第二十九章 专项培优习题课件 2025-2026学年冀教版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”中切线证明的核心内容，通过直径、等腰三角形、内接四边形等多样情境题，系统梳理连半径证垂直、利用平行或全等判定切线的方法，构建知识内在逻辑网络。 其亮点在于精选7道典型题（含2024武汉中考题），分层设计基础与综合题，规范证明步骤，培养学生推理意识与几何直观，助力学生巩固切线判定方法，教师可精准把握学情提升复习效率。

第二十九章　直线与圆的位置关系 阶段练习(29.1~29.4) 1 返回 A 1. [2025保定期末]已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O的直径为10 cm，则圆心O到直线l的距离可以是(　　) A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm 一、选择题(每小题5分，共40分) 2 返回 2. 已知⊙O的半径为2，点A到圆心O的距离为1，则点A在(　　) A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定 A 返回 3. 若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d满足(　　) A．0≤d<6 B．d＝6 C．d＞6 D．0≤d≤6 A 返回 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线．以点A为圆心，AD长为半径作⊙A，则⊙A与BC的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 B 返回 5. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)三点，D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，点D的坐标是(　　) A．(9，3) B．(9，6) C．(10，3) D．(10，6) A 返回 6. 如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是(　　) A．18° B．36° C．48° D．72° B 返回 7. [2025邯郸期末]如图，在一张Rt△ABC纸片中， ∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一张三角形纸片ADE，则△ADE的周长为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 C 返回 8. △ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B＝∠EAC，根据弦AB的变化，甲、乙两人分别探究直线EF与⊙O的位置关系． 甲：如图①，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切； 乙：如图②，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切． 下列判断正确的是(　　) A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 C 返回 9. [2025安徽中考]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为________. 20° 二、填空题(每小题5分，共20分) 10 返回 10. 当A(1，2)，B(3，－3)，C(m，n)三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件为__________. 5m＋2n≠9 11 返回 11. 如图，点O，I分别是锐角三角形ABC的外心、内心，若∠BAC＝8∠OAC＝48°，则∠BCI的度数为________. 24° 12 返回 12. 13 13. 三、解答题(共40分) ∵AB为⊙O的直径，CE⊥DA， ∴∠ACB＝90°＝∠AEC， ∴易得∠ABC＝∠ACE. ∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO， ∴∠BCO＝∠ACE， ∴∠ECO＝∠ACE＋∠ACO＝∠BCO＋∠ACO＝∠ACB＝90°， ∴EC⊥OC. 又∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． 返回 14. (12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，连接OA，OA＝OB. (1)求证：∠B＝30°； 证明：∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC. 又∵OC为⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线． ∵AB为⊙O的切线，∴AO平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠OAB. ∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB， ∴∠CAB＝2∠B. ∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°， ∴2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°. 返回 19 15. (16分) 如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢？请同学们阅读下面的分析：如图①，如果PA与⊙O相切于点A，那么PA⊥OA，即∠PAO＝90°，根据“圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径”可以得出：点A既在⊙O上，也在以OP为直径的圆上，是两圆的公共点． (1)请根据上面的分析在图②中完成尺规作图：用圆规和无刻度的直尺先找出线段OP的中点Q，然后画以点Q为圆心，PQ的长为半径的圆就可以确定切点的位置，切点分别记为A，B，画出直线PA和PB，PA和PB即为经过圆外一点P的⊙O的两条切线； 解：如图，直线PA，PB即为所求． 21 (2)在(1)的条件下，若⊙Q的直径PO与⊙O交于点M，连接MA，MB，AB.求证：点M是△PAB的内心. 证明：如图，设OP交AB于点T，连接OA，OB. ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP，PA＝PB， ∠OPA＝∠OPB，∴PT⊥AB， ∴∠MAT＋∠AMT＝90°. ∵OA⊥AP， ∴∠PAM＋∠MAO＝90°. ∵OA＝OM，∴∠MAO＝∠AMT，∴易得∠PAM＝∠MAB， 即AM为∠PAB的平分线． 同理可得BM为∠PBA的平分线，∴点M是△PAB的内心． 返回 22 [2025河南中考]我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F.若AB＝4，则图中阴影部分的面积为________. －2 (12分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且＝，CE⊥DA交DA的延长线于点E.求证：CE是⊙O的切线. 证明：连接BD，OC. ∵＝，∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC. ∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形， ∴∠CAE＝∠CBD. 又∵∠CAB＝∠CDB， ∴∠CAB＝∠CAE. (2)连接AD，若AD＝，则⊙O的半径为________. $第二十九章　直线与圆的位置关系 专项突破1　与切线有关的证明 1 1. (8分)如图，AC是⊙O的直径，P为半圆AC的中点，连接AP并延长至点B，使PB＝AP，连接CP，CB. (1)求证：BC为⊙O的切线； 2 证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠APC＝90°，∴∠BPC＝90°. ∵P为半圆AC的中点，∴AP＝CP， ∴∠PAC＝∠PCA＝45°. ∵PB＝AP，∴PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝45°， ∴∠ACB＝90°，∴OC⊥BC. ∵OC是⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线． (2)若AC＝4，则图中阴影部分的面积为________． 6－π 返回 4 2. (8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP＋∠DCE＝90°. (1)求证：PA是⊙O的切线； 证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. ∵∠BCD＋∠DCE＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE， ∵∠BAP＋∠DCE＝90°， ∴∠BAP＋∠BAD＝90°， 即∠OAP＝90°，∴AP⊥OA. ∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线． 6 返回 7 3. (4分)如图，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦， ∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°. 求证：DP是⊙O的切线. 返回 证明：连接OD. ∵∠ACD＝60°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝120°， ∴∠ODP＝∠AOD－∠APD＝120°－30°＝90°，即OD⊥DP. ∵OD为⊙O的半径， ∴DP是⊙O的切线． 4. (8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以O为圆心，OC长为半径的圆分别交边BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AB于点F. (1)求证：直线DF是⊙O的切线； 证明：连接OD. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB， ∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB. ∵DF⊥AB，∴DF⊥OD. ∵OD为⊙O的半径，∴直线DF是⊙O的切线． 返回 12 5. (8分)如图，PA与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E.过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB. (1)求证：PB是⊙O的切线； 证明：连接OB. ∵AB⊥PO，∴AD＝BD. ∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△OAD≌△OBD(SSS)，∴∠AOD＝∠BOD. 又∵OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP(SAS)，∴∠OBP＝∠OAP. ∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°，即OB⊥PB. ∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线． 15 返回 6. (8分)[2024武汉中考]如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点，连接AO. (1)求证：AB与半圆O相切； 证明：连接OD，作OH⊥AB于点H，如图． ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO平分∠BAC. ∵AC与半圆O相切于点D， ∴OD⊥AC. ∵OH⊥AB， ∴OH＝OD，即OH是⊙O的半径，∴AB与半圆O相切． (2)若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值. 返回 19 7. (8分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D. (1)求证：⊙D与AC相切； 证明：过点D作DF⊥AC于点F. ∵CD平分∠ACB，∠ABC＝90°， ∴DF＝DB，即DF是⊙D的半径， ∴⊙D与AC相切． 21 返回 (2)连接AC，若sin∠BAC＝，BC＝2，则AD的长为________. (2)若OC＝1，∠A＝45°，求的长. 解：∵∠A＝45°，OD∥AB， ∴∠AOD＝180°－45°＝135°， ∴的长为＝π. (2)若cos∠PAB＝，BC＝2，求PO的长． 解：由(1)可知，∠OAP＝90°， ∴∠PAB＋∠BAC＝90°. ∵AC是⊙O的直径，∴∠BCA＋∠BAC＝90°， ∴∠PAB＝∠BCA，∴cos∠BCA＝cos∠PAB＝， ∴＝，即＝， 解得AC＝2 ，∴AO＝AC＝. ∵AB⊥PO，∴∠DOA＋∠BAC＝90°， ∴∠DOA＝∠PAB， ∴cos∠DOA＝cos∠PAB＝， ∴＝，即＝， 解得PO＝10. 解：由(1)知OD⊥AC，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC. 在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2， ∵OD2＋CD2＝OC2，∴OD2＋42＝(OD＋2)2，解得OD＝3，∴OC＝5. ∵∠AOD＋∠OAD＝∠AOD＋∠COD＝90°， ∴∠OAD＝∠COD，∴sin∠OAC＝sin∠COD＝＝. (2)若AC＝15，cos∠ACB＝，求⊙D的半径． 解：∵∠ABC＝90°，cos∠ACB＝，∴＝， 即＝，∴BC＝9，∴AB＝＝12. 在Rt△CDF和Rt△CDB中， ∴Rt△CDF≌Rt△CDB(HL)，∴CF＝CB＝9， ∴AF＝AC－CF＝15－9＝6， 设⊙D的半径为r，则AD＝12－r，DF＝r， 在Rt△ADF中，AF2＋DF2＝AD2， ∴62＋r2＝(12－r)2，解得r＝， 故⊙D的半径为. $第二十九章　直线与圆的位置关系 河北特色题型专练一 1 1. 在一次数学实践活动课上，嘉淇同学在图①上，按下列步骤进行画图： 第一步：将三角板的直角顶点放在圆上任意一点C(与点A不重合)处，使三角板一直角边经过点A，另一直角边与圆交于点B，连接AB，如图②； 第二步：如图③，移动该三角板使其直角顶点与A重合，一直角边经过点B，画出另一直角边所在的直线AD. 2 嘉淇得到下面两个结论： ①线段AB是圆的直径； ②直线AD与圆相切． 下列说法正确的是(　　) A．①正确②不正确 B．①不正确②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 C 返回 3 返回 2. 3. 如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，MN与BA重合，L为EF的中点，连接LK. (1)图①中的正方形纸片的边长为________； (2)将正方形JKMN绕点A顺时针旋转________度，JN与HA重合，此时LK的长为________. 45 返回 6 返回 4. 如图，A，B，C，D均为圆周上的十二等分点，若用直尺测量弦CD的长时，发现点C，D分别与刻度1和4对齐，则A，B两点之间的距离是(　　) C 5. [2025河北中考]2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图，这是一幅眼肌运动训练图，其中数字1～12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为____________. 眼肌运动训练图   使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球，移动一圈后再回到原点，反复进行. 返回 9 如图，嘉嘉用三张面积均为4 cm2的全等的等腰三角形纸片，拼成了一个正六边形ABCDEF，则此正六边形的边心距为______cm. 2 4＋2 A．2 cm B．2 cm C．3 cm D．6 cm $第二十九章　直线与圆的位置关系 章末整合练 1 返回 A 1. 2 返回 2. C 返回 3. 如图，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，⊙M与线段AC有公共点时，r的取值范围是____________. 1≤r≤5 返回 4. [2025秦皇岛期末]如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为(　　) A．70° B．50° C．40° D．20° C 返回 5. D 6. (8分)如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC. (1)求证：EF与⊙O相切； 证明：连接OE. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE. ∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE. 又∵∠AFE＝∠ABC，∴△ABC∽△OFE，∴∠ACB＝∠OEF. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF. 又∵OE是⊙O的半径，∴EF与⊙O相切． 返回 返回 7. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，且∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则阴影部分(四边形CEOD)的面积为(　　) A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 A 8. (8分)[教材P22习题B组T1变式]如图，⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A，B，H，EF与⊙O相切于点C，分别交PA，PB于点E，F. (1)若△PEF的周长为12，则PA＝________； 6 (2)若∠G＝90°，GD＝3，GP＝4，求⊙O的半径. 12 ∴OH⊥DG，OB⊥PG，PA＝PB，DA＝DH， ∴∠OBG＝∠OHG＝∠G＝90°， ∴四边形OBGH是矩形． 又∵OB＝OH＝r，∴四边形OBGH是正方形， ∴GB＝GH＝r. ∵GP＋GD＝GB＋PB＋GH＋DH＝2r＋PA＋DA＝2r＋5， ∴2r＋5＝4＋3，解得r＝1， ∴⊙O的半径为1. 返回 返回 9. B 14 返回 10. 该图是有公共顶点O的两个边长为4的正五边形(不重叠)，以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“蘑菇”形图案(阴影部分)，则这个“蘑菇”形图案的面积为(　　) C 15 已知⊙O的半径OE＝，若OF＝2，则直线EF与⊙O的位置关系可能为(　　) [2024广州中考]如图，在⊙O中，弦AB的长为4 ，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是(　　) A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 如图，点D是⊙O的弦AB的延长线上一点，CD切⊙O于点C，若OB∥CD，AB＝OB＝，则BD的长度为(　　) A. B.＋1 C．2 D．2 (2)若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的长. 解：设⊙O的半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1， 在Rt△EOF中，∵sin∠AFE＝＝＝， ∴r＝4，∴AB＝2r＝8. 在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝sin∠AFE＝， ∴AC＝×8＝，∴BC＝＝. 解：连接OB，OH，设⊙O的半径为r， ∵∠G＝90°，GD＝3，GP＝4， ∴DP＝＝＝5， ∴PA＋DA＝5. ∵⊙O是△GDP的内切圆，切点分别为A，B，H， 如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，P是劣弧上一点，连接AC，AP，CP，则∠ACP＋∠CAP的度数是(　　) A．72° B．108° C．128° D．144° A.π B.π C.π D.π $第二十九章　直线与圆的位置关系 微专项1 等分圆问题 1 a＜b 1. 如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则a，b的大小关系为________． 2 2. 如图，将⊙O的圆周12等分，圆内接矩形ABCD的面积为20，则圆内接正六边形的面积为________． 30 3. 将⊙O的圆周12等分，点A，B，C是等分点，如图，∠ADB的度数可能为(　　) A．30° B．45° C．60° D．65° D 4. 2 如图，这是一个钟表表盘模型，连接2的刻度与10的刻度的B，D两点并延长，交过8的刻度的切线于点P，若表盘的半径为，则PC的长为________． $第二十九章　直线与圆的位置关系 培优拔高练 圆的综合问题 1 1. (8分)如图①，AB是半圆形量角器的直径，点O是半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，连接DO，与半圆O相交于点E，点E在量角器上对应的读数为60°(射线OA为0刻度线)． (1)连接AE，BE，求证：△AOD≌△EAB. 2 (2)如图②，线段AM(AM＝AD)从AD的位置开始，绕点A顺时针旋转，射线AM与半圆O的交点为P，当点P与点B第一次重合时停止旋转．已知半圆O的直径为2. ①当射线AM经过△ADO的内心时，求点P在量角器上对应的读数； 4 解：当射线AM经过△AOD的内心时，连接OP，如图， ∵AM经过△AOD的内心， ∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝45°. ∵OA＝OP，∴∠APO＝45°， ∴∠AOP＝90°，即点P在量角器上对应的读数为90°. ②当点P在量角器上对应的读数为150°时，直接写出线段AM扫过的面积. 返回 6 2. 3或9 9 ②当t＝2时，求阴影部分的面积. 解：如图②，连接ON，过点O作OF⊥MN于点F， 设l与AC交于点K. ∵t＝2，∴∠MOC＝60°. 由(1)知OC⊥AB. ∵直线l∥OC，∴直线l⊥AB. ∵OF⊥MN，∴四边形OFKC为矩形， ∴∠FOC＝90°，KF＝OC＝10， 10 返回 证明：由题意知∠AOE＝60°，OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠BAE＝60°＝∠AOE，OA＝AE. ∵DA为半圆O的切线，AB为半圆O的直径， ∴∠DAO＝∠BEA＝90°. 在△AOD和△EAB中， ∴△AOD≌△EAB. 解：线段AM扫过的面积为. (8分)如图①，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧与直线AB相切于点C，且OC＝10. (1)求点D到直线AB的距离． 解：如图①，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E. ∵∠COD＝60°，OC＝OD，∴△OCD为等边三角形， ∴∠OCD＝60°，CD＝OC＝10. ∵优弧与直线AB相切于点C， ∴OC⊥AB，∴∠OCB＝90°， ∴∠DCE＝30°，∴DE＝CD＝5， ∴点D到直线AB的距离为5. (2)如图②，优弧上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧交于另一点N. ①当直线l与优弧相切时，t的值为______； ∴∠FOM＝30°，∴FM＝OM＝5， ∴OF＝5 . ∵OF⊥MN，OM＝ON，∴FM＝FN＝5，∠MON＝ 2∠FOM＝60°， ∴S阴影＝S扇形OMN－S△OMN＝－×(5＋5)×5 ＝－25 . $