2.3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2026辽宁中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名新中考 命题点3一元二次方程及其解法 (2024.19(2)) 教材要点归纳 要点①》一元二次方程(ax2+br+e=0,a≠0)必须同时满足以下三个条件： 1.是整式方程； 二次项系数(a≠0) 2.只含有1个未知数； 一次项系数 ax2+bx+c=0 3.未知数的最高次数是2. 拿易错警示对于方程ax2+bx+c=0,只有当① 时才是 二次项一次项常数项 一元二次方程；若ax+bx+c=0是一元二次方程，则必然隐含着② 要点2一元二次方程的解法（基本思路：降次） 解法 适用形式 方程的根 x2=p(p≥0) x1=p,x2=-p 直接开平方法 (x+n)2=p(p≥0) x1=p-n,x2=-p-n (x-a)(x-b)=0 x1=0,x2=b 因式分解法 x(ax+b)=0 名=0，-6 a 任意的一元二次方程，不是 公式法 一般式的要先化为一般式： 求根公式为x=-b±v-4ac 2a ax2+bx+c=0 (当b2-4ac<0时，方程无解) 求解过程： 任意的一元二次方程，转化 变形得x2+2mx=n, 为形如x2+2mx-n=0(一般 配方法 配方得x2+2m+m2=n+m2, 用于二次项系数化为1后一 次项系数是偶数的方程) 即(x+m)2=n+m2,解得x=±√n+m-m 注意：二次项系数不是1的先化为1 像易错警示对于方程两边含有相同因式（如2x(x-1)=3(x-1)的一元二次方程，切勿直接约 去公因式导致丢根，正确做法是将方程化为两个因式之积等于0的形式，利用因式分解法求解。 要点3一元二次方程根的判别式(2024.19(2) 1.判别式：b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式 2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式b2-4ac的关系. (1)b2-4ac>0<曰方程有③ 的实数根； (2)b2-4ac=0=方程有④ 的实数根(x,=x2=⑤ (3)b2-4ac<0曰方程⑥ 实数根 注：由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的三次项系 数念有字母，应注意二次项系数不为0这个隐含条件 知识，点精讲·辽宁数学 17 要点④一元二次方程根与系数的关系 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x,+x2=⑦ 米1x2=⑧ 随堂对点练习 要点11.「2025抚顺顺城区一模1下列方程是一元二次方程的是 A.x2-2y+1=0 B.3y2-2=3(y2-2y) C.ax2+bx+c=0(a≠0》 D4=2 要点2>2.若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 要点33.[2024适应性考试]关于一元二次方程x2-2x-1=0根的情况，下列说法正确的是 A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 4.[2025大连名校联盟八下期中]一元二次方程x2+2x+c=0有实数根，则c的取值范围是 A.c<1 B.c≤1 C.c=1 D.c≠1 变式[北师九上P24议一议改编]已知关于x的方程ax2-4x+1=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，则α的取值范围是 (2)若该方程有两个相等的实数根，则α的值为 (3)若该方程没有实数根，则a的取值范围是 (4)若该方程有实数根，则a的取值范围是 要点45.[北师九上P56第5题改编]已知方程x2-3x+1=0的两根是花，x2,则x,+x2+x1·x2的值 是 要点26.请用你认为的最佳方法解下列一元二次方程， (1)(x+2)2-25=0: (2)[2024适应性考试]x2-6x+4=0: (3)[2025铁岭九下联考]x2-3x=x-3.（4)[2025抚顺顺城区一模]2x2-x-1=0. 温馨提示：请完成《分层作业本》P15-16 18 知识，点精讲·辽宁数学知识点精讲 第一章数与式 命题点1实数的相关概念及大小比较 命题点4代数式、整式与因式分解 教材要点归纳①不循环②-③高于平均身高2cm教材要点归纳①2n-1②3n-2③n(n+1)④am*m ④-2cm⑤小⑥-a⑦0⑧0⑨-a0±1①大 ②>3=④>5103 ⑤am⑥ab⑦ar-⑧】⑨1⑩am+an+bm+bn a 随堂对点练习1.B2.C变式2-1-8 ①a2-b2②a2±2ab+b2 变式2-25.32×10°3.A变式3-1A 随堂对点练习1.(1)(1-45%)x或55%x或0.55x; 变式3-2a<-b<b<-a 4(1)F,6,(2)-3.3,号3)A,c.15(42或4 e20 【拓展设问】(1)4a2;(2)-x2;(3)a2-2ab+b2;(4)-5a2 命题点2二次根式及其运算 3.(1)a(a+b):(2)(4a-1)2;(3)(3+x)(3-x);(4)x(x-1)2 (含无理数的估值) 4.-4050x4049 教材要点归纳①0②0和1③a④-1、0、1 5.(1)解：原式=y2; (2)解：原式=2x2+y2 ⑤≥⑥a⑦√ab⑧√a÷b⑨409①223 当x=2,y=1时，原式=2×4+1=9. 3C43.5546C 命题点5分式及其运算 随堂对点练习1.(1)x≥4；(2)x>1;(3)x≥1且x≠2 2.(1)-2:(2)3:(3)3:(4)32:(5)3:(6)6:(7)w3:(8)-1 教材要点归纳①B≠0②A=0且B≠0③6d 3.4B 2 ④g5⑥x-1⑦x+18x-2⑨a±地w⑩adtc bd 命题点3实数的运算 ①(x-2)(x-1)2(x+1)(-1)B(x+2)(x-2)2 教材要点归纳①1②-8③na④-2⑤8 ⑥-15⑦15⑧0⑨-208①a②163-8 ④a.(a+1)(a-1+1G4-1+101 a+1 a2 1511}}9 随堂对点练习1.x≠52.x=1 2 （(2)宁324 3.(1)-4a 9g9$1}5万 0*2(5)1 2(6)-x 2 2 2 4(1)解：原式=m-2 025①3322316④(-10)52√20(3 +1 √2)⑦9+√2 (2)解：原式=2 随堂对点练习 2 1.解：原式=4 (3)解：原式=x-y; (4)解：原式=x+2, 2.解：原式=3-23」 当x=-1时，原式=-1+2=1. 第二章方程（组）与不等式（组） 命题点1一次方程（组）及其解法 11 60 10% 教材要点归纳①3(2x-1)+12=4(3x+5)②6x-3+12 7+71m®+了=1B 100 =12x+20③6x-12x=20+3-12④-6c=1⑤x=-1 6 10020050 ⑥3+y⑦(3+y)⑧-1⑨2 @{x=2,①8 命题点3一元二次方程及其解法 (y=-1 教材要点归纳①a≠0②a≠0③两个不相等 28x-8y=24B11x=229x=2⑤y=-1⑥=2， (y=-1 ①两个相等⑤云0没有团-÷⑧号 a 随堂对点练习1.D2.1变式2-1B 随堂对点练习1.C2.D3.C4.B 变式2-2 Jm=3, 变式(1)a<4且a≠0；(2)4；(3)a>4;(4)a≤45.4 (n=2 3(1)解：原方程组的解为：=2， 6.(1)解：x=3,x2=-7.(2)解：x1=3+V5,x2=3-5. y=4: (3)解：-3=1.(4)解-宁-1 (2)原方程组的解为x=3, (y=2. 命题点4一元二次方程的实际应用 命题点2一次方程（组）的实际应用 教材要点归纳①a(1+x)2=b②a(1-x)2=b ①80-x②1.2(80-x）③0.8x+1.2(80-x)=82④x= 35⑤80-x=45⑥书架上有数学书35本，语文书45 ③(a-2x)(6-2x)④(a-x)(b-x)⑤x.m 2 本@5+16000⑧成本⑨0.8x-1800=1800x2 6x.m+1-r⑦a⑧ac⑨(1+x）0(1+x)2 2 2 参考答案与重难题解析·辽宁数学