第二十二章 《二次函数》章节检测卷 -2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第二十二章 《二次函数》章节检测卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 2．将函数的图象向左平移1个单位后，得到的图象对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法中正确的是（）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3 4．二次函数可变形为（   ） A． B． C． D． 5．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 6．已知二次函数，点，均在该二次函数图象上．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 8．已知点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10． 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．抛物线与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ． 12．若平行于x轴的直线与抛物线的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 13．若二次函数的图象上有点，则 （填“”“”或”）． 14．当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分．） 15．（8分）如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并求抛物线的顶点坐标； (2)求的面积． 16．（8分）某工厂现有台机器，每台机器平均每天生产件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产件产品． (1)如果增加台机器，每天的生产总量为件，请你写出与之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 17．（8分）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． (1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 18．（8分）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 19．（8分）【问题背景】（1）小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践活动，现有、两种农作物的相关信息如表： 作物 作物 每平方米种植株数（株） 单株产量（千克） （2）经调研发现：种植作物，每平方米每增加株，作物的单株产量就减少千克； （3）若同时种植、两种作物，实行分区域种植． 【问题解决】 (1)种植作物，设每平方米增加株（为正整数），用含的代数式表示： ①每平方米有________株；②单株产量为________千克． (2)要使作物每平方产量达到千克，则每平方米作物应种植多少株？ (3)设这平方米的土地中有平方米用来种植作物（），且要求每平方米种植作物产量达到最大，其余区域按每平方米种植株作物，当这平方米的总产量不低于千克时，求的取值范围． 20．（8分）综合与实践 【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止． 【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度（单位：）与时间（单位：）的关系（如图1所示），以及路程（单位：）与时间（单位：）的关系（如图2所示）．其中，图2中段是抛物线的一部分．已知小球初速度． 【建立模型】 任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段的长度为_____； 任务2：求小球在粗糙轨道（射线对应部分）上运动时，速度与时间之间的函数关系式． 求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程． 【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线上）是否存在一节长为的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由． 21．（10分）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点， (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程） 参考答案 一、单项选择题 1．D 【详解】A：为一次函数，斜率，故当增大时，始终增大，不符合条件． B：是开口向下的抛物线，顶点在原点．当时，函数在对称轴左侧随增大而递增，不符合条件． C：开口向下，顶点为．当时，函数同样随增大而递增，不符合条件． D：是开口向上的抛物线，顶点为．当时，函数在对称轴左侧随增大而递减，符合条件． 故选：D． 2．C 【详解】解：将函数的图象向左平移1个单位后，根据“左加右减”的原则可知，平移后的函数表达式为． 故选C． 3．D 【详解】A．在抛物线中，由于，所以该抛物线开口向下，故该选项错误，不符合题意； B．在抛物线中，对称轴是直线，而不是直线，故该选项错误，不符合题意； C．令，即，解得．这表明抛物线与轴有两个交点，故该选项错误，不符合题意； D．因为抛物线中，所以抛物线开口向下，函数有最大值．当时，函数的最大值是，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 4．B 【详解】解： ， 则二次函数可变形为， 故选：B． 5．C 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来． 故选：C． 6．B 【详解】解：当时，， 解得：或， 该二次函数的图象与轴的交点分别为，， 该二次函数图象的对称轴为直线， 该二次函数的图象开口向上， 当时，的值随的值增大而减小， 关于直线的对称点为， 时，． 故选：B． 7．D 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：或， 又， 或． 故选：D． 8．D 【详解】解：点在二次函数的图象上， ， 点到轴的距离小于， ， ， ， ， ． 故选：D． 9．B 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 10．B 【详解】解：如图， 当时，，解得，，则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故选：B． 二、填空题 11． 【详解】解：当，则，即， 解得：，， 则抛物线与x轴的交点坐标为． 当时，， 则抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：； 12． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线的一个交点的坐标为， 另一个交点的坐标为，即， 故答案为：． 13． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称， ， 故答案为：． 14．或 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当时或当时，y取最大值． ①当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴（不合题意，舍去）或． ②当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴或（不合题意，舍去）． 综上，或． 故答案为：或． 三、解答题 15．（1）将、代入解析式，得 ， 解得： ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）如图，连接 当时， ∴ ∴ ∵、， ∴ ∴的面积． 16．（1）解：由增加台机器，且每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产件产品， 则每台机器平均每天生产件产品， 根据题意得：， 由， 解得：， 则； （2）解：∵， ∵，， ∴当时，有最大值， 则增加台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是件． 17．（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：当时，， 能通过． 18．（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 19．（1）解：设每平方米增加株作物（为正整数），则每平方米有株，单株产量为千克， 故答案为：，； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴或， 答：每平方米应种植株或株； （3）设种植作物每平方米的产量为千克， 根据题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴种植作物每平方米最大产量为千克， 根据题意得：， 解得， 又∵ 则的取值范围是， 故答案为：． 20．解：任务1：由题意得：轨道初段的总长为 故答案为：； 任务2：设， 则， 解得， ∴； 根据题意将代入得：， 解得， ∴； 由知小球在段速度与时间之间的函数关系式为， 当时，解得， 将代入得， ∴行进的总路程为； 任务3：解：存在，假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：， 当时，，即这节轨道的起点刚好为C点（符合题意）， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 21．（1）解：把，代入 则有， 解得 二次函数的解析式为， 令，得到，解得或， ． （2）如图中连接，． 设直线解析式为：， ，， ， 解得，， 直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点， 面积最大时，； （3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： ∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点N的横坐标为t， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点N在抛物线上， ∴点N的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点N的坐标为； 综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $