精品解析：广东省湛江市吴川市第四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期高二年级期中考试 数学学科试卷 一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线经过两点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 4. 已知向量，若与垂直，则（ ）. A. B. C. D. 5. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，在正方体中，点在线段上，点在线段上上，且，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距为-2 B. 直线的倾斜角为120° C. 直线(m∈R)必过定点(0，-3) D. 点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 11. 已知圆和直线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线 和直线间的距离是_____. 13. 若方程表示圆，则实数的取值范围为_______． 14. 已知点，，，点满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l的方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 16. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知圆的圆心为，且过点. （1）求圆的半径及标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； （2）为平面内一动点，分别为圆与圆的切线(为切点)且，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二年级期中考试 数学学科试卷 一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线经过两点，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接应用斜率公式进行求解即可. 【详解】由，得的斜率为． 故选：A 2. 已知空间向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由向量共线建立等量关系，解得的值. 【详解】由题意得，，解得． 故选：D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距与半径的关系判断. 【详解】由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切. 故选：B. 4. 已知向量，若与垂直，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系可得，进而根据坐标运算以及模长公式即可求解. 【详解】由于与垂直，所以，所以， 故， 故选：D 5. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算求解. 【详解】 故选：B 6. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为和，不满足条件， 当时，满足，即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：C． 7. 如图，在正方体中，点在线段上，点在线段上上，且，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算线线夹角即可. 【详解】设正方体的棱长为1，以为原点，分别以，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，. 所以， 即与所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，应用中点坐标公式写出点坐标，代入已知圆的方程即可得轨迹. 【详解】设，又与点所连线段中点为，则， 因为点在圆上运动，则， 所以，故点轨迹方程为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在y轴上的截距为-2 B. 直线的倾斜角为120° C. 直线(m∈R)必过定点(0，-3) D. 点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一般式直线方程，结合公式，分别判断直线的纵截距，斜率，定点，点到直线的距离. 【详解】A.直线中，当时，，故A正确； B. 直线的斜率，所以倾斜角为，故B错误； C.直线，当时，，所以直线恒过定点，故C正确； D.点到直线的距离，故D错误. 故选：AC 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平行的性质分析C，由投影向量分析D． 【详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确； 对于B：在中，由于，故四点共面，B正确； 对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． 11. 已知圆和直线，下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线被圆截得的弦长为 B. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】先把圆的方程化为标准形式得出圆心和半径，再结合各选项已知条件，利用点到直线距离公式及弦长公式结合直线与圆的位置关系逐一分析判断各选项． 【详解】 圆的标准方程为：， 圆心，半径， 选项A：当时，直线，圆心到直线的距离， 弦长为，故A错； 选项B：当时，直线，圆心到直线距离， ，圆上到直线的距离为1的点有4个，故B错误； 选项C：直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径， ，解得，即或， 存在这样的，使得直线与圆相切，故C正确； 选项D：直线与圆相交时，圆心到直线距离小于半径， ，解得，即，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线 和直线间的距离是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线间的距离公式可求得答案. 【详解】易知直线 和直线平行， 这两条直线间的距离为. 故答案为：. 13. 若方程表示圆，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】方程表示圆，需要 计算得到答案. 【详解】方程表示圆 则 【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题. 14. 已知点，，，点满足，则的最小值为______. 【答案】209 【解析】 【分析】设点，用坐标表示，代入等式，整理即得点P的轨迹方程；再用坐标表示出，根据点P纵坐标y的取值范围即可求解. 【详解】设，由，得，化简得， 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆.， ，当时，的最小值是209. 故答案为：209. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 直线与直线相交于点P，直线l经过点P. （1）若直线，求直线l的方程； （2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解， （2）由题意得过原点或斜率为后求解 【小问1详解】 联立得即. 因为，不妨设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为. 【小问2详解】 当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即； 当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为， 将点代入，得， 所以直线l的方程为，即. 综上所述，直线l的方程是或. 16. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点F， 因为在正中，D是的中点，故， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以平面ABC， 又因为D是的中点，F是的中点， 所以， 所以平面，所以，， 以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，即． 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知圆的圆心为，且过点. （1）求圆的半径及标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）3， （2）或. 【解析】 【分析】（1）由圆心和圆上的点求得半径，写出到圆的标准方程； （2）讨论斜率是否存在，当斜率不存在时，显然成立；斜率存在时，先设直线方程，由圆心到直线的距离和半径表示出弦长，解得斜率值，写出直线方程. 【小问1详解】 半径， 所以的方程为. 【小问2详解】 当的斜率不存在时，的方程为，与圆相交， 圆心到直线的距离，弦长为，满足条件； 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以弦长， 即， 所以的方程为或. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，则， 在正方形中，，因，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. （2） （3）在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为，或 【解析】 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 假设线段上是存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 19. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； （2）为平面内一动点，分别为圆与圆的切线(为切点)且，求点的轨迹方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接把两圆方程作差，可得圆与圆的公共弦所在的直线方程；求出圆的圆心关于直线对称点，即可求得圆的方程； （2）设，由切线长公式结合可得点的轨迹方程. 【小问1详解】 如图所示，由 两式相减， 化简得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为， 又∵圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得， ∴圆方程为． 【小问2详解】 由，根据切线长公式，可得， 设，则， 化简得， 点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $