精品解析：甘肃省兰州第一中学2026届高三上学期12月月考数学试题

兰州一中2025-2026-1学期12月月考试题 高三数学 命题：杨柳 审题：姚建鹏 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ） A B. C. D. 5. 已知点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（ ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则是钝角三角形 C. 若锐角三角形，则 D. 若，则为等腰三角形 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B. 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 11. 已知函数的定义域为，满足，函数为奇函数，且对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________． 13. 在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为_______． 14. 已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 16. 已知数列满足． （1）求证：是等比数列； （2）设求数列前项和； 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，在线段上，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 19. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2025-2026-1学期12月月考试题 高三数学 命题：杨柳 审题：姚建鹏 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求. 【详解】由题意得， 所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 2. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 3. 若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 4. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合思想来作图分析零点大小. 【详解】由函数零点可知：，， 利用数形结合，构造三个函数它们与的交点横坐标就是对应的三个零点. 由图可知：， 故选：D. 5. 已知点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标法设，由可得，根据几何意义列式求解即可. 【详解】设，则，， 因为，所以，即， 所以点在以为圆心，2为半径的圆上，又点在直线上， 所以直线与圆有公共点，则， 解得． 故选：B． 6. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为． 故选：B 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即 故选：D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（ ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的图象确定函数的解析式，在逐项判断即可. 【详解】由函数的图象可知：，. 因为，又，所以. 因为， 所以，.所以，. 由图象可知：，即. 所以当时，. 所以. 对①：因为，所以的图象不关于对称，①错误； 对②：因为，所以的图象关于直线对称，②正确； 对③：当时，，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，③正确； 对④：当时，，所以，所以，④正确. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则是钝角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为等腰三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦、余弦定理逐项判断即可. 【详解】对A：由，所以有两解，故A正确； 对B：由余弦定理：， 所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对C：因为三角形为锐角三角形， 所以，即，故C正确； 对D：因为，由正弦定理得：， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故D错误. 故选：ABC 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B. 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C． 【详解】解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误， 对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错， 对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确， 若，设，，可得为的重心， 设，，， 则，，，由， 可得，故D正确； 故选：AB. 11. 已知函数的定义域为，满足，函数为奇函数，且对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定，可判定A正确；推得，得到的周期为8，可判定B正确；根据函数单调性，结合对数的运算法则，可判定C错误；令，求得，得到函数的单调性，得到，再由，求得，得到在上递增，进而判定D正确. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以关于点中心对称， 则，所以， 又因为，令，则， 则，所以，则是偶函数，所以A正确； 对于B，由，，可得， 则的周期为8，所以，所以B正确； 对于C，由在上单调递增，可得，所以C错误； 对于D，令，则， 所以在上单调递增，所以，即，所以， 令，，则， 所以在上递增，所以，即，即， 所以，在上单调递增，所以D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据图像平移可得平移后的解析式为，即可根据奇偶性求解. 【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故, ，最小正值为． 故答案为： 13. 在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理进行转化求出，由题设两边同时平方计算，再由基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【详解】因，由正弦定理可得， 即，所以，又， 所以，，设边上的中线为， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可. 【详解】易知，由可得， 即，则有， 设，易知在上单调递增， 故，所以，即， 设，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，则有，解之得． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 16. 已知数列满足． （1）求证：是等比数列； （2）设求数列的前项和； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合等比数列定义，即可得证； （2）由（1）得，求得，分为偶数和为奇数，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：由数列满足 可得，即， 又由，可得，所以数列是以为首项公比的等比数列. 【小问2详解】 解：由（1）得，即，可得， 当为偶数时， ； 当为奇数时，， 综上可得，数列的前项和为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，在线段上，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证法1：几何法，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，利用垂直关系转化为证明平面，即可证明； 证法2：向量法，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，证明法向量垂直，即可证明面面垂直； （2）证法1，几何法，利用平行关系，以及等体积转化求点到平面的距离，即可求得线面角； 证法2：向量法，利用线面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 证法1：因为底面，底面，所以， 又为正方形，所以， 且，平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，为线段的中点，所以， 且，平面，平面，所以平面， 而平面，所以平面平面. 证法2：以点为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得，，，，，，则 ，，，. 设平面的法向量为， 由，得，，所以 令，得，，所以. 设平面的法向量为， 由，得，，所以， 令，得，，所以， 因为，所以，所以平面平面. 【小问2详解】 方法1：因为底面为正方形，所以， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，设所求角为， 因为平面，平面， 所以， 故，，，,所以， 所以，又，点到平面的距离为2， 设点到平面的距离为，由，得，得， 又，所以. 方法2：因为，平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，则. 18. 已知椭圆：的焦距为2，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值； （3）将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意列式求，进而可得椭圆的方程. （2）分两种情况：直线或其中一条斜率不存在时及直线，斜率存在且均不为0时，直线的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，由韦达定理计算，即可证明； （3）解法一：设点及直线代入计算得出轨迹方程，即可得出弦长最值；解法二：设点代入得出，再应用两点间距离公式结合基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意得解得 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线或其中一条斜率不存在时，. 当直线，斜率存在且均不为0时，设直线：，， 由得， 所以. 同理可得，所以. 综上，. 【小问3详解】 解法一： 设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为， 则代入中得：. 设的中点为，因为，所以 所以，即. 所以. 解法二： 设曲线上任意一点坐标，对应椭圆上点坐标为， 则代入中得：. 设原点到直线，的距离分别为，，则. . 所以，当且仅当时取得等号. 即的最大值为. 19. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 证明：，由，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $