甘肃省甘南藏族自治州临潭县第二中学2026届高三12月调研数学试卷

临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：集合与常用逻辑用语+复数+一元二次函数、导数、方程和不等式+函数及其性质+幂函数、指数函数和对数函数+三角函数、解三角形+平面向量 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 2．复数（    ） A．i B． C．1 D． 3．在菱形中，分别是边的中点，则（　　） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，且，若函数在区间上的最大值为2，则 A． B． C． D． 6．已知是三角形ABC的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 7．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．是的充分不必要条件 C．的单调递减区间为 D．函数（且）的图象恒过定点 10．已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若是第三象限角，且，则 D．若角的终边过点，则 11．已知为坐标原点，，，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数 ，__________． 13．函数在上的最小值是 . 14．平行四边形中，，点满足.则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间与极值． 16．（15分）三角形ABC的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题： ①；②；③． (1)求三角形ABC的面积； (2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求． 17．（15分）已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 18．（17分）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的最小值为，求的最小值. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于－1，求的取值范围； (3)当时，证明：有2个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：集合与常用逻辑用语+复数+一元二次函数、导数、方程和不等式+函数及其性质+幂函数、指数函数 和对数函数+三角函数、解三角形+平面向量 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={xlog2(x+1)<2},B={x2x2-5x-3≤0}，则A∩B=() x≤3 B.{x-1<x≤3} ≤x<3 D.{x≤3} 【答案】C 【分析】先分别求解集合A和集合B,再找出它们的公共部分 【详解】由log2(x+1)<2=log24可得x+1>0且x+1<4 解x+1>0得x>-1;解x+1<4得x<3.所以集合A={x|-1<x<3} 先对2-5x-3因式分解，得到2x+x-到三0.解得≤x≤3所以集合B=-x≤) 集合A=-1K《<3》,集合B=-x≤引.那么AnB=(-≤x<3》故选：C 2.复数2=1+21=《) 2+i A.i B.-i C.1 D. 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的除法运算求解即可. 【保1-栏-侣计2等1， 2+i 故选：A. 3.在菱形ABCD中，B=∠ABC=3,BF分别是边BC,CD的中点，则A正AF=（） 13 A. 9 3 8 B. 8 C. 4 D. 8 【答案】D 【分析】将AE,AF用AB,AD表示，利用平面向量的数量积求出AB.AD,计算A正.AF即可得解. 【详解】由题意，得A正=AB+B正=AB+ADA=AD+DF=上AB+AD, 在菱形ABCD中，MB=1,∠AnC=号 所以∠BAD= 网-西-10-号 所以A亚.AF= 丽知领而)-酒而而}()& 故选D. 4. 已知cosa+ 6 ma=,则m2+ 3 的值为() 6 7 19 19 7 A. 25 B.-25 25 D. 25 【答案】C 【分析】应用两角和差公式及辅助角公式得出sin&-二 再应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求解 6 5 【详解】因为cosa+6 na子所以c 33 2 -sima× -sina-cos ax 2 25 所以sina× 2 2=sin a- 6 2525 故选：C 5.已知函数f(x)=1log2x,0<m<n,且f(m)=f(n),若函数f(x)在区间m2,n上的最大值为2，则m2= 1 A. 4 B. C. 3-2 D.2 【答案】A 【详解】试题分析：由题设知：log2川=log,川，因为0<1<n,所以0<m<1<n,所以-log2m=log2n→n=马 因为m2<m且函数在0,1上为减函数，所以，fm>f0m=f0).