第18章分式 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《第18章分式》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．已知：、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知a为整数，且为正整数，则所有符合条件的a的值的和是（   ） A．0 B．12 C．4 D．8 5．若关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．已知，为实数且满足，，设，，则下列两个结论①若，则．②时，；时，；时，．（   ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对 7．小李一家计划寒假去成都看三星堆．手机导航系统推荐两条线路，第一条线路全程约460公里，第二条线路全程约456公里．因路况不同，第二条线路的平均时速比第一条线路提高，因此用时节约1小时．假设汽车在第一条线路的平均时速为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．当的值为 时，分式的值为非正数． 9．化简： ． 10．若，则 ． 11．已知，，，，（n为正整数，且），则计算的结果为 ． 12．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 13．某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克 元． 14．同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为 （2）若，则此方程的解为 （用含有的代数式表示）． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．已知：，求代数式的值． 17．已知关于x的分式方程，若该方程无解，求m的值． 18．小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． (1)用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． (2)小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 19．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 20．【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 优生辅导》参考答案 1．D 【分析】此题考查的是有理数的比较大小，掌握乘方的意义、负指数幂的性质和零指数幂的性质是解题关键．根据乘方的意义、负指数幂的性质和零指数幂的性质求出、、的值，比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，，, ∵ ∴ ． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查分式的加减运算，根据分式的加减运算法则，先通分再化简即可． 【详解】解： ． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查分式化简求值．由已知条件可得，即．将所求表达式的分子和分母分别用表示，并代入化简． 【详解】解：∵， ∴，即 ， 所求表达式为 ， 分子：， 分母：， ∴， 故选：A． 4．C 【分析】本题首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．本题考查了分式的混合运算，正确分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 设（为正整数） 且， ，解得。 为整数 。 令，则且为整数， 原式 当时，，是正整数，此时，即 当时， 。 则。 此时不是正整数 唯一符合条件的整数的值是4。 所有符合条件的的值的和是4 故选：C． 5．C 【分析】本题考查分式方程的解，不等式的解法，解题的关键是掌握分式方程的求解方法． 先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案． 【详解】解：， 分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：，且， 解得：且． 故选C． 6．A 【分析】本题主要考查了分式的加减法计算，当时，则，则可求出，，进而求出，据此可判断①；可求出，当时，，即；当时，，但是此时不确定的符号，据此可判断②． 【详解】解：当时，则， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ， ∴当时，，即； 当时，，但是此时不确定的符号，故不能判断的大小关系，故②错误； 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、理清题中的数量关系是解题的关键． 设第一条线路的平均时速为，则第二条线路的平均时速为．第一条线路的用时为，第二条线路的用时为．再根据第二条线路用时比第一条少1小时列出分式方程即可． 【详解】解：设第一条线路的平均时速为，则第二条线路的平均时速为． 由题意可得：． 故选D． 8． 【分析】本题考查分式的求值，求不等式组的解集，根据分式的值为非正数，得到或，进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为非正数， ∴， ∴或， 解得：； 故答案为： 9． 【分析】本题考查分式的混合运算，先算括号内的分式减法，再进行除法运算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 11． 【分析】本题考查了分式的运算，找规律及周期问题，根据题意分别求出，，，的值，发现，说明该组数列是以周期3为循环，再根据题中得，说明该乘积有675个的乘积，将相乘得，此时原式为． 【详解】解：由题意知，前四项分别为，，，， ∴数列以周期3为循环， ∵周期为3，且， ∴该乘积可视为675组的乘积， ∴， ∴． 故答案为：． 12．12 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程等知识点，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【详解】解：， 解得， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴ ∴或5或6或7或8或9， 解分式方程， ∴， ∴， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，即或2或4或或8， ∴或6或4或2或0， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或4或2或0． ∵， ∴符合条件的整数a有4，8 ∴． 故答案为：12． 13．5 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次进货价为元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】解：设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次的进货价为元， 由题意得，， 解得：，     经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种草莓的进货价是每千克5元． 故答案为：5． 14． 或 或． 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）将原方程变形后即可求得答案； （2）将原方程变形后即可求得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， 令，则， ∴方程的解为10或， ∴或， 解得或， 经检验，或是原方程的解； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 令， ∴， ∴方程的解为或， ∴或，解得或． 经检验，或是原方程的解． 故答案为：（1）或（2）或 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． （1）利用同分母分式减法运算法则计算，并且因式分解、约分，即可求解； （2）先把括号内的分式通分，然后再按照分式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16． 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴原式． 17．或或． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出的值；由分式方程无解求出的值，代入整式方程求出的值即可．此题考查了分式方程的无解问题，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到，即或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，方程无解，此时分式方程无解，解得． 故的值是或或． 18．(1)小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升 (2)当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解； 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）仿照材料二，设，则，代入所求式子即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分，利用完全平方公式性质求解即可； （3）取倒数得：，拆项得，从而得，代入已知可得结论． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）， ； （3）      ， 将其代入中得： ， ， ， ． 20．见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是人、人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册．根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是册、册． 学科网（北京）股份有限公司 $