精品解析：福建省福州市马尾区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中学情调研 九年级数学 （全卷共6页，25小题，完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 如图，将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的定义，掌握相关定义是解题关键． 根据“对应点与旋转中心的连线的夹角是旋转角”，可知是旋转角，于是得到问题的答案． 【详解】解：将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是或． 故选：D． 3. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 4. 把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是（　　） A. y=（x+2）2 B. y=（x﹣2）2 C. y=x2+2 D. y=x2﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移规律“左加右减”可得平移后的抛物线解析式. 【详解】解：把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是：y=（x+2）2， 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题关键. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 6. 如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 【详解】∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故选：D． 7. 如图，在中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选：D． 8. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. y有最小值 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 通过二次函数的性质分析开口方向、最值、与y轴交点及顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向下，故A错误，不符合题意； ∵开口向下， ∴有最大值，无最小值，故B错误，不符合题意； 当时，， ∴与轴交点为，故C错误，不符合题意； ， ∴顶点坐标为，故D正确，符合题意； 故选：D． 9. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设共有x个班级，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：设九年级共有x个班，每个班都要赛场， 但两班之间只有一场比赛，一共有场比赛， 故，整理可得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用-比赛问题，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数），进而得出方程是解题关键． 10. 在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当且时，则 C. 当时，则 D. 当时，则 【答案】B 【解析】 【分析】先整理抛物线解析式，得到抛物线的开口方向、对称轴、增减性以及与x轴交点坐标，再逐项分析判断即可． 【详解】解：，且， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 令，则， 解得：，， 与轴的交点坐标为和． 当时，；当时，；当时，； A、当时，则，且，则，那么或，选项错误； B、当时，则，且，则，那么选项正确； C、当时，由随的增大而减小可得，选项错误； D、当时，由随的增大而增大可得，选项错误； 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故答案为：，． 12. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，，当时，开口向上，即可作答． 【详解】解：设， ∵二次函数的图象开口向上，且经过点， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 13. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 14. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求代数式的值. 先将点代入抛物线的关系式，再整理得出答案． 【详解】∵抛物线与x轴的一个交点， ∴， 即， 所以． 故答案为：． 15. 如图，是半圆O的直径，点C、D在半圆O上，若，则的度数为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ∵是半圆O的直径， ∴， ， 故答案为：． 16. 如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，5为半径的圆上运动，得到当点在线段上时，的值最小为的长进行求解即可． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转后得到线段，连接，则：， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小为的长，即的最小值为. 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】用因式分解法解方程即可 【详解】解： 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解方程方法，选取合适方法是解题的关键． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点O顺时针旋转后的． 【答案】（1） 如图，，即为所求；； （2） 如图，，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点 再顺次连接，再根据的位置可得答案； （2）分别确定绕原点O顺时针旋转后的对应点，再顺次连接． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，弧与弦的关系等知识点． （1）根据圆周角定理得到，那么； （2）由圆周角定理得到，再由得到然后由勾股定理求解，再对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，．且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∵， ∴此方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，可知，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别，， ∴， 又∵， ∴， 将代入方程，得， 解得． 21. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图，即所求； （2） 解：由旋转的性质可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E、C、B在一条直线上， ∴直线经过点E． 【解析】 【分析】（1）分别以点A、B为圆心，为半径画弧交于点D，分别以A、C为圆心，为半径画弧交于点E，再连接A、D、E即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，从而求得，再由，可得，再由，可证点E、C、B在一条直线上，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图−旋转变换、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 22. 在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设米． （1）如果花园的面积为平方米，求的值； （2）如果在点处有一棵树到墙，的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），求花园面积的最大值． 【答案】（1）的值为米或米 （2）花园面积的最大值为平方米 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题关键． （1）根据题意列方程即可； （2）根据题意可得出二次函数的解析式，再根据二次函数的增减性即可求出花园面积的最大值． 【小问1详解】 解：∵米，则， ∴由题意得，． 解得，，． ∴的值为米或米． 【小问2详解】 解：由题意知， 解得，． 设花园的面积为平方米， 由题意得，， ∵，开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，． 即花园面积的最大值为平方米． 23. 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一、任务二． 【答案】任务一：；任务二：水流不能流到圆柱形水杯内 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； 任务一：由题意易得抛物线的对称轴为，则有，然后把点代入抛物线，得，进而根据待定系数法可进行求解； 任务二：由题意易得圆柱形水杯最左端到点O的距离是，然后把代入可进行求解． 【详解】解：任务一： ∵轴，，点B为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为． ∴． ∴． 把点代入抛物线，得 ． 把代入得 ，解得． ∴． ∴抛物线的函数表达式为． 任务二：由题意得：圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ∵， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数的最大值为． （ⅰ）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，，且，求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：∵点在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ． ∴，即． 不妨设， ∴． ∵该抛物线的对称轴为， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）先将代入函数解析式求出，再根据二次函数的性质求解即可； （2）（ⅰ）先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； （ⅱ）根据点在函数的图象上，得出，再将通分后求出，然后根据二次函数的对称性即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴． ∴该抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 （ⅰ）解：由（1）可得， ∴该函数的解析式为． ∴函数图象的顶点坐标为． ∵函数的最大值为， ∴，且， 解得，或（舍去）． ∴该二次函数的表达式为． （ⅱ）略 25. 如图1，将绕着点C旋转，得到，且点E落在边上，与交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，若B，E，F三点在同一条直线上，求证：H是的中点； （3）如图3，若是矩形，且平分．探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：由旋转得 ∵四边形是平行四边形 平分； （2） 证明：∵四边形是平行四边形 ， 是由旋转而得到的 ，， ∵B，E，F三点在同一条直线上 由（1）可知： 即H是的中点； （3） 解：，理由如下： 作于点I， 则 是矩形 ∴四边形是矩形 ， 由（1）可知 又 ， 又， ∵四边形是矩形 平分 设，，则，， 在中，由勾股定理得： ． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质、平行四边形的性质得出，进而得出结论即可； （2）根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质证得，即可得出结论； （3）作于点I，则，证明，得出，，再证明，得出，设，，则，，，列出方程，证得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中学情调研 九年级数学 （全卷共6页，25小题，完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是（　　） A. y=（x+2）2 B. y=（x﹣2）2 C. y=x2+2 D. y=x2﹣2 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，在中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. y有最小值 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 9. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当且时，则 C. 当时，则 D. 当时，则 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的解是________． 12. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式________． 13. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 14. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为________． 15. 如图，是半圆O的直径，点C、D在半圆O上，若，则的度数为________． 16. 如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点O顺时针旋转后的． 19. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数； （2）若，，求的长度． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，．且，求m的值． 21. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 22. 在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设米． （1）如果花园的面积为平方米，求的值； （2）如果在点处有一棵树到墙，的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），求花园面积的最大值． 23. 制作简易水流装置 设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 示意图 已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 请根据活动过程完成任务一、任务二． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数的最大值为． （ⅰ）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，，且，求证：． 25. 如图1，将绕着点C旋转，得到，且点E落在边上，与交于点H，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，若B，E，F三点在同一条直线上，求证：H是的中点； （3）如图3，若是矩形，且平分．探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $