第十八章分式单元练习2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十八章分式单元练习 一、单选题 1．在，，，，中，分式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 4．下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 5．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（   ） A． B． C． D． 8．若a满足，则分式的值为（   ） A． B． C．0 D． 9．某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，元旦期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的（   ） 甲同学：设该饮料每瓶是元，则 乙同学：设该饮料每箱是瓶，则 丙同学：设该饮料每瓶是元，则 丁同学：设该饮料每箱是瓶，则 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．乙、丙 D．甲、丁 10．浓度为的盐水公斤与浓度为的盐水公斤混合后的溶液浓度是(　　) A． B．( C． D． 11．若关于的分式方程有增根，则增根是（   ） A． B． C． D． 12．“某学校整修校内的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少段米．”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（   ） A．每天比原计划多修，结果延期2天完成 B．每天比原计划多修，结果提前2天完成 C．每天比原计划少修，结果延期2天完成 D．每天比原计划少修，结果提前2天完成 13．对于两个不相等的实数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程的解为（    ） A．5 B．6 C．5或6 D．无解 二、填空题 14．化简： ． 15．分式方程的解是 ． 16．要使分式的值是非负数，则x的取值范围是 ． 17．如果，那么 ， ． 18．八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 19．，其中，且取整数，求所有符合条件的的分式值之和是 20．关于分式方程无解，则的值为 ． 21．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到里时就已经追上走路慢的人，则可列方程 ． 22．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为 ； （2）若均为非零整数，则的值为 ． 三、解答题 23．计算 (1) (2) (3) (4)． 24．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 25．解下列分式方程 (1) (2) 26． 先化简，再求值：，其中． 27．下面是彬彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．        第一步        第二步         第三步        第四步       第五步        第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第___________步是进行分式的通分，通分的依据是___________；②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 28．嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 (1)求被墨水污染的部分； (2)嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 29． 某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 30．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十八章分式单元练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 1．B 【分析】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：在，，，，中， 分式有在，，中，共有3个． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故选D． 3．D 【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 4．B 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论． 【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意； B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意； C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意； D、当时，有意义，故本选项不合题意； 故选：B． 5．B 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 6．B 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义：分母不为零，即可解答． 【详解】解：根据题意得，， 解得：． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当表示时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的相等，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的2倍，故C符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的8倍，故D不符合题意； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算对式子进行化简，再求出使分式有意义的a的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵要使原式有意义，则， ∴且， ∴， ∴原式． 故选：B 9．A 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 根据题意可设这种饮料的原价每瓶是元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是元”；若设每箱有瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可． 【详解】解：设该饮料每瓶是元，则， 设这种饮料的原价每瓶是元，则有； 设该种饮料每箱有瓶，则有， 故甲、乙、丙正确，丁错误， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了分数的除法，根据题意分别求得总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤，进而根据溶质除以溶液，即可求解． 【详解】解：浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤，浓度为的盐水公斤中溶质质量为公斤． 总溶质质量为公斤，总溶液质量为公斤． 混合后的浓度为： 故选：D． 11．A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，由分式方程有增根，得到最简公分母，进而可得答案． 【详解】解：方程的最简公分母为， 由分式方程有增根，得到， 即， 则增根是， 故选：． 12．B 【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修， ∵方程， 其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前2天完成． 故选：B． 13．B 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中进行分类讨论．根据新定义可得：若 ，则， 若，则，分别求出，即可． 【详解】解：根据新定义可得： 若 ，即，则， ∴， 解得 ， ∵ ， ∴不符合题意，舍去； 若，即，则， ∴， 解得， 经检验为分式方程的解， ∵ ， ∴符合题意； 故选：B． 14．3 【分析】本题主要考查了同分母分式的减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．同分母分式相减，分母不变，分子相减，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 15． 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 16．或 【分析】要使分式的值是非负数，则或，据此求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵分式的值是非负数， ∴， ∴或， 解得或． 故答案为：或． 17． 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 18．答案不唯一，如． 【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式． 【详解】解：由题意得：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 19． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤和分式的运算法则． 对分式进行化简，然后确定的取值，最后代入求值即可． 【详解】解： 的整数值可取， ∵， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； ∴， 故答案为：． 20．或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 21． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意找到等量关系是解题的关键． 设走路快的人走x步就能追上走路慢的人，根据时间、路程、速度结合时间相同，列出方程即可解答． 【详解】解：设走路快的人走x步就能追上走路慢的人， 根据题意，得． 故答案为：． 22． 或 【分析】本题考查了解分式方程，求使分式值为整数时未知数的整数值，求代数式的值； （1）解方程，即可求解； （2）化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得 ， 去分母得， ， 解得：， 经检验：是此方程的解， 故答案为：； （2）由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 23．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法运算，将分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母，能约分的进行约分即可． （1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （3）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （4）直接根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ＝； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 24．(1) (2) 【分析】本题主要考查了整数指数幂的运算，用科学记数法表示结果，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学计算法表示即可． （2）先根据幂的乘方、积的乘方运算法则计算，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 26．；1 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握正确化简分式． 先将括号里面的通分，再作除法，化简分式后，再将代入求值． 【详解】解： 当时， 原式． 27．任务一：三，分式的基本性质，五，括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号；任务三：先将分式约分，再通分，这样可以减少计算量 【分析】本题考查了异分母分式的加减，解题关键是掌握异分母分式的加减的法则． 任务一：根据异分母分式的加减法则是对解题过程逐一分析，再作出判断； 任务二：根据异分母分式的加减法则计算； 任务三：谈谈异分母分式的加减学习需要注意的地方． 【详解】任务一：解：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号， 故答案为：三，分式的基本性质，五，括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号； 任务二： ； 任务三：先将分式约分，再通分，这样可以减少计算量． 28．(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式的除法运算法则即可求出答案． （2）由原分式的值等于1可知x的值，然后根据分式有意义的条件即可判定． 【详解】（1）设被墨水污染的部分是， 则， 解得：； （2）不同意，理由如下： 若，则 由原题可知，当时，原式，原分式无意义， 所以当时，原分式的值不能等于1． 29．甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米，根据“甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 则乙工程队平均每天修复公路千米， 答：甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米． 30．(1)见解析 (2) (3)①；②或0 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，找出关联分式中分子、分母的规律分子不变，父母是原分式分子与分母的和是解题的关键． （1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可；②a.根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可；b.当当也符合题意，即，再求解即可。 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的关联分式． （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②a.∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． b. ∵是的“关联分式”， ∴当也符合题意， ∴，解得：，即。 综上，的值为或0. 故答案为：或0． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $