吉林省吉林市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

24级高二上学期12月考（数学学科）试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 2. 若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 52 C. 45 D. 72 4. 若直线与平行，则与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 7. 直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前项和，若，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 10. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（ ） A. 若，则 B. 若的倾斜角为，点在第一象限，则 C. 若，则的斜率为1 D. 若点在抛物线上，且，则 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（ ） A. 曲线与直线有个公共点 B. 曲线上任意两点距离最大值为 C. 的最大值为 D. 曲线所围成图形面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列中，，则___________． 13. 设是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则___________． 14. 数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，其中． （1）求实数的值以及数列的通项公式； （2）设是数列的前项和，求． 16. 已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 17. 已知四棱台，底面四边形为菱形，，且侧棱平面. （1）证明：平面； （2）记，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于两点，点的坐标为． （i）证明：； （ii）求外接圆圆心的横坐标． 19. 已知椭圆，离心率为，抛物线准线为，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． （1）求椭圆与抛物线的方程； （2）如图所示，过点作直线与交于两点，与交于两点，过点作直线的平行线与交于两点，为坐标原点． （i）证明：； （ii）判断是否存在常数，使得，并证明你的结论． 24级高二上学期12月考（数学学科）试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】6 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：，底面四边形为菱形，， ，则，设，连接， 底面四边形为菱形，为的中点，，， ，为平行四边形，， 平面，平面，平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （i）证明：由（1）知，. 记，因为，所以点N在圆C内. 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 两点的坐标分别为，关于轴对称，所以； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入圆的方程，得， 化简得. 设，则. 设直线的斜率为，直线的斜率为. 由，得. 因为，所以. 所以直线与直线关于轴对称，所以； 综上，. （ii）. 【19题答案】 【答案】（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程：. （2） （i）证明：因为点即在椭圆外故直线斜率存在且不为0， 设直线方程为， 消去得：， 设,, 由韦达定理，， , ， , . （ii），证明： 将直线方程与椭圆方程联立： 消去得：， ，， 设,, , , ， 设,, 过点作直线的平行线的方程与椭圆联立： 消去得：， ，， , , ， , 即， ，解得：，        存在常数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $