精品解析：甘肃省兰州市第四片区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年兰州市第五十五中学九年级（上）月考数学试卷 一、单选题：（本题共11小题，共33分） 1. 如图，该几何体左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四个角相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 3. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 7. 若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形．若，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 9. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，，其中，的长为（ ） A. B. C. D. 2 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A. 8 B. 6 C. D. 二、填空题：（本题共4小题，共12分．） 12. 如果，那么_________． 13. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． AI 14. 如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是______． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为_____． 三、解答题．（共72分） 16. 解方程： （1）． （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，有三根垂直于地面的木杆甲、乙、丙，其中已作出木杆乙、丙在路灯下的影子，请确定路灯灯泡的位置，并作出木杆甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，已知菱形 ，， 分别是 的中点，连接 、． 求证：四边形 是矩形． 20. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的直径为4．请补全三视图并求出该几何体的体积． 21. 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点，连接和，当时，与长度之和为长度．为验证此规律的正确性，小睿的思路是通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与证明： （1）在上方作，射线交于点E．（尺规作图，保留作图痕迹） （2）求证：． 22. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 23. 2025年10月底，我国将执行神舟二十一号载人飞行任务，在此期间“80后”、“90后”、“00后”科研人员共同协作，为航天事业添砖加瓦，为了普及航天科学的相关知识，某校在全校范围内开展了“探索宇宙，放飞梦想”知识竞赛活动，张敏和李华两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学了解航天知识，学校打算邀请这两名同学分别从太空望远镜、宇航员、人造卫星、航天飞船（依次用表示）四个方面任选一个整理自己对其了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个方面的可能性均相同） （1）李华同学选择“宇航员”的概率为_________； （2）请用列表或画树状图的方法，求张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率． 24. 已知在梯形中，，； （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点D，且与x轴和y轴分别交于点B和点． （1）填空：__________，点D坐标_________； （2）直接写出不等式的解集为__________________； （3）连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 26. 如图，过矩形的对角线的中点作的垂线，分别交、于点、，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作的垂线交于点，求证：； （3）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年兰州市第五十五中学九年级（上）月考数学试卷 一、单选题：（本题共11小题，共33分） 1. 如图，该几何体左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体三种视图，掌握三视图的定义是解题的关键． 根据左视图是从几何体左边看到的图形即可解答． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选：A． 2. 正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四个角相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形和矩形的性质，即可求解． 【详解】解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，均相等，故A不符合题意； B、正方形的四条边相等，但矩形的对边相等，但邻边不一定相等，故B符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C不符合题意； D、正方形和矩形的对角线均相等，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 3. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 4. 一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求得反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据反比例函数定义，设解析式为，代入点 求出，得到函数解析式．然后验证各选项点是否满足解析式． 【详解】解：设解析式为， ∵ 反比例函数图象过点， 代入得：， ∴ 函数解析式为， A、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； B、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； C、当 时， ，满足，故本选项符合题意； D、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意． 故选：C 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ，， ， ， 与的面积比为：， 故选：C 6. 在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率．根据频率估计概率，摸到红球的概率约为，利用概率公式可得袋子里红球、白球的总数，即可求解． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∴袋子里红球、白球的总数为， ∴袋子里红球的个数估计是． 故选：A． 7. 若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， 故选：A． 8. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形．若，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据翻折的性质可得∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，再根据菱形的对角线平分一组对角可得∠OAF＝∠OAE，然后求出∠OAE＝30°，再利用勾股定理求出OE，可得AE，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD＝， 在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE， ∴∠OAE＝×90°＝30°， ∴AE＝2OE， ∴在Rt△AOE中，由勾股定理得：， ∴， ∴OE＝1或OE＝－1（舍去）， ∴AE＝2OE＝2， ∴菱形AECF的面积＝AE·AD＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握翻折变换的性质并求出∠OAE＝30°是解题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据a，b的取值分类讨论即可． 【详解】解：若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意； 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意； 若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意； 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键． 10. 如图，，，其中，的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 故选：A． 11. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连接，作于点H，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，由，求得，再证明四边形是矩形，则，因为，所以，则的最小值为4.8． 【详解】解：连接，作于点H， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题：（本题共4小题，共12分．） 12. 如果，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，可设，（其中），再代入所求表达式计算． 【详解】解：， ∴可设，（其中）， ∴ 故答案为 ． 13. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． AI 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，设，则，由黄金分割的定义可得，解方程即可． 【详解】解：设，则， 为的黄金分割点（）， ， ， ， 解得，（不舍题意舍去）， 的长度为． 故答案为：． 14. 如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用面积法求解，先求出△BEC面积，再连接BP，分别用PR和PQ表示出△BPE和△BPC面积，两三角形的面积和就是△BEC面积，通过等式直接求出PR+PQ值． 【详解】过E点作EH⊥BC于H点，根据正方形的性质可知△BEH是等腰直角三角形， BE=BC=2，∴EH=2， ∴△BEC的面积为×BC×EH=， 连接BP，则△BPE面积+△BPC面积=2， 即×BE×PR+×BC×PQ=2， ∴×（PR+PQ）=2， 解得PR+PQ=2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，体现了转化思想（一个三角形面积转化为两个三角形面积的和）、整体思想（求PR+PQ整体值）的运用． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出，求出，过点E作于H，则四边形是矩形，根据勾股定理求出． 【详解】解：设，则， ∵沿翻折后点C与点A重合， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 由翻折的性质得，， ∵矩形的对边， ∴， ∴， ∴， 过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ， ∴， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质． 三、解答题．（共72分） 16. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）先移项，再用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得：． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把除号前面的小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着计算多项式乘以多项式和合并同类项化简，求出x的值，并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 18. 如图，有三根垂直于地面的木杆甲、乙、丙，其中已作出木杆乙、丙在路灯下的影子，请确定路灯灯泡的位置，并作出木杆甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 由题意作图如下： 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，熟练掌握点光源、物体边缘的点以及它的影子上的对应点在同一条直线上是解题关键．根据点光源、物体边缘的点以及它的影子上的对应点在同一条直线上作图即可得． 【详解】略 19. 如图，已知菱形 ，， 分别是 的中点，连接 、． 求证：四边形 是矩形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， 又∵AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）， ∴∠AEC=90°， ∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴AF=AD，EC=BC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD//BC且AD=BC， ∴AF//EC且AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 又∵∠AEC=90°， ∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【解析】 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口． 20. 某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的直径为4．请补全三视图并求出该几何体的体积． 【答案】 补全三视图如图： ＝ 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据三视图还原几何体为长方体中间扣掉半个圆柱体，补全左视图和俯视图，再利用长方体的体积减去半个圆柱体的体积，求出几何体的体积即可． 【详解】解：由图可知： 21. 在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边中，点D是边上任意一点，点E是边上任意一点，连接和，当时，与长度之和为长度．为验证此规律的正确性，小睿的思路是通过证全等得出结论．请根据小睿的思路完成以下作图与证明： （1）在上方作，射线交于点E．（尺规作图，保留作图痕迹） （2）求证：． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）由等边三角形的性质可得，，利用证明，得到，再由线段的和差关系可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）4元或6元；（2）九折 【解析】 【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元 根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240， 化简，得 x2﹣10x+24=0， 解得x1=4，x2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元. （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客， ∴每千克核桃应降价6元 此时，售价为：60﹣6=54（元）， 答：该店应按原售价的九折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 23. 2025年10月底，我国将执行神舟二十一号载人飞行任务，在此期间“80后”、“90后”、“00后”科研人员共同协作，为航天事业添砖加瓦，为了普及航天科学的相关知识，某校在全校范围内开展了“探索宇宙，放飞梦想”知识竞赛活动，张敏和李华两名同学在本次知识竞赛活动中拿到了满分．为了激励更多的同学了解航天知识，学校打算邀请这两名同学分别从太空望远镜、宇航员、人造卫星、航天飞船（依次用表示）四个方面任选一个整理自己对其了解的资料，并在活动闭幕式上向全校师生普及．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个方面的可能性均相同） （1）李华同学选择“宇航员”的概率为_________； （2）请用列表或画树状图的方法，求张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率． 【答案】（1） （2）张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中李华同学选择“宇航员”的结果有种，结合概率公式，即可得李华同学选择“宇航员”的概率； （2）列表可得出所有等可能的结果，以及张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的结果，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中李华同学选择“宇航员”的结果有种， ∴李华同学选择“宇航员”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能得结果，其中张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的结果有：、、、、、、，共种， ∴张敏和李华两名同学至少有一名选中“人造卫星”的概率为． 24. 已知在梯形中，，； （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点D，且与x轴和y轴分别交于点B和点． （1）填空：__________，点D坐标_________； （2）直接写出不等式的解集为__________________； （3）连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，根据可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴反比例函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 联立得：，解得：或， ∴点D的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察图象得：当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：对于，当时，， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 26. 如图，过矩形的对角线的中点作的垂线，分别交、于点、，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作的垂线交于点，求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵过对角线的中点作的垂线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，．再结合矩形的性质证明可得，即四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论； （2）先证明可得，即，再结合即可证明结论； （3）由矩形的性质和勾股定理可得，即；设，则．然后运用勾股定理列方程求得，最后代入即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， 设，则． 在中，， ∴， 解得：，即， 由（2）得． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $