精品解析：山东省青岛市即墨区第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测4

高三数学周测4 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 8. 已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 10. 如图1，在等腰梯形中，，且，O为的中点，沿将翻折，使得点A到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ） A. 在翻折过程中，与可能垂直 B. 在翻折过程中，二面角的最大值为 C. 当三棱锥体积最大时，与所成角大于 D. 点P在平面内，且直线与直线所成角为，若点P的轨迹是椭圆或圆，则三棱锥的体积的取值范围是 11. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 三、填空题 12. 设实数，函数为奇函数，则______________. 13. 已知数列的所有项均为正整数，，若，则所有可能的值为__________. 14. 已知函数，若正数，满足，则的最小值为_____. 四、解答题 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若D为AB中点，，，求的面积. 16. 已知数列 的前n项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）已知函数 ，求. 17. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上. （1）过A作，H为垂足，证明：面PCD； （2）若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 18. 已知数列的前项和为，，数列的各项均为正数，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若对于任意的，不等式恒成立．求实数的取值范围． 19. 已知函数，为自然对数的底数. （1）若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）当时，，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学周测4 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再根据并集含义即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先，再根据复数的模和除法运算即可求解. 【详解】由条件可知， 所以的虚部为1. 故选：C 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积公式，求向量的模. 【详解】. 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法并结合二倍角的余弦公式即可得到答案. 【详解】设，则， . 故选：B. 5. 设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】把转化为，得，即是递增数列，反之推导即可求解. 【详解】由得，所以， 又，所以是递增数列， 反之，等比数列的各项均为正数，且数列是递增数列，所以，即有， 所以，即， 所以“”是“数列是递增数列”的充要条件. 故选：C 6. 已知圆台的上下底面半径之比为1∶2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）表面积为；则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用球的面积公式求出内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求上下底面半径，从而可得圆台体积. 【详解】由于圆台的内切球表面积为，设其内切球半径为， 所以，解得， 所以圆台的高度， 设圆台上底面半径为，则下底面半径为， 圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心 根据切线长定理，圆台的母线长， 由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得： ，所以，可得， 则该圆台的体积为. 故选：A. 7. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和. 【详解】由解得，所以的定义域是. 由两边平方并化简得， 即，所以表示以为圆心，半径为的半圆. 由得， 的零点，也即与半圆的交点的横坐标， 与半圆的图象都关于直线对称， 画出与半圆的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称， 所以的零点和为. 故选：C 8. 已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出数列的通项，再分奇偶求出半探讨其范围，并建立关于的不等式求解即得. 【详解】由，得数列是首项为3，公差为2的等差数列，则， 于是， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 当为偶数时，；当为奇数时，，因此， 由不等式恒成立，得，即，解得， 所以的取值范围为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用裂项相消法求和时，应注意：（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等． 二、多选题 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 10. 如图1，在等腰梯形中，，且，O为的中点，沿将翻折，使得点A到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ） A. 在翻折过程中，与可能垂直 B. 在翻折过程中，二面角的最大值为 C. 当三棱锥体积最大时，与所成角大于 D. 点P在平面内，且直线与直线所成角为，若点P的轨迹是椭圆或圆，则三棱锥的体积的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当时，可证平面平面，从而可证；对B，在平面内，过点作，交于，以判断点在平面内的射影在直线上，作出二面角的平面角并求出二面角的正切值，得解；对C，当三棱锥的高等于，此时三棱锥体积最大，可求异面直线与所成角；对D，根据圆锥曲线的定义，判断二面角的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥的体积的取值范围. 【详解】如图1： 在未折起之前，有，， ， 由平面几何知识，易得，，所以. 所以，，. 对于A，沿将翻折，则点轨迹为一个圆，且圆面一直和垂直，如图2： 当时，此时，又，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 又平面，平面平面，， 所以平面. 又平面，所以，故A正确. 对于B，在平面内，过点作，交于， 由，可得平面，所以点在平面内的射影在直线上， 过点作得平行线交于，连接， 因为平面，所以即二面角的平面角，则， 易知四边形为矩形，所以，又， 所以，即二面角有最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当三棱锥的高等于，此时高取得最大值，又底面不变，所以三棱锥的体积最大. 如图： 取中点，连接，，则即为异面直线与所成角， 在中，，，， 所以， 所以，故C错误； 对D：点在平面内，且直线与直线所成角为， 所以点在以为顶点，直线为轴的两个圆锥的侧面上，如图， 若点的轨迹是椭圆，所以平面要与圆锥的侧面相交，与均为翻折过程中二面角的平面角， 根据圆锥曲线的概念，二面角应该在之间取值，且不能为（此时点的轨迹是圆）， 当二面角或时，由上面图3，可得此时棱锥的高为， 所以， 当二面角时，此时点的轨迹是圆，此时棱锥的高为1，， 所以点在平面内，且直线与直线所成角为，且点的轨迹是椭圆或圆时，，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别是定义在上的偶函数和奇函数，由可得，可解出，，再逐个验证选项即可. 【详解】函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足可得，即，与联立， 可得，， ，所以，A选项错误； ，故B选项正确； 函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增， 若，则，有，所以，C选项正确. 令， 设，当且仅当即时，取最小值为1， 所以方程有两个不相等的实数根，则，D选项正确； 故选∶BCD． 三、填空题 12. 设实数，函数为奇函数，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可求出的值，然后代值计算可得的值. 【详解】实数，且函数为奇函数， 则， 由奇函数的定义可得，即， 整理可得，则，因为，解得， 所以，，故. 故答案为：. 13. 已知数列的所有项均为正整数，，若，则所有可能的值为__________. 【答案】1或4.##4或1 【解析】 【分析】由，，可得，再分为奇数时、为偶数求解即可. 【详解】因为， 当为奇数时，， 即，解得， 与矛盾； 所以为偶数， 所以，即， 解得； 当为奇数时，， 即，解得； 当为偶数时， 所以，即， 解得 综上，的值为1或4. 故答案为：1或4. 14. 已知函数，若正数，满足，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，可得，据此得出，再结合基本不等式中“1”的代换应用，即可求解. 【详解】因为函数， 则 ， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 又，所以，即，所以， 又，均为正数，所以 即， 当且仅当时，即，时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若D为AB中点，，，求的面积. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）将已知条件转化成，利用余弦定理得出，化简得，再代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则，所以， 因为在中，，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由及得. 在中，利用余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积为. 16. 已知数列 的前n项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）已知函数 ，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入等式得到，然后利用累乘法求出，进而得到数列的通项公式. （2）先求出的表达式，然后求导，利用裂项相消法求出结果即可. 【小问1详解】 因为，， 所以当时，，化简得， 所以，利用累乘法，， 将代入得. 所以当时，. 当时，符合上式，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，求导得 . 所以 17. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上. （1）过A作，H为垂足，证明：面PCD； （2）若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，平面，所以. 在中，. 同理，在中，有. 又因为，所以， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，平面，则平面，又因为平面， 所以平面， 又因为平面平面，，平面平面， 所以平面. （2） 连接，因为平面，面， 所以，由勾股定理得， 同理可得，即， 因为，所以. 平面与平面所成角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，结合勾股定理即可得到，再由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得平面； （2）利用勾股定理即可证明，再建立空间直角坐标系，求出关键平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明略. 由上知为的交点，且由平行线性质得， 得到，故， 过作直线的平行线，则两两垂直， 如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 得到，， ，， 设平面的法向量为， 则，令， 解得，，故， 设平面的法向量为， 则，令， 解得，，故， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 18. 已知数列的前项和为，，数列的各项均为正数，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若对于任意的，不等式恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由求解，将题干条件变形求得，然后按照等比数列的定义及通项公式求解即可； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和即可； （3）参变分离得恒成立，设，利用作差法研究其单调性，即可求解． 【小问1详解】 因为数列的前项和为， 当时，， 当，时，， 也满足上式，所以； 因为，所以， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列，所以； 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ，所以， 当为偶数时，， 记， 则， 所以． 【小问3详解】 由与恒成立， 可得恒成立， 所以恒成立，即求的最大值， 设， ， 所以单调递增，又，所以，所以． 19. 已知函数，为自然对数的底数. （1）若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数a的取值范围； （3）当时，，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得直线的斜率，继而可解； （2）令，则，题意可转化为有两个零点，对求导，分和求出的单调性，可知使得即可. （3）变形不等式，参变分离后，利用换元法变形不等式，利用导数考查函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 ，所以，又     所以该曲线在点P处的切线方程为: ，即 【小问2详解】 因为，， ， 令，则，所以， 题意可转化为有两个零点， ， 当时，， 若，则，则，所以在上单调递减， 所以在上至多一个零点，故不成立； 若，令 可得， 令可得，令可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当趋近时，趋近正无穷，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 所以要使有两个零点， 则，即， 令，则在上单调递增， 又因为，所以由可得. 故实数a的取值范围为：. 【小问3详解】 不等式 可整理为，     令，， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以，又， 所以令，则     令， 则     令， 则     令，， 则，，     所以单调递减，， 所以，单调递减，， 所以， 所以， 所以单调递减，     所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $