精品解析：甘肃省金昌市金川高级中学教育集团2025-2026学年高二上学期学业质量检测（二）数学试题

金川高级中学教育集团2025-2026学年度第一学期高二年级学业质量检测（二） 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解. 【详解】的焦点是, 故选：D 2. 直线l的一个方向向量为，则它的斜率（  ） A. B. C. 1 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与直线的斜率之间的关系直接计算得到答案. 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线的斜率. 故选：A. 3. 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质得，再根据通项公式可求出结果. 【详解】因为的展开式中只有第四项的二项式系数最大， 则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则， 则展开式的通项为， 展开式中常数项，必有，即， 所以展开式中常数项为. 故选：A 4. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直线平行得出正切值为，再应用二倍角正弦及余弦公式结合齐次式计算求值. 【详解】因为角的终边与直线平行， 即角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 5. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由渐近线的夹角得到，解得，由，解得，代入公式得解. 【详解】的渐近线方程为，， 结合条件两条渐近线的夹角为， 则，解得，又，， ，. 故选：C. 6. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（　　） A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，为需要考虑特殊位置、特殊元素的排列问题，分步解决问题. 【详解】第一步，要在该时间段只保留其中的2个商业广告，即先从5个中选择2个，有种，第二步，增播一个商业广告，共3个广告，排好有种， 第三步，在2个空中，插入两个不同的公益宣传广告，有种方法， 根据乘法原理，共有10×6×2＝120种方法． 故选：B． 7. 已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B 8. 双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意可知双曲线的焦点在轴上，设过作圆的切线切点为，过作直线的垂线，垂足为，根据已知条件分别求解出，，代入双曲线定义中可得：，进而求解渐近线方程. 【详解】 M、N在双曲线的同一支，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：，即得：的渐近线方程为. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过两点的所有直线，其方程均可写为 D. 已知，若直线与线段有公共点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两直线垂直的判断方法依次判断充分性和必要性可知A错误；由直线斜率和倾斜角关系可求得B正确；根据直线两点式方程无法表示的直线可知C错误；求得所过定点后，由两点连线斜率公式可求得临界状态，结合图象可确定D错误. 【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立； 若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立； “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误； 对于B，由直线得：， 直线的斜率，即， 又，，B正确； 对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误； 对于D，由得：，直线恒过定点； ，， 结合图象可知：，，D错误. 故选：ACD. 10. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 【答案】AD 【解析】 【分析】确定直线过定点，点在圆内，A正确，当时，最大，计算得到B错误，最大值为，C错误，确定直线过圆心，，D正确，得到答案. 【详解】圆：，圆心，半径， 直线过定点，， 对选项A：，点在圆内，故直线与圆一定相交，正确； 对选项B：当过圆心时，最大为，错误； 对选项C：圆上点到直线距离的最大值为，错误； 对选项D：直线：，圆心在直线上，， 故圆上存在四个点到直线的距离为1，正确； 故选：AD 11. 已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（ ） A. 当不与左、右端点重合时，的周长为定值 B. 当时， C. 有且仅有4个点，使得为直角三角形 D. 当直线的斜率为1时，直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：先求解出椭圆方程，然后根据焦点三角形的周长等于求得结果；B：先求解出的纵坐标，由此可求，根据椭圆定义可求；C：先计算焦点三角形顶角的最大值，然后再分析点的个数；D：先计算出为定值，然后可计算出. 【详解】对于A：因为，当且仅当为右顶点时取等号， 又因为的最大值为，所以， 因为，所以，所以椭圆的方程为， 因为的周长为，故A正确； 对于B：当时，，所以， 所以，所以， 因为，所以，故B正确； 对于C：设椭圆的上顶点为，因为， 所以，所以的最大值为， 所以存在个点，使得， 又因为存在个点使，存在个点使， 所以存在个点，使得为直角三角形，故C错误； 对于D：因为，设， 则，所以， 所以， 因为，所以，故D正确， 故选：ABD. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若两条平行直线与之间的距离是，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据两直线平行求得参数，再结合两平行线之间的距离公式求得，即可求得结果. 【详解】由题可得：，解的， 此时方程为：；方程为：； 则，即，解的或， 又，所以； 故. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】将条件坐标化，先转化为恒成立，即圆上所有动点到定点距离的最小值大于，再转化为与圆心距离的不等关系求解可得. 【详解】设，由点， 即点满足，即， 设点，即恒成立 则，圆上所有点到定点最小值大于， 又圆，半径为， 圆上所有点到定点最小值即为：. . 即，化简得， 解得或. 故答案为：或. 14. 若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如.若数列的前n项和为，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义求得和，进而是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】小于等于的正整数有， 与不互质的数是2的倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 小于等于的正整数有， 与不互质的数是3的倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即； 所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 15. （1）求的值； （2）解不等式； （3）已知二项式，求展开式的第4项. 【答案】（1）280；（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据排列数以及组合数公式计算，即得答案； （2）根据排列数公式，解不等式，即得答案； （3）根据二项展开式的通项公式运算求解即可. 【详解】（1）； （2）由，得， 化简得，解得， 又因为，解得， 且，可得， 所以不等式的解集为； （3）的二项展开式的通项是： ， 当时，展开式的第4项为. 16. 已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， （1）当时，求直线的方程； （2）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1） （2） 由题意知，，    因为直线，所以直线的斜率一定存在； 直线方程化简得， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 【解析】 【分析】（1）利用圆心距来求弦长，即可由点到直线的距离公式求解直线方程； （2）由直线：可知直线斜率一定存在，然后将直线方程与圆联立方程组，利用根与系数关系来求解定值即可. 【小问1详解】 由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， 【小问2详解】 略 17. （1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设所求双曲线方程为，代入点求解参数即可. 【详解】（1）因为到其焦点的距离为5， 根据定义，到准线距离也为5，如图： 抛物线的准线方程为，故，则抛物线方程为； （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线经过点，如图： 所以，故， 所以双曲线标准方程为，即. 18. 数列满足：，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是的等比中项，且． （1）求，的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），；， （2） 【解析】 【分析】（1）由题干等式关系可得，通过两式作差即可求解的通项公式；再根据4是的等比中项，得：，然后利用基本量的运算求解及公差，进而求解数列的通项公式. （2）首先代入并求解出的通项公式，然后通过裂项相消法求解出，由于，进而根据求解即可. 【小问1详解】 令，得：. 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，，也成立，故数列的通项公式，. 由于是，的等比中项，因此可得：，即得：， 又由，得：，即 由，解得：或，当时，，不满足题意舍去； 当时，，由此可得：，. 【小问2详解】 ， 则 . 由于，所以，因此可得 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为． 19. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上有不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围； （3）若动直线与交于点，，点是轴正半轴上异于的一定点，若直线，的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用点差法列方程，根据点和椭圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. （3）设，联立直线与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，由此化简已知条件，求得点坐标以及的值. 【小问1详解】 由已知，将代入椭圆方程得，解得， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，是椭圆上关于直线：对称的两个点， 设是线段的中点，则点在直线上，且. 则两式相减， 得. ，故， 联立 解得. ， 点应在椭圆的内部， ，解得. 实数的取值范围是. 【小问3详解】 设，（且），，， 将与联立得， 则， 又分别为直线的倾斜角， 因为， 所以为定值， 又， 又为定值，则，所以， 当时，为定值， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金川高级中学教育集团2025-2026学年度第一学期高二年级学业质量检测（二） 高二数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 2. 直线l的一个方向向量为，则它的斜率（  ） A. B. C. 1 D. 32 3. 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 4. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（　　） A. 60种 B. 120种 C. 144种 D. 300种 7. 已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过两点的所有直线，其方程均可写为 D. 已知，若直线与线段有公共点，则 10. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线与圆的轨迹一定相交 B. 直线与圆交于两点，则的最大值为 C. 圆上点到直线距离的最大值为 D. 当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1. 11. 已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（ ） A. 当不与左、右端点重合时，的周长为定值 B. 当时， C. 有且仅有4个点，使得为直角三角形 D. 当直线的斜率为1时，直线的斜率为 第II卷（非选择题92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若两条平行直线与之间的距离是，则______． 13. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是____________． 14. 若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如.若数列的前n项和为，则_______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 15. （1）求的值； （2）解不等式； （3）已知二项式，求展开式的第4项. 16. 已知圆，直线：.记直线与圆交于两点， （1）当时，求直线的方程； （2）记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 17. （1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程. 18. 数列满足：，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是的等比中项，且． （1）求，的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上有不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围； （3）若动直线与交于点，，点是轴正半轴上异于的一定点，若直线，的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $