第六章一次函数单元复习题2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

第六章一次函数单元复习题 一、单选题 1．下列曲线中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 3．函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．某种烟花点燃后垂直升空，其离地面的高度h(m)和点燃后的时间t(s)之间的关系可以用公式表示，其中重力加速度．烟花点燃后以的初速度上升，在点燃后的时，离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 5．在理想状态下，某电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的电量y（）与行驶里程x（）之间的关系如图．当电池剩余电量小于时，电动车将自动报警．根据图像，下列结论正确的个数（　　） ①电池电量最多可充 ②电动车每行驶消耗电量 ③电动车充满电后，行驶超过将自动报警 ④一次性充满电后，电动车最多行驶 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．下列关系中，是的一次函数的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 7．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 8．在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 9．若k，b为非零常数，则直线：和直线：在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 10．一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 11．已知点，在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A．点在函数的图象上 B．函数图象可由函数的图象向上平移2个单位长度得到 C．若，两点在该函数图象上，则 D．函数图象经过第一、三、四象限 13．已知将直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点均在一次函数的图象上，则 14．为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法①铁块的高度为；②铁块入水之前，烧杯内水的高度为；③当铁块下降的高度为时，弹簧测力计的示数为；④当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 15．一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（    ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 17．如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上一点，将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是 ． 18．关于函数，给出下列结论：①此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若，则此函数是正比例函数；④若的取值范围是，则函数图像经过第二、三、四象限；⑤若随的增大而减小，则．其中正确的是 ．（填序号） 19．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程： ． 20．9月27日，龙城好运·2025小店区乡村田园健康跑活动如期举行，2000余名“大小朋友”快乐开跑，挑战自我，充实生活．杜老师从起点出发，向终点匀速跑去，她离终点的距离（单位：）与跑步时间（单位：）之间的部分对应值如下表所示，则与之间的函数关系式为 ．（不要求写出自变量的取值范围） 0 5 10 15 20 … 10 9 8 7 6 … 21．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 22．已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 三、解答题 23．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 24．随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业展现出了广阔的发展前景．以下是某智能洗车店推出的两种收费方案： 方案一：按次收费，没有额外费用； 方案二：办理会员卡，每次洗车打折收费． 设洗车次数为次时，所需费用为元，两种不同收费方案所需费用（单位：元）与洗车次数（单位：次）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： (1)分别求出两种收费方案所需费用与洗车次数之间的函数关系式； (2)洗多少次车时，两种收费方案所需费用相同？ (3)李师傅计划拿出875元作为一年的洗车费用，则选择哪种方案更划算？ 25．一次函数经过点和点． (1)求这个一次函数的解析表达式； (2)将所得函数图象平移，使它经过点，求平移后直线的解析式． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为 ； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价/[元] 第一档 第二档 第三档 (1)请直接写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户上一个月的用电量为，求该户上一个月的电费； (3)某户上一个月的电费是元，求该户上一个月的用电量． 28．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查函数的概念，特别是函数在平面直角坐标系中的图形表示．函数的定义为：在一个变化过程中，有两个变量、，如果给定一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么就称是的函数，是自变量．关键在于准确理解函数中“对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应”这一特性，并通过观察图形中直线与曲线的交点情况来进行判断．根据函数的定义，判断在给定的曲线中，对于每一个值，是否都有唯一确定的值与之对应．可以通过在平面直角坐标系中作垂直于轴的直线，观察直线与曲线的交点个数来判断．如果对于任意一条垂直于轴的直线，它与曲线最多只有一个交点，那么就是的函数；如果存在某条垂直于轴的直线，它与曲线有两个或两个以上的交点，那么就不是的函数． 【详解】选项A：当在平面直角坐标系中作垂直于轴的直线时，可以发现，存在一些值，使得垂直于轴的直线与曲线有多个交点．这意味着对于这些值，不是唯一确定一个值，不满足函数的定义，所以该曲线不表示是的函数．故不符合题意； 选项B：同样地，作垂直于轴的直线，会出现某值对应的垂直直线与曲线有两个交点的情况．即给定一个值，有两个值与之对应，不满足函数定义中值的唯一性，所以该曲线不表示是的函数． 故不符合题意； 选项C：对于圆的图形，作垂直于轴的直线时，除了与圆相切的特殊位置外，大部分情况下直线与圆有两个交点．这表明存在值对应两个值，不符合函数的定义，所以该曲线不表示是的函数．故不符合题意； 选项D：无论在轴上取何值，作垂直于轴的直线，该直线与曲线最多只有一个交点．即对于每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数的定义，所以该曲线表示是的函数．故符合题意； 综上，答案是D． 2．C 【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得，从而得到答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，解答时注意通过二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围．由二次根式的被开方数大于等于0问题可解． 【详解】解∶根据题意，得， 解得， 故选∶C． 4．A 【分析】本题主要考查了求代数式的值．把，，代入计算即可． 【详解】解：当时， ∵，， ∴ ， 即在点燃后的时，离地面的高度为． 故选：A 5．B 【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息，根据当时，可判断①；求出每千米消耗的电量，再乘以10即可判断②；求出消耗电量时，行驶的路程可判断③；根据当时，可判断④． 【详解】解：由函数图像可知，当时，， ∴电池电量最多可充，故①正确； ， ∴电动车每行驶消耗电量，故②错误； ， ∴电动车充满电后，行驶超过将自动报警，故③正确； 由函数图像可知，当时，， 一次性充满电后，电动车最多行驶，故④正确； ∴正确的有3个， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题关键． 根据一次函数的定义，形式为（，k、b为常数）的函数是一次函数．判断每个选项是否符合定义． 【详解】∵ 一次函数的标准形式为，其中，k、b为常数． 对于①，k和b为字母，未指定具体值，k可能为0，因此不一定是一次函数； 对于②，x在分母上，是反比例函数，不是一次函数； 对于③，可化为，，是一次函数； 对于④，可化为，，是一次函数． ∴ y是x的一次函数的是③和④． 故选C． 7．B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：B． 8．C 【分析】分a＞0，a＜0两种情况进行讨论，找临界点进行讨论即可. 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b， 将点，点代入得，解得 ∴直线AB的解析式为y=x+ ∵抛物线与线段有两个不同的交点 ∴有两个不同解 ∴ ∴ ∴ ①当a＞0时， 解得a≥1 ∴ ②当a＜0时 解得 ∴ 综上可知，或 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的特征，一次函数图象上点的特征，利用分类讨论思想解决问题是解决问题的关键. 9．B 【分析】此题考查一次函数的图象所经过的象限，先根据直线，得出k和b的符号，然后再判断直线的k和b的符号是否与直线一致，据此即可得出答案． 【详解】A、直线：中，，：中，，，不一致，故本选项不符合题意； B、直线：中，，：中，，则，一致，故本选项符合题意； C、直线：中，，：中，，则，不一致，故本选项不符合题意； D、直线：中，，：中，，则，不一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ， ∴，故②正确； ③由图象可知：，故函数的图象不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为，故，故④正确； ⑤当时，， 当时，， ， ∴的值每增加的值增加，故⑤错误， 故选：A． 11．D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 通过比较两点横坐标的大小和函数值的大小关系，判断一次函数的增减性，从而列出关于m的不等式求解即可． 【详解】解：∵，在一次函数的图象上，且，， ∴y随x的增大而减小， ∴，解得： ． 故选D． 12．C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． 根据一次函数的图象和性质判断各选项即可． 【详解】解：A：当时，，点不在图象上，A错误； B：的图象向上平移2个单位得，但原函数为，B错误； C：∵一次函数为，，∴y随x的增大而减小，∵，∴，C正确； D：∵，∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，∴D错误； 故选：C． 13．C 【分析】根据上加下减原则，确定一次函数的表达式，再根据一次函数的性质判断解答即可． 本题考查了一次函数的平移，一次函数的性质，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得直线向下平移3个单位，所得一次函数的表达式为：， ∵直线向下平移3个单位长度得到一次函数的图象， 故， 故选项A正确； 当 时，， 故图象经过点 ， 故选项B正确； 当时，， ∵， 故随增大而增大， 故时，， 故选项C错误； 由点均在一次函数的图象上， 且即， ∵， 故随增大而增大， 故 故选项D正确． 故选：C． 14．C 【分析】本题考查了一次函数，依次判断后得出正确的个数即可． 【详解】解：当时，铁块接触水面，当时，铁块完全浸没于水中， 铁块的高度为． 故①正确； 由图像可知，当时，铁块开始接触水面， 所以铁块入水之前，烧杯内水的高度为， 故②正确； 设的解析式为，将代入得： ， ， ， 把代入，得． 故③错误； 把代入，得， 解得， ∴． 故④正确． 故选：C． 15．D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，根据图象判断增减性，以及的符号，进而判断出所过象限，判断①和②，根据交点坐标判断③，图象法判断④． 【详解】解：由图象可知：对于函数来说，y随x的增大而减小；故①正确； ∴， 由图象可知：当时，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，故③正确； 由图象可知：当时，； 当时，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 16．D 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得， 则， 作点A关于y轴的对称点，则 ∵的面积被y轴平分， ∴点P的横坐标为，如图，Q为与y轴的交点，则Q为的中点， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故选：D． 17． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题关键． 由解析式先求出点、坐标，利用勾股定理求出线段长，设，根据对称性质及勾股定理得到，求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， ，， 在中，由勾股定理可知：， 由折叠性质可知， ， 设，则， 由勾股定理得：，解得， ， 设直线解析式为，代入点坐标得：，解得， 直线的函数解析式是． 故答案为：． 18．②③④ 【分析】本题考查了一次函数的概念，图像和性质，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．对于函数，结合k的取值情况依次判断即可． 【详解】解：①当时，函数为，是常数函数，不是一次函数，故①错误； ②当时，，所以函数图像必经过点，故②正确； ③当时，函数为，符合正比例函数定义，故③正确； ④当时， ， ，函数图像经过第二、三、四象限，故④正确； ⑤随的增大而减小时，需，即，但结论为，故⑤错误． 故答案为：②③④． 19．或 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意，得 解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 20． 【分析】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，关键是读取图象中信息． 从表格可看出，杜老师每跑，离终点的距离减少，即离终点的路程（千米）与行驶时间（分钟）成一次函数关系，设，把表中的任意两对值代入即可求出与的关系． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， 将代入上式得，， 解得． ∴， ∴与之间的关系是一次函数，其函数表达式为． 故答案为：． 21．或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 22． 【分析】本题考查正比例函数的定义及函数表达式的求解，涉及的知识点是 “正比例关系的定义（若与成正比例，则，为非零常数）”“待定系数法求函数表达式”．解题方法是先根据正比例关系设出函数关系式，再代入已知的值求出比例系数，进而得到与的函数表达式；解题关键是正确根据 “与成正比例” 设出关系式，避免直接设与x的正比例关系．易错点是误将 “与成正比例” 理解为 “与成正比例”，导致关系式设错．解题思路为：根据正比例关系设，代入、求出，再整理得到与的函数表达式． 【详解】设， 将，代入得：， 即， 解得． 所以， 即， 整理得． 故答案为． 23．(1) (2) 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 24．(1)； (2)10次 (3)方案二 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与方程，求自变量的值． （1）运用待定系数法求解即可； （2）令，得到关于x的方程，求解即可； （3）分别求出当，时x的值，进行比较即可． 【详解】（1）解：设方案一关于的函数关系式为（为常数，且， ∵当时，， ∴，解得， 所以方案一所需费用与洗车次数之间的函数关系式为； 设方案二关于的函数关系式为（为常数，且） 将代入中，得 ，解得， 所以方案二所需费用与洗车次数之间的函数关系式为； （2）解：当时，，解得， 所以洗车10次时，两种收费方案所需的费用相同； （3）解：当所需费用为875元时， 方案一：，解得； 方案二：，解得； 因为， 所以选择方案二更划算． 25．(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的平移，利用平移前后一次项系数不变是解题关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利用平移后解析式的值不变，进而假设出解析式求出即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点和点， ， ∴，， ∴一次函数的解析表达式为． （2）解：设平移后直线的解析式为， 把点代入，得，解得， ∴平移后直线的解析式为． 26．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． 27．(1) (2)元 (3) 【分析】本题考查分段函数的应用．根据不同用电量范围的单价来计算电费是解题的关键． （1）根据各档次计费方法计算即可； （2）已知某户上一个月的用电量为，判断其处于内，将代入（1）中相应的关系式计算即可； （3）先分别计算第一档最多电费为（元），再计算用电量为时的电费，然后与已知电费元比较，可知该户上一个月的用电量超过第二档，即用电量在内，最后将代入（1）中相应的关系式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴与之间的关系式为； （2）解：将代入， 得：（元）， ∴该户上一个月的电费为元； （3）解：∵，， ∴该户上一个月的用电量超过， 将代入， 得：， 解得：， ∴该户上一个月的用电量为． 28．(1) (2)①见解析；②的值为或 【分析】本题主要考查了求解一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解； ②先求出，然后分两种情况讨论，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：分别把，代入，得： ，， 联立解得：，， ； （2）解：①把代入，得： ， 即：， ；； 把代入，得：， 把代入，得：， ， ， ， 即：； ②， 当时，随的增大而增大， 此时当时，函数有最大值， 即，解得； 当时，随的增大而减小， 此时当时，函数有最大值， 即，解得； 综上所述，的值为或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $