精品解析：新疆阿克苏地区柯坪县柯坪湖州国庆中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期期末考试试卷 高一数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意：1.答题前在试卷和答题卡上填写好自己的姓名、班级、考场、座位号等信息. 2.请按照要求将正确答案填写在答题卡内. 3.试卷整洁，字迹清晰. 第 I 卷（选择题) 一、单选题（每小题5分，共40分） 1 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用并集的定义运算. 【详解】集合， ，则集合. 故选：D 2. 一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（ ） A. 225 B. 295 C. 235 D. 305 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件求出数据在内的频数，去掉内的频数即得. 【详解】因为数据在内的频率为0.75，所以数据在内的频数为， 故样本中数据在内的个数为． 故选：C. 3. 已知函数，则不等式解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为， 当时，，当时， 当时，， 故满足，所以为奇函数， 又当时，的对称轴为， 即在上是增函数，， 所以在上是增函数， 令，求得或（舍）， 所以不等式，可得， 解得， 故选：C. 4. 已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以. 故选：D 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出， ，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，，所以， ， 所以在上的投影向量为. 故选：B 7. 已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式得到，根据余弦函数的周期得到，再求出其对称中心的通式，最后对每个选项验证即可. 【详解】由题意得，由题可知，所以. 令，得， 所以的图象的对称中心为，所以点符合. 故选：D. 8. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】按分段讨论，结合函数单调性、零点存在性定理及数形结合求解即得. 【详解】函数的定义域为， 当时，，显然函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，而， 则函数在上有唯一零点； 当时，，显然， 因此函数在区间上至少各有一个零点， 当时，由，得， 则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解， 所以函数的零点个数为3. 故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分） 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第四象限 B. 的虚部为 C. D. 的共轭复数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义判断A；求出复数的虚部判断B；求出复数的平方判断C；求出共轭复数判断D作答. 【详解】对于A，复数在复平面内对应的点在第四象限，A正确； 对于B，的虚部为，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，的共轭复数，D正确. 故选：AD 10. 以下说法正确的有（ ） A. 实数 是成立的充要条件 B 不等式对恒成立 C. 命题“”的否定是“” D. 若，则的最小值是4 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A,D，结合特殊值法，即可求解，对于B，结合作差法，即可求解，对于C，结合命题否定的定义，即可求解． 【详解】对于A，当时，显然成立，故A错误， 对于B，＝，当且仅当时，等号成立， 故不等式对a，b∈R恒成立，故B正确， 对于C，“”的否定是“”，故C正确， 对于D，令，满足，但，故D错误． 故选：BC． 11. 四棱台中，底面，是直线上的两个动点，两个底面是正方形，，，，，则下列叙述正确的是（ ） A. 侧棱的长是 B. 侧面是直角梯形 C. 该棱台的全面积是 D. 三棱锥的体积是定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用四棱台的结构特征，结合线面垂直的判定、性质逐项推理计算得解. 【详解】四棱台中，平面，平面，则， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，而，平面， 于是平面，又平面，因此，又， 从而侧面是直角梯形，B正确； 对于C，由选项B，同理得四边形是直角梯形，， 棱台的全面积 ，C错误； 对于D，由选项B知，为定值，由，平面， 平面，则平面，于是点与点到平面的距离相等， 在四棱台中，点到平面的距离是定值，因此三棱锥的体积是定值，D正确. 故选：ABD 第 II 卷（非选择题) 三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知扇形的圆心角为，半径为2厘米，则扇形面积是______平方厘米 【答案】## 【解析】 【分析】由扇形的面积公式计算即可. 【详解】由题意可得， 所以扇形面积是平方厘米. 故答案为：. 13. 已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量运算法则计算出与的数量积，接着求出两个向量的模长，从而求解出夹角的余弦值，求出夹角. 【详解】因为单位向量与的夹角为， 所以， 所以， ，故， ，故， 所以， 又， 所以向量与的夹角为. 故答案为： 14. 已知，，且，则的最小值是______；当取得最小值时，的最小值是______． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、二次函数分别求出最小值即得. 【详解】由，，得，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8； 当时，，，当且仅当时取等号， 所以时，取得最小值. 故答案为：8； 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求证：是定值． 【答案】（1）1，1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据函数解析式代入即可求解. （2）根据解析式，代入整理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2），是定值． 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）令，求出定义域； （2）代入，结合诱导公式求值即可. 【小问1详解】 令 ， 解得：， 所以函数的定义域是； 【小问2详解】 由题知， 所以. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小： （2）求的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）将题干条件变形为，结合余弦定理可求出角B的余弦值，进而求出角B的值；（2）由（1）可知，所以，用代替角C，化简，结合角A的范围即可求出最大值. 【详解】解：（1），，即，又，. （2）由（1）可知，所以，则= ，则， 所以当时，即时，有最大值为1. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查两角和公式的应用，考查学生的计算能力和转化能力，属于基础题. 18. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 设正方体的棱长为，则，解得， 所以，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得， 即点到平面的距离为. 19. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数； （2）从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数. 【答案】（1）分数内的频率为，不及格考生的人数为：（人） （2）众数75分，中位数为分 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，可求分数在内的频率；用“样本容量频率”可得不及格考生的人数； （2）用频率最大区间的中间数据估计众数，根据中位数的概念求中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图得：， 解得，所以分数内的频率为. 本次竞赛中不及格考生的人数为：（人）. 【小问2详解】 由题意得：因为成绩在的频率最大，又，所以众数为75分； 设中位数为，则，解得，所以中位数为分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期期末考试试卷 高一数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意：1.答题前在试卷和答题卡上填写好自己的姓名、班级、考场、座位号等信息. 2.请按照要求将正确答案填写在答题卡内. 3.试卷整洁，字迹清晰. 第 I 卷（选择题) 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A B. C. D. 2. 一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（ ） A. 225 B. 295 C. 235 D. 305 3. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知或，，且是充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错得0分） 9. 若复数，则下列说法正确是（ ） A. 在复平面内对应的点在第四象限 B. 的虚部为 C. D. 的共轭复数 10. 以下说法正确的有（ ） A. 实数 是成立的充要条件 B. 不等式对恒成立 C. 命题“”的否定是“” D. 若，则的最小值是4 11. 四棱台中，底面，是直线上的两个动点，两个底面是正方形，，，，，则下列叙述正确的是（ ） A. 侧棱的长是 B. 侧面是直角梯形 C. 该棱台的全面积是 D. 三棱锥的体积是定值 第 II 卷（非选择题) 三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知扇形的圆心角为，半径为2厘米，则扇形面积是______平方厘米 13. 已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为______． 14. 已知，，且，则的最小值是______；当取得最小值时，的最小值是______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求证：是定值． 16. 已知函数. （1）求函数定义域； （2）求的值. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小： （2）求的最大值． 18. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离. 19. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数； （2）从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$