2+EF2＝BF2， ∴△BEF是直角三角形． （2）解：由（1）得△BEF是直角三角形，且BE＝2，EF，BF＝5，∠BEF＝90°， ∵EG⊥BF交DC于点G，交BF于点H， ∴S△BEF5EH2， ∴EH＝2， ∴EH的长为2． （3）解：连接BG， ∵HE＝2，AE＝2，∠BHE＝90°， ∴HE＝AE，∠BHG＝90°， 在Rt△BHE和Rt△BAE中， ， ∴Rt△BHE≌Rt△BAE（HL）， ∴HB＝AB， ∴HB＝CB， 在Rt△BHG和Rt△BCG中， ， ∴Rt△BHG≌Rt△BCG（HL）， ∴HG＝CG， ∵DE2+DG2＝EG2，且DE＝2，DG＝4﹣CG，EG＝EH+HG＝2+CG， ∴22+（4﹣CG）2＝（2+CG）2， 解得CG， ∴CG的长是． 19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形和四边形AEFG是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠B＝∠EAG＝90°， ∴∠EAD+∠DAG＝90，∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， 在△BAE和△DAG中， ， ∴△BAE≌△DAG（SAS）， ∴∠ADG＝∠B＝90°； （2）解：BE+DH＝HE，理由如下： ∵△BAE≌△DAG， ∴BE＝DG，AE＝AG， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠EAH＝∠GAH＝45°， 在△EAH和△GAH中， ∴△EAH≌△GAH（SAS）， ∴EH＝GH， ∵DG+DH＝GH， ∴BE+DH＝EH． 20．解：（1）∵等腰直角三角形ACE和CBF， ∴BC＝CF＝b，AC＝CE＝a， ∵EF＝2， ∴a﹣b＝2， ∵△ACF的面积为9， ∴， ∴ab＝18， ． （2）设BM＝b，BN＝a，则AB＝b+5，BC＝a+2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， ∴b+5＝a+2， ∴a﹣b＝3， ∵阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为30， ∴a2+b2＝30， ∴（a﹣b）2+2ab＝30， ∴9+2ab＝30， ∴， ∴：． 21．解：（1）如图1所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∵点G是CD延长线上的点，且DG＝BE， ∴∠ADG＝∠B＝90°， 在△ADG和△ABE中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠GAF＝45°， ∴∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DF+DG＝DF+BE， ∴EF＝DF+BE， 又∵BE＝2，DF＝3， ∴EF＝5， 故答案为：5； 延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，如图2所示： ∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠ADG＝∠B＝90°， 在△ADG和△ABE中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝30°， ∴∠DAG+∠DAF＝30°， 即∠GAF＝30°， ∴∠GAF＝∠EAF＝30°， 在△GAF和△EAF中， ， ∴△GAF≌△EAF（SAS）， ∴FG＝EF， ∵FG＝DF+DG＝DF+BE， ∴EF＝DF+BE， 又∵BE＝1，FD＝1.5， ∴EF＝2.5， 故答案为：2.5； （2）图3中线段BE，EF，FD之间的数量关系是：EF＝BE+FD，证明如下： 延长CD到G，使DG＝BE，连接AG，如图3所示： ∵∠ADG+∠BDC＝180°，∠B+∠BDC＝180°， ∴∠ADG＝∠B， 在△ADG和△ABE中， ， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF∠BAD， ∴∠DAG+∠DAF∠BAD， 即∠GAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠EAF∠BAD， 在△GAF和△EAF中， ， ∴△GAF≌△EAF（SAS）， ∴FG＝EF， ∵FG＝DG+FD＝BE+FD， ∴EF＝BE+FD． 22．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC∥AD， ∴∠GBE+∠ABE＝90°，∠BGF＝∠GFD， ∵BE⊥GF， ∴∠BGF+∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠BGF ∴∠ABE＝∠GFD； （2）①依题意补全图形如图1所示： ②线段AO和AE的数量关系是：AEAO，证明如下： 连接EO，过点D作DM∥EF交EO的延长线于M，连接AM，如图2所示： 则∠HEO＝∠M，∠ADM＝∠GFD， ∵O为DH的中点， ∴OH＝OD， 在△HEO和△DMO中， ， ∴△HEO≌△DMO（AAS）， ∴OE＝OM，EH＝MD， ∵EH＝BE， ∴BE＝MD， 由①可知：∠ABE＝∠GFD， ∴∠ABE＝∠ADM， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAM，AE＝AM， ∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD＝90°， ∴∠DAM+∠EAD＝90°， ∴∠EAM＝90°， 即△AEM为等腰直角三角形， 又∵OE＝OM， ∴AO⊥EM，AO＝OE＝OM， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2＝AO2+OE2＝2AO2， ∴AEAO． 23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AB， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE是直角三角形， 在Rt△ABE中，∠BAE＝30°， ∴AE＝2BE， 由勾股定理得：ABBE， ∴BEAB2， ∴AE＝2BE＝4； （2）过点G作GP⊥CD于点P，连接EG，如图2所示： ∵∠GPC＝∠GPH＝90°， ∴△GPH是直角三角形，∠GPC＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形GBCP是矩形， ∴GP＝BC，∠PGB＝∠PGA＝90°， ∴GP＝AB， 设AG＝a，则BG＝AB﹣AG， 在Rt△ABE和Rt△GPH中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△GPH（HL）， ∴∠PGH＝∠BAE， ∵∠PGH+∠AGF＝∠PGA＝90°， ∴∠BAE+∠AGF＝90°， 在△AGF中，∠AFG＝180°﹣（∠BAE+∠AGF）＝90°， ∴GH⊥AE， 又∵点F是AE的中点， ∴GH是线段AE的垂直平分线， ∴EG＝AG＝a， 由（1）可知：BE＝2， 在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG2＝BG2+BE2， ∴， 解得：a， ∴AG＝a； （3）连接OA，过点O作OQ⊥BC于点Q，OT⊥AB于点T，如图3所示： ∴∠OQB＝∠OTB＝∠ABC＝90°， ∴四边形OQBT是矩形，△OEQ和△OAT都是直角三角形， 在正方形ABCD中，∠ABD＝90°， ∴△BOT是等腰直角三角形， ∴OT＝BT， ∴矩形OQBT是正方形， ∴∠QOT＝90°，OQ＝OT， ∵点F是AE的中点，MN⊥AE， ∴MN是线段AE的垂直平分线， ∴OE＝OA， 在Rt△OEQ和Rt△OAT中， ， ∴Rt△OEQ≌Rt△OAT（HL）， ∴∠QOE＝∠TOA， ∵∠QOE+∠TOE＝∠QOT＝90°， ∴∠TOA+∠TOE＝90°， 即∠AOE＝90°， ∴△AOE是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AEOE， ∴OEAE， 由（1）可知：AE＝4， ∴OEAE． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/8 23:36:26；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $