第一章勾股定理 随堂练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年北师大数学八年级上册随堂练习 第一章勾股定理 一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组数据是勾股数的是( ) A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 2.下列选项中图中三角形都是直角三角形,不能用来验证勾股定理的是( ) A. B. C. D. 3.满足下列条件的,不是直角三角形的是 ( ) A. B. C. D. 4.若的三边长为,,,满足,则的形状是 . A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5.在中,,,的对边分别记为,,,下列结论中不正确的是 ( ) A. 如果,那么是直角三角形 B. 如果,那么是直角三角形且 C. 如果,那么是直角三角形 D. 如果,那么是直角三角形 6.如图,点是射线外一点,连接,若,点到的距离为,动点从点出发沿射线以的速度运动.设运动的时间为,当为直角三角形时,的值为 ( ) A. B. C. 或 D. 或 7.一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中的和都应为直角,将量得的这个零件各边尺寸标注在图中,由此可知. A. 符合要求 B. 符合要求 C. 和都符合要求 D. 和都不符合要求 8.如图,在边长为的正方形方格中,,,,均为格点,构成图中的三条线段,,现在取出这三条线段,,首尾相连拼三角形.下列判断正确的是 ( ) A. 能拼成一个直角三角形 B. 能拼成一个锐角三角形 C. 能拼成一个钝角三角形 D. 不能拼成三角形 9.如图,长方形中,点在边上,将长方形沿直线折叠,点恰好落在边上的点处,若,,则的长是( ) A. B. C. D. 10.如图,在中,,,,为角平分线上一动点,为边上一动点,的最小值为( ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。 11.已知某直角三角形的两条直角边长的比为,若该直角三角形的周长为,则该直角三角形的斜边长为 . 12.在等腰三角形中,,,则边上的高是 . 13.如图,是正三角形内的一点,且,,,则的度数为 . 13题 14题 15题 14.如图,,,,则 . 15.如图,分别以的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为,,,若,则图中阴影部分的面积为 . 三、解答题:本题共8小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.本小题分 中华人民共和国道路交通安全法规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过千米时.如图,一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米处的点,过了秒后,测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米.试判断这辆小汽车是否超速,并说明理由. 17.本小题分 在中,是上一点,,,,,求的面积. 18.本小题分 如图,有一张长方形纸片中,纸片宽,沿直线把折叠,使点恰好落在边上的点处,已知的面积是. 求的长; 求的面积. 如图,在中,,,,以斜边为边向外作正方形,连接求的长. 19.本小题分 今年,第十五号台风登陆江苏,市接到台风警报时,台风中心位于市正南方向的处,正以的速度沿方向移动. 已知市到的距离,那么台风中心从点移到点经过多长时间? 如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响,那么市受到台风影响的时间是多长? 20.本小题分 【探究发现】三国时期的赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,四边形和四边形都是正方形,巧妙地用面积法验证了勾股定理. 已知:在中,,,,求证:. 证明:由图可知正方形正方形. 正方形 , ,正方形 , ,化简得. 【深入思考】如图,用两个中的直角三角形拼成一个梯形求证:. 【实际应用】将图中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度,形成如图所示的风车.若,,风车外围轮廓实线部分的总长度为,求这个风车图案的面积. 21.本小题分 综合与实践. 【观察猜想】如图,与都是等腰直角三角形,其中,,,点在线段上,连接,,则和的数量关系是 . 【探索证明】如图,将中的绕点按顺时针方向旋转,点落在线段上,其他条件不变,此时的度数是_,并探究线段,,之间的数量关系,并说明理由. 【拓展探究】如图,是等腰直角三角形,其中,,为外一点,,连接,若,,请求出的长. 22.本小题分 【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法,面积法除了可以帮助我们记忆公式,还可以直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”,例如,著名的赵爽弦图如图,其中四个直角三角形较大的直角边长都为,较小的直角边长都为,斜边长都为,大正方形的面积可以表示为,也可以表示为,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为,斜边长为,则. 图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图推导勾股定理. 如图,在中,是边上的高,,设,求的值. 试构造一个图形,使它的面积能够解释,画在如图的网格中,并标出字母所表示的线段. 问题解决:如图,直线为一水渠渠岸,经测量知渠岸上点到引水点的距离为米,渠岸上点到引水点的距离为米,且利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟,才能使沟最短?画出图形,并直接写出最短距离. 23.本小题分 在长方形中,,,点从点开始沿边向终点以的速度移动,与此同时,点从点开始沿边向终点以的速度移动如果、分别从、同时出发,当点运动到点时,两点停止运动设运动时间为秒. 填空: _, _用含的代数式表示; 当为何值时,的长度等于? 是否存在的值,使得五边形的面积等于?若存在,请求出此时的值;若不存在,请说明理由. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.这辆小汽车没有超速.理由略 17.解:在中,,是直角三角形,,,在中,,,, 18. (1)解:的面积是,,,,即, 解得 在中,,沿直线把折叠,得到, 设,则,, 在中,, 解得,,的面积. (2):解:如图,过点作,交的延长线于点四边形为正方形,,, , 在和中, 在中,, 根据勾股定理,得,. 19.解:在中,,,, , 时间为小时, 即台风中心从点移到点需要小时. 如图,以为圆心,以为半径画弧,交于、,则市在点开始受到影响,点恰好不受影响. 由题意,, 在中,, , ,, , , 时间为小时. 即市受台风影响的时间为小时. 20.(1) ;; (2)证明:梯形, 即, 化简得. (3)解:如图. 由题意设,则 在中,, 即,解得风车的面积为:. 21.(1) (2),理由如下:,,, 又,,,,,,,,,,. (3)如图,过点作,交的延长线于点,连接. ,是等腰直角三角形,,,, 又,,,,,,,. 22.(1) 解:梯形的面积为, 也可以表示为, , 即; (2)解:在中,; 在中,; 所以, 解得; (3)解:如图, 由此可得; (4)解:如图,过点作于点,的长即为所求. , 根据图中得到的,,之间的数量关系,得, 米,米, 米, , 米, 最短距离为米. 23.解:;; 由题意得:, 解得:,; 当秒或秒时,的长度等于; 存在秒,能够使得五边形的面积等于理由如下: 长方形的面积是:, 使得五边形的面积等于,则的面积为, , 解得:不合题意舍去,. 即当秒时,使得五边形的面积等于. 学科网(北京)股份有限公司 $