精品解析：河南省郑州市中原区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河南省郑州市中原区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，3.14159，，（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），，，，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列哪个选项不能判断是直角三角形 （ ） A. B. 三个内角的度数之比是 C. D. 三角形的三条边之比是 3. 《热辣滚烫》电影展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小强和小华也去观看了电影，如图是利用平面直角坐标系绘制的影院内平面图，若分别以正东、正北为轴、轴正方向，小明在，小强在，那么小华的位置是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小丽乘坐的木马A离入口的距离与旋转时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（ ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小丽与入口的距离为 C. 小丽与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. y是x的函数 6. 如图在正方形网格图中有线段，点A，B，C在网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　） A. 1m B. 1.1m C. 1.2m D. 1.3m 8. 已知a，b为实数，且，则的值为（ ） A. B. 7 C. 或7 D. 9 9. 若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知点P关于x轴对称的点的坐标是，则点P关于y轴对称的点的坐标是______． 12. 如图，是直角三角形，点C表示，且，若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为______________ 13. 实数，在数轴上的位置如图，则化简________． 14. 定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为______． 15. 如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为_________． 三、解答题：本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知、、 ． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）已知线段轴，且，则点D的坐标为______； （3）已知P为y轴上一点，若，求点P的坐标． 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 19. 阅读材料：像，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： （1）的有理化因式是___________，___________． （2）化简． （3）数学课上，老师出了一道题“已知，求的值” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 20. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 21. 为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： （1）如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； （2）请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； （3）若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 22. 在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题． 经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧． 如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上． （1）请直接写出点的坐标：______，______． （2）当点在运动过程中，设运动时间为秒． ①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式； ②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）． ①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省郑州市中原区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，3.14159，，（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），，，，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数进行分析，即可作答． 【详解】解：，， ∴（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），都是无限不循环小数，即都是无理数， 故选：B． 2. 下列哪个选项不能判断是直角三角形 （ ） A. B. 三个内角的度数之比是 C. D. 三角形的三条边之比是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理解题即可． 【详解】解：A.由可得，即，则是直角三角形； B.设三个内角读数为，，，则，解得，最大角为，则不是直角三角形； C.设，，，则，解得，最大角为，则是直角三角形； D.设三条边是，则，则是直角三角形； 故选：B． 3. 《热辣滚烫》电影展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小强和小华也去观看了电影，如图是利用平面直角坐标系绘制的影院内平面图，若分别以正东、正北为轴、轴正方向，小明在，小强在，那么小华的位置是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实际问题中确定位置，正确建立平面直角坐标系是关键； 根据小明在，小强在建立平面直角坐标系，进而得解. 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下： 所以小华的位置是； 故选：B. 4. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据平方根，立方根和算术平方根的定义，分别化简四个选项判断正误即可得到答案． 【详解】解：A．，正确，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小丽乘坐的木马A离入口的距离与旋转时间之间的关系如图2所示，下列说法错误的是（ ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小丽与入口的距离为 C. 小丽与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. y是x的函数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质、函数图象、函数的定义等知识点，认真分析图象、理解纵横坐标的意义是解题的关键． 如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小丽乘坐的木马A离入口的距离单位：与旋转时间单位：之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是，当时，小丽与入口的距离为，据此可判断A、B、C选项；根据函数的定义即可判定D． 【详解】解：A．图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意； B．当时，小丽与入口的距离为，故该选项不符合题意； C.如图，当小丽与入口的距离为时，旋转木马不一定转如图所示，故该选项符合题意； D.y是x的函数，故该选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图在正方形网格图中有线段，点A，B，C在网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，证明，，可得，，再进一步利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴，， 由平行线的性质可得：，， ∴； 故选：B 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7. 如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　） A. 1m B. 1.1m C. 1.2m D. 1.3m 【答案】A 【解析】 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， 由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m， ∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m， ∴A′B＝ ＝ ＝1（m）． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 8. 已知a，b为实数，且，则的值为（ ） A. B. 7 C. 或7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件即被开方数非负． 根据二次根式的被开方数非负得到不等式组，然后求出，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少1，不符合题意； B．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值增加2，不符合题意； C．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少2，符合题意； D．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值的变化量为，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标系中点的坐标规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律．先确定点在第四象限，根据第四象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可． 【详解】解：，则在第四象限， 由题意，第四象限的点为，，，，， ． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知点P关于x轴对称的点的坐标是，则点P关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，掌握关于y轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变是解题的关键． 先求出点P的坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵点P关于x轴对称的点的坐标是， ∴点P的坐标为 ∴点P关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 如图，是直角三角形，点C表示，且，若以点C为圆心，为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为______________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，根据即可求出点M表示的数． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴， ∵， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，利用数轴上的点表示无理数，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 13. 实数，在数轴上的位置如图，则化简________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，二次根式和立方根的性质，准确识图判断出、的正负情况是解题的关键．根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，然后利用二次根式和立方根的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，，，， ，， ． 故答案为： ． 14. 定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、正比例函数的定义等知识点，掌握当一次函数的常数项为零时为正比例函数是解题的关键． 根据特征数的定义以及一次函数为正比例函数时，常数项为0且一次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵特征数为， ∴对应一次函数． ∵该函数为正比例函数， ∴一次项系数：且常数项， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，过点作，利用勾股定理先求出，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：过点作， 点到的距离为， ， ， 根据勾股定理，得， 当时，如图所示： 此时点与点重合，则 根据题意，得， 解得； 当时，如图所示： ，，，， ， 根据勾股定理，得，， ， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、乘法公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知、、 ． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是______； （2）已知线段轴，且，则点D的坐标为______； （3）已知P为y轴上一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图： ， 故答案为：4； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据坐标作图即可； （2）根据平行于y轴的坐标的特征可得答案； （3）由P为y轴上一点，设，根据的面积为4，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵线段轴，且， 设，则， 或， 解得：或， 点D的坐标为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：设， 由题意可知：， ， ， ， ， 或， 解得：或， 点P的坐标为或 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【小问1详解】 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． 【小问2详解】 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 19. 阅读材料：像，，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 如：， 请你解决如下问题： （1）的有理化因式是___________，___________． （2）化简． （3）数学课上，老师出了一道题“已知，求的值” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式完全平方公式，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 20. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】（1）A，C （2）建造绿化地的费用为11400元 （3）方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【小问1详解】 解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 21. 为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： （1）如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； （2）请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； （3）若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 【答案】（1） （2）这个家庭本月的实际用电量为210度 （3）小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解； （3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：当时，则 ， 答：当时，与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵度电费为：， 度电费为：， ， 该家庭本月用电量属于第二档，令，则， 解的， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度． 【小问3详解】 解：当时，则； ， 把代入得元； 当时，则， 当时，则元． 答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元． 22. 在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题． 经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧． 如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上． （1）请直接写出点的坐标：______，______． （2）当点在运动过程中，设运动时间为秒． ①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式； ②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）． ①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 【答案】（1）， （2）①；②存在，或或 （3）①②③ 【解析】 【分析】（）利用矩形的性质和折叠的性质得到，，，，利用勾股定理求得，则，点坐标可得；设，则，，利用勾股定理求得x值，则点坐标可求； （）①利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：当点在上时，，此时；当点在上时，求得长度后，利用三角形的面积公式解答即可；②利用分类讨论的思想方法分三种情况解答：当时，利用等腰三角形的性质和点的坐标的特征解答即可；当时，用勾股定理和点的坐标的特征解答即可；当时，设，则，利用勾股定理列出方程解答即可； （）结合解题过程分析解答即可． 【小问1详解】 解：由折叠可得，， ，，，， ， ， 设，则，， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①当点在上时，，此时； 当点在上时，如图， 此时， ， ，此时； 综上，的面积与之间的关系式为； ②存在等腰三角形，点的坐标是或或，理由如下： 当时， 点， ，， ， ； 当时， ， ， ， ； 当时，如图， 设，则， ， ， ， 综上，存在等腰三角形，点的坐标为或或； 【小问3详解】 解：在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有通过分类讨论求得点坐标，通过设，列出方程求得的长度，所以，让我们感悟的数学思想有方程的思想、数形结合思想和分类讨论的思想方法， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，一次函数与几何图形，勾股定理，等腰三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $