4.5.1 函数的零点与方程的解（六大题型）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 题型一 函数与方程的综合应用 1．已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 2．（多选）已知函数，则（    ） A． B．不等式解集为 C．方程有两个解 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】对于A，直接根据的表达式求解即可，对于BCD，结合的图像依次求解即可． 【详解】对于A，，∴，故A正确； 对于BCD，作的图象如下，    由图像知，不等式解集为，故B错误； ∵，由图知，的图象与的图象有且仅有2个交点， ∴方程有两个解，故C正确； 令，图象与的图象相交于如图所示3点， ∵，解得， ∴， 易知的对称轴为， ∴， ∴，故D正确． 故选：ACD． 3．已知函数有4个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数零点与方程根的关系可知方程有4个实数根，再由一元二次方程根的个数限定判别式可求出实数的取值范围. 【详解】依题意可知方程有4个实数根，即方程有4个实数根； 因此可知方程和方程的实数根个数和为4， 又因为一元二次方程最多有两个实数根，且这两个方程没有公共根， 所以两方程的判别式均大于零，即， 解得； 即实数的取值范围为. 故答案为： 4．设函数. (1)求证：是偶函数； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)设函数，若方程在有唯一实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）由代入即可求解； （2）由已知代入可得，在上能成立，换元后利用二次函数的性质可求； （3）结合已知，代入可求，然后结合方程在有唯一实数解，利用换元法，结合二次函数的性质可求. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，都有，且， 故是偶函数. （2）存在，使得成立， 即， 则在上能成立， 即， 设，则，， 则的对称轴方程为直线， 在单调递减，故，即. （3）由题意得， 设，又函数在上单调递增，则， 若方程在有唯一实数解，即 在上有唯一实数解， 即有唯一实数解 在上连续且单调递减，在上连续且单调递增， 又时，；时，， 所以的取值范围为. 题型二 求函数零点或方程根的个数 5．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数单调性，运用赋值法结合零点存在定理判断已知函数的零点个数． 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增，则在上至多一个零点， 又，， 根据零点存在定理知函数在区间内存在零点， 函数在上的零点个数为1，故B正确． 故选：B． 6．（多选）已知指数函数过点，则（    ） A． B．在上单调递增 C．方程的解仅为2 D．方程恰有两个解，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】待定系数法求解析式判断A；求解的解析式利用指数函数单调性判断B；分类讨论解方程判断C；讨论的单调性及值域范围即可判断D. 【详解】由题设，因为过点，所以，解得，故A错误； 当时，， 所以在上单调递增，B正确； 当时，所以，解得， 当时，所以，解得，不符合题意， 所以方程的解仅为2，C正确； 当时，根据对数函数单调性及复合函数单调性法则知单调递增， 所以，所以， 当时，由B知单调递增，又，所以， 综上，若方程恰有两个解，则的取值范围为，D正确. 故选：BCD 7．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则的零点个数是 ；不等式的解集为 . 【答案】 3 【分析】根据函数图象结合奇函数的对称性分析的符号性，进而可得函数零点，注意；由不等式可知与同号，进而可得解集. 【详解】由图象可知：当时，；；当时，； 因为是定义在上的奇函数，则， 且当时，；；当时，； 综上所述：的零点为，0，1，共3个； 对于不等式，可知与同号， 可得或，所以不等式的解集为. 故答案为：3；. 8．设二次函数． (1)若函数是定义在上的偶函数，求该函数的零点； (2)若且存在，使得在区间上的值域也为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用定义域关于原点对称得出，应用偶函数定义得出，进而计算得出零点即可； （2）先根据函数的单调性结合二次函数值域计算求参. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以，即； 又定义域关于原点对称，所以，解得（舍去）； 所以，令，即所求区间内的零点为； （2）当时，在区间上单调递减； 由于，且在区间上的值域也为， 又，即， 两式相减得： 因为，所以； 即， 所以是关于的一元二次方程在上两个不等实根，且． 设， 则， 解得：，所以. 题型三 比较零点的大小关系 9．已知方程组的解集为，且，则（   ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 【答案】A 【分析】由方程组可得，应用韦达定理有，，再由列方程求参数值即可. 【详解】由题设，则，且， 所以，， 而，即， 整理得，可得. 故选：A 10．（多选）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意令，分别作，，的图象，如图， 当时，可得，故D正确； 当时，可得，故C正确； 当时，可得，故A正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误； 故选：ACD. 11．已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 12．已知， (1)若方程有两个不等的实数根，比较与1的大小. (2)若关于的方程有且只有一个实根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图像与解析式，得到，即可比较与1的大小. （2）对分类讨论，分别求出满足关于的方程有且只有一个实根时的取值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）   由题意得， 所以， 因为，所以， 所以. （2）若关于的方程有且只有一个实根， 即，且，有且只有一个实根， 若，则，符合； 若，则， 在时只有一个根， 对称轴为，而， 所以符合， 当时，若在时只有一个根， 令，其对称轴为， 时，， 若即，则在单调增， 而，所以不满足在时只有一个根， 若，即时， 在单调递减，在单调递增， 因为，，，且即， 所以在时不可能只有一个根， 综上：. 题型四 求零点的和 13．已知定义在上的奇函数满足，当时，.关于的方程在区间内所有实数根的和为（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数的性质并作出在内的图象，结合图象求解. 【详解】函数是上的奇函数，当时，， 当时，，则， 于是当时，，由，得是函数图象的对称轴， 由奇函数性质可得也是函数图象的对称轴，作出函数在上的图象，如图， 观察图象知，也是函数图象的对称轴，直线与函数在上的图象有4个交点， 因此方程在内有4个根，所有实数根的和为. 故选：A 14．（多选）已知函数,令函数，则下列选项正确的是（    ） A．当时，函数有2个零点 B．函数不可能有1个零点 C．若函数有3个零点，则的取值范围为. D．方程有5个根 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式画出的图象，函数的零点个数，即与的交点个数，数形结合即可判断A、B，由图可知，再由对数的运算得到，即可判断C，由方程得到或，再数形结合即可判断D. 【详解】因为，则， 画出的图象如下所示： 函数的零点个数，即与的交点个数， 当时，由图可知与有个交点，故函数有个零点，故A正确； 当时与有个交点，即函数有个零点，故B错误； 若函数有3个零点，则， 由图可知，且，即，所以， 则， 所以的取值范围为，故C正确； 由，即， 即或， 由图可得有个实数根，有个实数根， 所以方程有5个根，故D正确. 故选：ACD 15．已知分别是函数，的零点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据与的对称关系可知，由此可求得结果. 【详解】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 16．已知函数 (1)求所有零点之和； (2)证明：为定值； (3)对任意均有，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令，得到，令可得，再用韦达定理即可求解； （2）通过化简发现，即可得到为定值； （3）先分析函数在上的单调性，再解不等式，得到在上恒成立，然后求解即可. 【详解】（1）令，则，即， 设，则，由于判别式，故此方程有两根，， 故有两个零点，，由韦达定理得，即，所以， 所以所有零点之和为2 （2） 所以（定值） （3）由第（2）问可知，所以的对称轴为 下面考察在上的单调性： 设，则单调递增且，设，则由对勾函数图像可知在时单调递增， 同时也单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增. 所以 所以在上恒成立 由于在上单调递减，故当时 由基本不等式，当时取等号，故 所以，即的取值范围为. 题型十三 根据零点判断函数值的符号 17．函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别计算各选项区间端点处函数值，再根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】将代入函数， . 把代入函数，则. 由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点. 故A正确. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间不一定有零点. 把代入函数，可得. 由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点. 将代入函数，得到. 因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点. 再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大. 综上所得，函数的零点所在的大致区间是， 故选：A 18．（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是， C．方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是. D．若函数在区间上有零点，则一定有 【答案】AC 【分析】构造函数，根据零点存在性定理可判断A； 求出函数的零点可判断B； 构造函数，根据二次函数的图象求出的范围，可判断C； 利用特殊函数可判断D. 【详解】对于A，令，显然为增函数， 因为，， 所以在内有唯一零点，所以方程在内有唯一解， 因为方程的解在内，所以，故A正确； 对于B，令，得或， 所以函数的零点是和，故B不正确； 对于C，令，依题意可得，即， 解得，故C正确； 对于D，因为在上有两个零点，但是，故D不正确； 故选：AC 19．若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 . 【答案】 【分析】令，由题意，得到以，其零点，确定，得到，将转化为表示，然后由基本不等式求解最值即可． 【详解】令，时，恒成立， 若，时必有，不合题意， 所以，其零点， 由题意，函数的图象不穿过轴，则有两个正的零点且它们相同， 所以，化简可得，则，所以， 因为，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：． 20．已知函数. (1)求的值； (2)设函数，证明：在上有唯一零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先计算得出，再分组求和得出函数值即可； （2）先判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可得证. 【详解】（1）因为， 所以. （2） 因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为， ， 所以， 所以，即在上有且仅有一个零点. 题型十四 判断零点所在的区间 21．函数在下列区间一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断作答. 【详解】函数， 则， 于是， 由零点存在性定理知，函数在区间、、上不能保证有零点，在区间上一定有零点. 故选：D 22．（多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，的解集为， ∴，则， ∴，，则A正确，D错误； 原不等式可化为的解集为， 而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，    ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：AC. 23．已知函数的定义域为，且为增函数，若是的零点，恒成立，则整数的最大值是 . 【答案】4 【分析】由函数的零点定义得，代入化简，将不等式化成，再利用的单调性和零点存在定理即可求得，即得整数的最大值. 【详解】因是的零点，则，即， 且因为上的增函数， 由，可知， 则，故由可得， 因，则的最大值为4. 故答案为：4. 24．已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，其中分别为奇函数、偶函数. (1)求在上的最大值； (2)求证：； (3)求证：仅有1个零点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过的单调性即可判断； （2）由函数奇偶性求得，再通过作差法，结合基本不等式即可求证； （3）由零点存在性定理确定，再通过，构造函数确定单调性进而可求解； 【详解】（1）由已知得，，， 所以，所以， 所以在上单调递增， 所以在上的值域为，即最大值为. （2）因为，即①， 所以，即， 因为分别为奇函数，偶函数，所以②， 由①、②得，，所以 ， 即成立，当且仅当时取等号. （3）由以上得，，所以定义域为且单调递增， 因为，因为， 所以， 由零点存在定理得，存在唯一零点，使得， 所以， 要证， 令.显然函数在定义域上单调递增， 因为，所以， 因为，所以，则， 所以成立，所以成立，原式得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 函数的零点与方程的解 题型一 函数与方程的综合应用 1．已知函数，则方程实数根的个数为（   ） A．6 B．7 C．10 D．11 2．（多选）已知函数，则（    ） A． B．不等式解集为 C．方程有两个解 D．若且，则 3．已知函数有4个零点，则实数的取值范围为 . 4．设函数. (1)求证：是偶函数； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)设函数，若方程在有唯一实数解，求实数的取值范围. 题型二 求函数零点或方程根的个数 5．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（多选）已知指数函数过点，则（    ） A． B．在上单调递增 C．方程的解仅为2 D．方程恰有两个解，则的取值范围为 7．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则的零点个数是 ；不等式的解集为 . 8．设二次函数． (1)若函数是定义在上的偶函数，求该函数的零点； (2)若且存在，使得在区间上的值域也为，求实数的取值范围． 题型三 比较零点的大小关系 9．已知方程组的解集为，且，则（   ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 10．（多选）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 12．已知， (1)若方程有两个不等的实数根，比较与1的大小. (2)若关于的方程有且只有一个实根，求的取值范围. 题型四 求零点的和 13．已知定义在上的奇函数满足，当时，.关于的方程在区间内所有实数根的和为（   ） A． B． C．0 D．4 14．（多选）已知函数,令函数，则下列选项正确的是（    ） A．当时，函数有2个零点 B．函数不可能有1个零点 C．若函数有3个零点，则的取值范围为. D．方程有5个根 15．已知分别是函数，的零点，则的值为 . 16．已知函数 (1)求所有零点之和； (2)证明：为定值； (3)对任意均有，求实数的取值范围. 题型十三 根据零点判断函数值的符号 17．函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是， C．方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是. D．若函数在区间上有零点，则一定有 19．若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 . 20．已知函数. (1)求的值； (2)设函数，证明：在上有唯一零点. 题型十四 判断零点所在的区间 21．函数在下列区间一定有零点的是（    ） A． B． C． D． 22．（多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 23．已知函数的定义域为，且为增函数，若是的零点，恒成立，则整数的最大值是 . 24．已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，其中分别为奇函数、偶函数. (1)求在上的最大值； (2)求证：； (3)求证：仅有1个零点，且. 1 学科网（北京）股份有限公司 $