所以，f(m)2,所以，-1og2m2=2解得：m= 4 故选A 6.已知G是三角形ABC的重心，过点G作一条直线与边AB,AC分别交于点E,F(点E,F与所在边的端点均不 11 重合)，设AB=xAE,AC=yAF,则三+二的最小值是() x V A.1 B. C.2 D.4 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理得到x,y的等式，再用基本不等式求得最小值， 【详解】如图： 取0中点0，则0=而.而-丽+号c.4G0}c）业 a严点一y-,心分生）23子 当且仅当x=y= 时，取等号；故选：B 3 7.已知函数y=fx-1)的图像关于直线x=1对称，且当x∈(-o,0)时，f(x)+f'(x)<0成立，若a=2f(25), b=In3f(In3),c=log, 0g1 则() 2 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 【答案】B 【分析】先得到y=f(x)为偶函数，再构造函数8(x)=f(x),利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系 【详解】函数y=∫(x-1)的图像关于直线x=1对称，可知函数y=f(x)的图像关于直线x=0对称，即y=f(x)为偶函数， 构造g(x)=f(x),当x∈(-n,0),，g'(x)=f(x)+yf(x)<0,故y=8(x)在(-n,0)上单调递减， 且易知g()为奇函数，做y=8(网在Q)上单调遥减，由2>2k3a30,所以g)<ge司 <g(In3) 故选：B. 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角B的内角平分线长为3，若B=,则a+20 的最小值为() A.6 B.2+2W5 C.3+2√5 D.3+25 【答案】C 【分析】先根据三角形面积公式求出ac=c+a,然后利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】根据三角形面积公式S4Bc=S4BD+ScBD可得： 2 acsinπ、1 1 "32C×BDxsin+1 BDx如名则有兮0n于cx5×n管+a5x如名化商 62 6 6 6 c=c+a,即+=1所以a+2c=(a+21+=1+9+2+2≥3+392325. a c a c c a Nca 当且仅当=二即a=5c时等号成立，此时a+2x取最小值为3+2反.故选：C ca y 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的有() A.命题3x∈R,x2+3x+2≤0”的否定是x∈R,x2+3x+2>0” B.a<3是a<4的充分不必要条件 C.f)=上的单调递减区间为(m,0U(0,+∞) D.函数f(x)=-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,2) 【答案】AB 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，判断选项A:利用充分、必要条件的性质和定义判断选项B:利用 反比例函数的单调性判断选项C;利用指数函数的性质判断选项D 【详解】选项A:存在量词命题x∈M,P(x)”的否定为全称量词命题“x∈M,P()”, .命题3x∈R,x2+3x+2≤0”的否定是“x∈R,x2+3x+2>0”,故A正确： 选项B:若a<3则一定满足a<4,即a<3能推出a<4,满足充分性： 若a<4不一定满足a<3,如3<a=3.5<4,即a<4不能推出a<3,不满足必要性， :a<3是a<4的充分不必要条件，故B正确：选项C:f)士在定义域(-，0)和(Q+)上分别单调道减。 但不能合并为1个区间，如f(-1)=-1,f(1)=1,不满足f(x)在(-o,0)U(0,+o)上单调递减， \f(x)的单调递减区间为(-0,0)和(0，+o),故C错误： 选项D:令x-1=0,即x=1,则f(1)=1-2=-1, 函数f(x)恒过定点1，-1)，不是(1,2)，故D错误. 故选：AB. 10.已知f(a)=2sim(r-a)+cos3r+a) 3cos(-a)+sin（π+a) ，下列说法正确的是() 2sina-cosa A.f(a)= 3cosa-sina B.若f(a)=3,则tan=2 C芳u是宽像腿指，Acwa5 则f()=2 D.若角a的终边过点P(-L1),则f(a)=-3 4 【答案】ABD 【分析】由已知结合诱导公式对已知函数进行化简，然后结合同角基本关系，诱导公式检验各选项即可判断. 【详解】f(a)= 2sin(π-a)+cos(3π+a）2sina-cosa ,A正确： 3cos(-x)+sin(π+a) 3cosa-sing 若∫(a)=3,则5sina=10cosa,即tana=2,B正确： 若a是第三象限角，且cos 3π - 25 sn=5,则sima=二5，所以cosa、3 2 x2+2w5 5 所以f(a)= 2sina-cosa 5 5 3cosa-sina 25 =0,C错误： 5 若角a的终边过点P(-l,1),则tana=-1,f()= 2-md子-子D江痛做底：A8n 11.已知O为坐标原点，A(2,-1),B(1,2),C(-1,-2),则() 10 3v10 A.A正方向的单位向量为 10 10 B.若AP=2PB,则点P的坐标为 C.∠ACB= 4 D.CA在CB上的投影的数量为V10 【答案】BC 【分析】利用向量的坐标表示，结合数量积的公式，即可求解，判断选项 【详解】对于AAB=(-1,3),AB=V10,所以A正方向的单位向量为 V103W10 10’10 故A错误： 对于B.设P(xy),由A亚=2PB,则(x-2,y+1)=2(1-x,2-y), x-2=2-2x .4 所以 4所以，所以 故B正确： y=1 对于CCA=(3,1),CB=(2,4),cos∠ACB=c0sCA,CB CA.CB3×2+1×4_√2 CACB V10×2√5 ，所以∠4CB牙故c正确： 对于D.向量CA在CB方向上的投影数量 C=9-5,故D错误故选：BC CB 25 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1 知玉数-20.J0-f 【答案】1 【详解】：f0)=2=2,f(-1)=-1,f0)+f(-1)=1 13.函数f(x)=sin 位+os前'在红0小上的设小值是 【答案】 √2+1 2 【分析】利用三角恒等变换思想化简得出了)二2血人-今 “4 由0≤x≤x计算得出x-元的取值范围，再利用正 4 弦函数的基本性质可求得函数y=∫(x)的最小值. 【详解】 f(x)=sin 2 当0≤x≤π时， sx-s3π 4 4-4 所以当.函数y=了取得最小面，即了代三】-2+小 42 故答案为： √2+1 2 14.平行四边形ABCD中，ABAD=5,点P满足PB.PD=8.则PA.PC= 【答案】3 【分析】结合平面向量的加减法运算法则以及平面向量的数量积的运算律化简整理即可求出结果 【详解】由题意可知：PAP元=(PD-AD)(PD+AB)=PD+PDAB-ADPD-ADAB PD'+PD.(AP+PB -(AP+PD:PD-AD.AE-PD'+PD.AP+PD.PB-AP.PD-PD'-AD.AB =PD.PB-AD.AB=8-5=3, 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=(2x2-5x+2)e*. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间与极值. 【答案】(1)3x+y-2=0 回弹调送特区间为（®-）和合+ 3 单调递减区间为1 9 2/ 极大值为。，极小值为-© e 【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案： (2)由函数的导数判断正负，即可判断函数的单调性，继而判断出函数极值点，求得极值 【详解】(1)由f(x)=(2x2-5x+2)e,可知f"(x)=(2x2-x-3)e, 所以f'(0)=-3e°=-3，又f(0)=2, 所以f(x)在点(0，∫(0)处的切线方程为y-2=-3(x-0),即3x+y-2=0: (2)f'(x)=(2x2-x-3)e=(x+1)(2x-3)e,f(x)的定义域为R, 由)-0，得x子或x-1 当x<-1或>时，了)>0，f(倒在（以，，）上均单调造增 当-1<x<时，了()k0,寸9在-1)上单调递减： 所以函数)的单调递瑞区间为（网-）和)小单调递减区同为（引】 故函数f(x)在=-1处取得极大值，极大值为f(-)=。: 在x=名处取得极小值，极小值为-©三， 2 16.三角形ABC的内角4，，C的对边分别记为a,b,c,若a=万，cosC:- ,从下面条件①②③中任选一个 14 作为已知条件，完成以下问题： ①c=3;②sinB=Y,®ac0sB=c+bc0s2A. 14 (1)求三角形ABC的面积： (2)若∠A的角平分线与边BC交于点D,延长AD至点E使得DE=2AD,求BE. 【答案】1)35 4 ②BB=3V5 4 【分析】(1)若选①c=3,由余弦定理求出b,利用平方关系求出sinC,再由三角函数的面积公式可得答案：若选②利 用平方关系求出cosB、cosA,由正弦定理可得b,再由三角函数的面积公式可得答案；若选③，由正弦定理、 acosB=c+bcos2A求出A,利用平方关系求出siC,由正弦定理可得b,再由三角函数的面积公式可得答案： (2)由角平分线的性质求出BD、DC,由余弦定理知AD,再由正弦定理、余弦定理可得答案. 【详解】(1)若选①c=3,则cosC=-2-y7 2√7b14 -8+b-2=0→b=1, 0c<,又cosC=-5siC=32 1 3 14 14 -→S△4nc=2 absinC= 4 若选@snB=Y万，0B<元，则coB-5V 14 。14,sinc=32 14 cosA=-cosBcosC+sinBsinC= 55万2x3瓦-A=g 十 141414142 3 由正弦定理可得： m46-25@ a b =3x14 →se,imc3 4 若选③acosB=c+bcos2A,由0<B<T得sinB≠0，且0<A<π， 则acosB=c+bcos2A→sinAcosB=sinC+sinBcos22A →cos4sinB+sinBcos2A=0→2cos2A+co34-1=0→co34=1→A=- 3· 0CzoC→shC风m6=m2Te5、 14 (3 cosc+sinc= 14 由定可将品，品6-180号 4 (2)由角平分线的性质知：BD=4B_3 DC AC 1 T'..BD= 4 Dc- 4 在△ABD中，0KB<元，：inB=Y2, 以，.cosB=Y，由余弦定理知编 14 AD=A0:+BD-24B-BDco8=94632335552,枚AD=3V5 16 41416 4 AC DC 在△ACD中，由正弦定理知： sin∠IDC sin∠DAc √7 m∠ADCP→sin ADC=-3 1 即 V方：故cos<ADc=5 2 在aBDB中，DB=2AD-3，cos∠BDB=cos∠ADC=6 由余弦定理知：BB=DB+BD-2DB-BD.os∠BDB22-23Y539店g.故B-35 416424716 4 17.(15分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC (1)求1a+2bi与cos(a,b)的值： (2)己知向量ka+b与b互相垂直，求k的值. 【10a+训-35.m-西 (2)5 【分析】(1)由向量夹角公式即可求解： (2)由向量垂直的坐标表示即可求解。 【详解】(1)因为A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,4), 所以a=AB=（←1，-1,0)，b=AC=(L,0,-2), 所以a+2b=1,-1,-4),a+2b=VP+(-12+(←42-8=32， 6对日西 (2)ka+i=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k-k-2, 因为向量ka+b与b互相垂直， 所以(ka+b)b=(1-k)x1+（k)x0+（2x(2F0, 解得k=5.所以k的值是5 9 18.(17分)已知函数f(x)=x+4d+x (a>0). 4a+1 ()当a=时，求不等式f四s8的解集： (2)若f(x)的最小值为m,求(m+1)+16a2+&a+1的最小值. 79 【答案】(1)22 (2182+18 【分析】(1)分情况讨论化成代数不等式求解： (2)用4+b≥a±b进行转化，求f(x)的最小值m,再结合基本不等式求(m+1)+16a2+8a+1的最小值. 【详解】(1)当a=二时，不等式f(x)≤8可化为x+2+x-3≤8， 2 [x≤-2 -2<r<3 x≥3 1-2x≤8'或 58，或2x-1s8 解得-sx≤-2或-2<x<3或3sx≤9 9 求并集得： 2≤x≤2 「797 所以原不等式的解集为 22 (2)因为f)=+4a+下 4a+1 当且仅当(c+4@x-4a+1 9 9 ≤0时，即-4a≤x≤ 时取到最小值， 4a+1 又因为a>0,所以f(x)n=4a 4a+1'所以m=4a+ 9 9 4a+1 所以(m+1)2+16ad2+8a+1=4a+ 1a8a124广+a 9 4a+1 +8, 2 因为2(4a+1)2+ 9 9 +18=18√2+18， 4a+1 +18≥2,2(4a+1)2 （4a+1 当且仅当2(4a+1)2= 时即a= (m+1)+16a2+8a+1的最小值为18√2+18 19.(17分)已知函数f(x)=m(1-x)-x-1. (1)当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若∫(x)的极小值小于一1，求m的取值范围： (3)当m>1时，证明：g(x)=f(x)+xe-m有2个零点. 【答案】(1)3x+y-2=0 (2)m∈(-0，-1)U(-1,0) (3)证明见解析 【分析】(1)利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程： (2)函数求导后，根据参数m的取值分类讨论，得到m<0时，极小值f()=m+1n(-m)<-1,构造函数 u(m=1+m+血h(←m)(m<0),求导推得u(0）mx=u(-1)=0,即可求得不等式u(m）<0的解集： （3由g问=0得e_+1m=0,令)=e-+1-m,x∈(0，+），则v()=C+,令 r(x)=xe*+hx,x∈(0，+o),求导判断r(x)在区间(0，+o)上单调递增，结合零点存在定理，推得x。∈ 使得 r代)=0，求出付的最小值为)=e-,+1,由化)=0可得e= 元，名=-，：故得()的最小值 v(x)=1-m,由m>1即可判断函数v(x),即函数g(x)的零点个数 【详期101当=2时，f=1-2x-m,则/)=-2片 所以f1)=-1,f(1)=-3, 则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y+1=-3(x-1), 整理得：3x+y-2=0. (2)函数f（y=m1-)-x-1的定义域为(0+o）,且f(x)=-m-↓-m+1, x ①当m≥0时，易得f'(x)<0,f(x)在(0，+∞)上单调递减，则f(x)无极小值，不合题意； ②当m<0时，由f()>0,得x>-,即f()在+切】 上单调递增： 由f0,得0<时，即在0动 上单调递减， 所以了()的极小值为：心分=m+h(←网， 因为f(x)的极小值小于-1，所以+h(-m)<-1,即1++(-m)<0. 令m=1+m+h(-mm<0),则u(m)）=1+上-m+, 所以当m∈(-o,-1)时，t(m>0,当m∈(-1,0)时，(m)<0, 则u(m)在(-∞，-1)上单调递增，在（-1,0)上单调递减， 因为u(-1)=0,所以由u(m)<0可得∈(-o,-1)U(-1,0). (3)g(x)=f()+xe-m=xe-lhr-x-1,x∈(0，+o). 令g()=0,得e-血c+1-m=0, 令x)=e-r+1mx∈(0，+四)，则g(田与(3有相同的零点， 且'()=e-1-(x+xe+mx x2 x2 令r)=e+lrxe(0+o),则r()-(+2)e+是 因为x>0,则r'(x)>0,所以r(x)在区间(0，+o)上单调递增， 又r日e100=0,所以xe 使得r(x)=0, 所以当xe(0,x)时，r(x)<0,即v'(x)<0;当x∈（化，+o)时，r(x)>0,即v'(x)>0, 所以v(x)在(0，)单调递减，在(，+o)单调递增， 所以()的最小值为（化，）=e_血氏+1m. Xo 由r代)=0，得gc+hr,-0台ke=-n,=n是 x。 即e=n是e, Xo 令p(x)=xe,x(0,+o),则p'(x)=(x+1)e>0,则p(x)在(0，+o)单调递增. 因为。x<1,所以n>0,则p()=n】 e 所以=号，从而e -,Xo=-IXo, 所以四的最小值长，)e_,+1m=】m=1-m. XoXoXo 当x趋近于0时，v(x)趋近于+o,当x趋近于+o时，v(x)趋近于+0， 又因m>1,所以v(yn=1-m<0, 所以v(x)有2个零点，故g()有2个零点. 临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：集合与常用逻辑用语+复数+一元二次函数、导数、方程和不等式+函数及其性质+幂函数、指数函数和对数函数+三角函数、解三角形+平面向量 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解集合和集合，再找出它们的公共部分. 【详解】由可得且. 解得；解得. 所以集合.    先对因式分解，得到. 解得. 所以集合.    集合，集合. 那么.故选：C. 2．复数（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的除法运算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．在菱形中，分别是边的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将用表示，利用平面向量的数量积求出，计算即可得解. 【详解】由题意，得， 在菱形中，， 所以， 所以． 故选:D. 4．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用两角和差公式及辅助角公式得出，再应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以，则. 故选：C 5．已知函数，且，若函数在区间上的最大值为2，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由题设知:，因为 ，所以，所以 因为且函数在上为减函数，所以，。所以，=2，所以， 解得： 故选A. 6．已知是三角形ABC的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值. 【详解】如图： 取中点，则，，， ∵三点共线，∴，即，∴， 当且仅当时，取等号；故选：B 7．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系. 【详解】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，当，，故在上单调递减， 且易知为奇函数，故在上单调递减，由，所以. 故选：B. 8．在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形面积公式求出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】根据三角形面积公式可得： ，则有，化简得 ，即.所以， 当且仅当即时等号成立，此时取最小值为.故选：C.    二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．是的充分不必要条件 C．的单调递减区间为 D．函数（且）的图象恒过定点 【答案】AB 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，判断选项A；利用充分、必要条件的性质和定义判断选项B；利用反比例函数的单调性判断选项C；利用指数函数的性质判断选项D． 【详解】选项A：存在量词命题“”的否定为全称量词命题“”， 命题“，”的否定是“，”，故A正确； 选项B：若则一定满足，即能推出，满足充分性； 若不一定满足，如，即不能推出，不满足必要性， 是的充分不必要条件，故B正确；选项C：在定义域和上分别单调递减， 但不能合并为1个区间，如，不满足在上单调递减， 的单调递减区间为和，故C错误； 选项D：令，即，则， 函数恒过定点，不是，故D错误． 故选：AB． 10．已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若是第三象限角，且，则 D．若角的终边过点，则 【答案】ABD 【分析】由已知结合诱导公式对已知函数进行化简，然后结合同角基本关系，诱导公式检验各选项即可判断. 【详解】，A正确； 若，则，即，B正确； 若是第三象限角，且，则，所以， 所以，C错误； 若角的终边过点，则，，D正确.故选： 11．已知为坐标原点，，，，则（   ） A．方向的单位向量为 B．若，则点的坐标为 C． D．在上的投影的数量为 【答案】BC 【分析】利用向量的坐标表示，结合数量积的公式，即可求解，判断选项. 【详解】对于A.,，所以方向的单位向量为，故A错误； 对于B.设，由，则， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C.，，，所以，故C正确； 对于D.向量在方向上的投影数量，故D错误.故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数 ，__________． 【答案】1 【详解】 . 13．函数在上的最小值是 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换思想化简得出，由计算得出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得函数的最小值. 【详解】， 当时，，所以当时，函数取得最小值，即. 故答案为：. 14．平行四边形中，，点满足.则 . 【答案】3 【分析】结合平面向量的加减法运算法则以及平面向量的数量积的运算律化简整理即可求出结果. 【详解】由题意可知： , 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间与极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）由函数的导数判断正负，即可判断函数的单调性，继而判断出函数极值点，求得极值. 【详解】（1）由，可知， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2），的定义域为， 由，得，或， 当或时，，在上均单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，极大值为； 在处取得极小值，极小值为. 16．三角形ABC的内角，，的对边分别记为，，，若，，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题： ①；②；③． (1)求三角形ABC的面积； (2)若的角平分线与边交于点，延长至点使得，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，由余弦定理求出，利用平方关系求出，再由三角函数的面积公式可得答案；若选②利用平方关系求出、，由正弦定理可得，再由三角函数的面积公式可得答案；若选③，由正弦定理、求出，利用平方关系求出，由正弦定理可得，再由三角函数的面积公式可得答案； （2）由角平分线的性质求出、．由余弦定理知，再由正弦定理、余弦定理可得答案． 【详解】（1）若选①，则， ，又． 若选②，，则，， ， 由正弦定理可得：． 若选③，由得，且， 则 ， 由得，则， 由正弦定理可得：； （2）由角平分线的性质知：，∴，， 在中，，∵，∴，由余弦定理知： ，故， 在中，由正弦定理知：， 即，故． 在中，，， 由余弦定理知：，故． 17．（15分）已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，， . （2）， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 18．（17分）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的最小值为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分情况讨论化成代数不等式求解； （2）用进行转化，求的最小值，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】（1）当时，不等式可化为， ∴，或，或， 解得或 或 求并集得：， 所以原不等式的解集为. （2）因为， 当且仅当时，即时取到最小值， 又因为，所以，所以， 所以， 因为， 当且仅当时，即时， 的最小值为 19．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于－1，求的取值范围； (3)当时，证明：有2个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $临潭二中2025-2026学年第一学期 2026届高三数学学业学情调研卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：集合与常用逻辑用语+复数+一元二次函数、导数、方程和不等式+函数及其性质+幂函数、指数函数 和对数函数+三角函数、解三角形+平面向量 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={xlog2(x+1)<2},B={x2x2-5x-3≤0}，则A∩B=() <x≤3 B.{x-1<x≤3} <3 D.{x≤3} 2.复数z=1+2 =() 2+i A.i B.-i C.1 D动 3.在菱形ABCD中，AB-h∠ABC-胥瓜卫分别是边C,cD的中点，则正-( 13 3 3 A. C. D 8 B. D.8 4.已知cosa+ 6J-sta-3 ,则sin2a+》 的值为() 6 B 7 B.19 19 7 A.-25 5 C. 25 D,25 5.已知函数f(x)=Ilog2x,0<m<n,且f(m=f(n),若函数f(x)在区间m,n上的最大值为2，则m2= A.月 B.√5 c D.2 6.已知G是三角形ABC的重心，过点G作一条直线与边AB,AC分别交于点E,F(点E,F与所在边的端点均不 重合)，设B=远，4C=,则上+上的最小值是() A.1 C.2 D.4 7.已知函数y=f(x-)的图像关于直线x=1对称，且当x∈(o,0)时，f()+yf'(x)<0成立，若a=2f(25) b.n3/03)c) 则() A.axb>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角B的内角平分线长为5，若B号，则a+2C 的最小值为() A.6 B.2+25 C.3+2√5 D.3+2√3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有() A.命题3x∈R,x2+3x+2≤0”的否定是“x∈R,x2+3x+2>0” B.a<3是a<4的充分不必要条件 C.f(x)=二的单调递减区间为（←n,0U(0,+0) 12 D.函数f(x)=d-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,2) 10.己知f(a)= 2sin(π-)+cos(3π+a) ,下列说法正确的是() 3cos(-ax)+sin(π+a） A.f(a)= 2sina-cosa B.若f(x)=3,则tana=2 3cosa-smna 3V5 C.若a是第三象限角，且cosa- ,则f(a)=2 25 D.若角a的终边过点P(-1),则fa)= 11.已知O为坐标原点，A(2,-1),B(1,2),C(-1,-2),则() A.A正方向的单位向量为 v10 3W10 10 10 B.若AP=2PB,则点P的坐标为 C.∠ACB= D.CA在CB上的投影的数量为√10 4 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f)=2>0 s0,0+f-)P 13. 函数)n行小m芳在®可上的受小值是 14.平行四边形ABCD中，AB.AD=5,点P满足PB.PD=8.则PA.PC=_ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=(2x2-5x+2)e. (1)求曲线y=∫(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间与极值. 16.(15分)三角形ABC的内角4,8，c的对边分别记为a,b,C,若a=万，cosC-Y5,从下面条件O2③中 14 任选一个作为己知条件，完成以下问题： ①c=3;②sinB=y2 ;③ac0sB=c+bcos2A. 14 (I)求三角形ABC的面积： (2)若∠A的角平分线与边BC交于点D,延长AD至点E使得DE=2AD,求BE. 17.(15分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,4),设a=AB,=AC (1)求1a+2b1与cos(a,b)的值： (2)已知向量ka+b与b互相垂直，求k的值. 1817分已知高数f=+1+ (a>0) ①)当a=时，求不等式f(x)s8的解集： (2)若f(x)的最小值为m,求(+1)+16d+8a+1的最小值 19.（17分)已知函数f(x)=m(1-x)-hx-1. (1)当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(x)的极小值小于一1，求m的取值范围； (3)当m>1时，证明：g(x)=f(x)+xe-m有2个零点.