第14章 全等三角形 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

2025-2026学年人教版八年级数学上册《第14章全等三角形》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．如图，，，，下列条件中不能证明的是（    ）    A． B． C． D． 2．【双剑合璧】两位侠客施展“全等剑阵”，则剑光总长（为六尺，剑光重叠处长四尺．问独属一位侠客的剑光长几何？（    ） A．3尺 B．2尺 C．1尺 D．0.5尺 3．如图，、是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，点A，点B，点C，点D均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点分别在轴和轴正半轴上，，则等于（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，，垂足为点，厘米，厘米，射线，垂足为点，一动点从点出发以2厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动秒时，与全等，的值可能为（   ） A．2 B．2或6 C．6或8 D．2或6或8 7．如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且，有以下结论中：①；②；③；④．正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 8．如图，，，若，则的面积为 9．如图，点D 在上， 于点E，于点D，交于点F，，，，则的度数为 ． 10．如图，，，，，垂足分别为，，若，，则的长为 ． 11．如图，在和中，，，，与交于点，与交于点．若，则 ． 12．如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 13．如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ． 14．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则①平分；②；③；④．则正确结论是 ． 三、解答题 15．如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． (1)嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） (2)琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 16．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，证明： (1)． (2)． 17．（1） 如图1，的角平分线，相交于点O，． ①求的度数； ②在上截取，使，连接，补全图形并求证：； （2）如图2，点D是外一点，平分，交于点O，平分，，，，，求的长． 18．如图，在中，的平分线交于点D，延长交于E，点分别在上，连接． (1)填空：若，则________； (2)若， ①设，且为锐角，判断的形状并加以证明； ②求证：． 19．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 20．（1）【问题提出】 如图1，直线经过点，，，分别过点，向直线作垂线，垂足分别为，．我们发现．所以，如果，，那么___________，、、满足的数量关系是___________； （2）【变式探究】如图2，点、、分别在直线上，如果，，（1）的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3所示，在和中，，，连接，作边上的高，延长交于点．若，求的面积． 参考答案 1．B 【分析】本题考查全等三角形的判定，如图，设交于点，延长交于点，先利用平行线的性质得到，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）并能根据情况选用适当的方法进行全等的判定． 【详解】解：如图，设交于点，延长交于点，    ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，根据可判断，故选项A不符合题意； 当时，这是“两边及一边的对角对应相等”的形式，不能判断，故选项B符合题意； 当时，根据可判断，故选项C不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴，根据可判断，故选项D不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了线段的和差、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，进而得到，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵尺，尺，尺， ∴尺． 故选C． 3．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，进而证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】解： 、是锐角的高， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质， 由题意可得：，，即可证明，从而得出，根据三角形的外角可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， , ， ， ． 故选：C． 5．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 通过作辅助线构造矩形和全等三角形，将和的长度关系转化为可计算． 【详解】解：过点作轴于点，作轴于点．    ∵ 点，， ∴ ，，． ∴ ， ∴ ． 又∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故选：． 6．D 【分析】本题考查三角形全等的性质．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时；再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点未动，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质等，由三角形的高可得，进而由角平分线的定义得，即得到，即可判定①；证明，得到，进而可证，即可判定②；由全等三角形的性质得，，进而由得，即可判定④；延长交于点，可证，得到，即得，由可得，即得，即可判定③，综上即可求解；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的角平分线，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 如图，延长交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 即，故③错误； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：． 8．2 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，过点D作交的延长线于E，证得，再根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：过点D作交的延长线于E，如图所示： ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：2． 9．/58度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．根据直角三角形的两个锐角互余和等角的余角相等，可以得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．利用可以证明 利用全等三角形和三角形内角和可以得到的度数，据此即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 12．/0.5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的定义及性质得，，，，继而得到，，，进一步证明平分，得，最后根据三角形外角的性质得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在在的角平分线上，即平分， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作辅助线． 14．①②③ 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明，，得出，，进而得到，再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论． 【详解】解：①如图，过点作于， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分，①结论正确； ②，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ，②结论正确； ③平分， ， ，， ， 平分， ， ， ，③结论正确； ④由②可知，，， ，， ， ，④结论不正确， 正确的结论是①②③． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 15．(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由作图知，，，根据即可证明； （2）①根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以利用“”得到； ②结合全等三角形的判定可得，在和中，利用三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：由作图知，，，又， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图，点M即为所求． ②在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． ∴． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到的距离=点D到的距离，即，是解答本题的关键． （1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离=点D到的距离，即．再根据，得； （2）利用角平分线性质证明，，再将线段进行转化． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在Rt和Rt中， ， ． ； （2）证明：在与中， ， ， ． 17．（1）①；②图见解析，证明见解析；（2）1 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）①利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可； ②先证明，可得，，进而可证，由此可得； （2）在上截取，使，连接，根据②中的方法分别证明和，即可得出答案． 【详解】解：（1）①∵，是的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②补图如图1，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图2，在上截取，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∴， ∴． 18．(1) (2)①是直角三角形，理由见解析；②见解析． 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及角平分线的性质，先求出的度数，再得出的度数，最后根据三角形内角和求出． （2）①先根据角平分线性质和三角形内角和求出与的关系，再结合已知推出，从而判断三角形形状． ②通过作辅助线延长交于，先证明，再证明，进而推出结论． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴在中，． （2）①解：是直角三角形，理由如下： 设，在中，． ∵、分别平分、， ∴，． ∴． ∴在中，． ∵， ∴． ∵， ∴． 是直角三角形． ②证明：延长交于， ∵， ∴， 平分， ∴， ∵， 和中， ∴（）， ，， 在和中 ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）过点作于于，利用角平分线性质得到相等线段，再结合角的关系证明三角形全等，从而得出； （2）过点作于于，利用角平分线性质和角的关系证明三角形全等，进而得到； （3）利用角平分线的性质，通过线段的转化求出的值． 【详解】（1）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ． ， ． 在和中： ， ； （2）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ， ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 是的角平分线，， ， 又 平分， ， ， 平分， 在和中， ， 同理可证，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 20．（1）；（2）成立，见解析；（3）60 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴； （2）成立；理由如下： ， 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 同理可得：， ∴， ， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $