吉林省长春市实验中学2025-2026学年高三上学期第三学程考试（12月）数学试卷

团结 勤奋 求实 创新 长春市实验中学 2025-2026学年上学期第三学程考试 高三数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，和平面，且，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．已知数列中，，，则=（   ） A．1 B． C． D． 4．双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（   ） A． B．3 C． D． 5．已知非零向量满足 ，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的高为，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，错选得0分，共18分） 9．已知复数满足，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面内所对应的点在第二象限 10．随机变量，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 3、 填空题（每题5分，共15分） 12．经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 . 13．记为数列的前项和，满足，且，则 ． 14．若不等式对恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分共77分） 15．已知函数的最大值为1． (1)求使成立的的集合； (2)记△ABC的内角的对边分别为，已知，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 16．某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高三年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高三年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲、乙两校高三年级学生该题选择正确的概率p1、p2； (2)从甲、乙两校高三年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题选择正确的人数，求的分布列及数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案.已知乙校全体高三年级学生该题选择正确的概率为85%.求乙校高三年级学生掌握该知识点的概率估计值. 17．平面直角坐标系中，已知椭圆左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于，两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后，两点在新图象中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示. (1)求折叠前的标准方程； (2)若，求； (3)当时，折叠后，求平面与平面所成角的余弦值. 18．在数列中，. (1)求证：是等比数列； (2)若等比数列满足. （i）求的值； （ii）记数列的前项和为.若，求的值. 19．已知函数，. (1)当时，若，讨论的单调性； (2)设，若存在两个不同的零点，x1，，且. （i）求的取值范围； （ii）证明： . 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $长春市实验中学 2025-2026学年上学期第三学程考试 高三数学参考答案 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A A D c B C 、 多选题 9 10 11 AB ABD BCD 三、填空题 12 13 14 2五 38 [2ln2-2,+o) 四、解答题 1s.0s昏rae2:②s+7 【件解】G1）f到=V5sin2r+2cosx+m=V6n2x+ecos2x+m+1=2sn2x+名+m+1, 最大值为2+m+1=1,所以m=-2,即f(x)=2sin2x+-1, 6 1 则f(x)=2si 2+}-10,sm28 即+2km≤2x+s5弧+2km,k∈Z,即km≤x≤+kmk∈Z, 66 所以f(x)≥0的解集为： 2》医为利=0a=5.即2m2a+君分1=0，即m24+周引号 66,得A= 因为A为三角形内角，所以2A+工=5π， Bc的面积为)2即bcsin A=,得bc三 2 又a2=b2+c2-2 becos A=(b+c-2bc-2 becos A,则(b+c2=25即b+c=5, 所以周长为5+√万. 1 16.(0景：2分布列路，E-15,6号 【详解】1)估计甲校高三年级学生该题选择正确的概率P,=器=青P2=品=寻： (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8,P(A=0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75,P(A=0.25, 依题可知，X可取0,1,2，P(X=0)=PAB)=0.05, P(X=1=0.8×0.25+0.75×0.2=0.35,PX=2=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列如下表： X 0 1 2 0.05 0.35 0.6 故EX=1×0.35+2×0.6=1.55; (3)设“乙校掌握这个知识点的学生做该题”的概率为p,则p+寻×(1一p)=0.85,故 p=青 =1:(②3v205 205 c=1 a 2 a=2 【详解】(1)由题意得： 4a=8 解得b=V5故折叠前椭圆C的标准方程女+ 43 =1 a2=b2+c2 c=1 2)直线坚过P貉率为，测线方程为y二x+)’与精酸+片联 消y得：3x2+4×(x+1)2=12→4x2+2x-11=0, 设交点N,B)则x十名=-京=片 2 南长公式间得：1=号44写-发5乐 2=4 (3)当0=时，直线1的方程为：y=V5(x+, 3 x2 v2 联立{43 8_33 y=V3(x+1) 以原来的x轴为y轴，y轴正半轴所在直线为z轴，y轴负半轴所在的直线为x轴建立空间直角 坐标系，如图所示， 则：A(0,05),B 5ofa-1.ao A 故FB,= 0,F4=(0,-1,5, 设平面ABF,的一个法向量为m=(x,y,z), mEB=0 3V513 则 A=0 即50取y,则x 3’2=1, -y+√3z=0 故m= 16 +3+1=2 3 m.n √3 3W205 平面8FR,的-个法向量为i=0-Q,0,故0s瓜-同同205x5 205 3 所以平面B,FF,与平面A8,F所成锐二面角的余弦值为3V205 205 18.(1)证明见解析；(2)(i)=2;(ii)i=2 【详解】(1)因为a+1+a,=3x2”,所以an1-21=-(a,-2”）, 又41=1，所以a1-2=-1≠0， 所以{a,-2”}是以-1为首项，-1为公比的等比数列， 3 (2)(i)由(1)可得a。-2”=(-1)”,所以an=2”+(-1)”,所以a1=2·2”-(-1)”, 则bn=an1-元an=(2-元)2”-(1+元)(-1)”， 因为数列bn}为等比数列，所以b2=b·b,即(7-52)=（5-2)17-72)， 化简得12-1-2=0，解得2=2或元=-1，又2>0，所以2=2， 当2=2时，6=3-川，此时分=-1为定值，符合题意： (ii)由(i)可知n2b,=3n2(-1”, 当i为偶数时，S=3(2-2)）+32-4++(i-12-2] 0-明“ 当i为奇数时，S,=3(12-2）+32-4++i-2)2-(i-12+ =-3+7+1-+-3分334”. 2 2, 3+3是，为偶数 所以S,= 2 31+3是，为奇数 易知S·S2>0,所以S1>0,所以i为偶数， 2 因为S,·S42=15S1,所以 3i+3i2 3(i+2)+3(i+2)2 =15×3i+1)+3i+12 2 2 2 化简得2+3i-10=0,解得i=2或i=-5(舍去)，所以i=2. 19.(1)答案见解析；(2)(i) e+1 (ii)证明见解析 【详解】(1)由题h(x)的定义域为(0，+o), h()=2x-(2+a)++x-1=3r-3+a)x+a_3x-ax-l) 若a>0,令h()=0,得X=1，名=3 a 当0<a<3时，0<g<1, 3 4 当0<x<兮或r>1时，>0，当g<x<1时，N()<0, 3 所以h(x)在 0,)上单调递增，在 上单调递减； 当a>3时， >1, 3 当0<r<1或x>号时，)>0：当1<x<号时，<0， 所以（国到在0，，（侣+切上单调递塔，在号）上单调避波： 当a=3时，N-3x-1≥0，当且仅当=1时等号成立，所以（在(0，+切上单调递增 (2)(i)由题意知g)=e-1nr+x-2a, 所以g)=x=e_1+1=r-1e+r-D=x-e+, x2 x x2 x2 当0<x<1时，g(x)<0;当x>1时，g'(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则g(x)mm=g(1)=e+1-2a, 因为函数8()存在两个不同的零点，故e+1-2a<0,即a>e+ 2 所以Q的取值范围为 e+1 2,to (ii)下面找出两个点m,n(0<m<1<n),使得g(m)>0,g(n)>0, 注意到40-2a-1-2a- 1 1 2a-1 且0<1 2a-1 <1<2a,于是考虑找点2a,2a-' 2a-1 下面我们证明：g(2a)>0,g 1 >0, 2a-1 ①g2a>0台-h(2a)>0,设mW=g-nxc>2,下i证m>0, 2a 方法1：设p(刘=c-2 x2-x(x>2),则s(x)=p'(x=e-x-1,则s'(x)=e-1>0, 所以p'(x在(2，+o)上单调递增，得p'(x)>0'(2)=e2-3>0,所以p(x)在(2，+∞)上单调递增， 5 故0)>p(2=e2-4>0,即e>x+x0x>2), 2 因此m)=e-nx>≥x+1-nx, 设e)*1-n>,则国-景0， 所以u(x)在(2，+o)上单调递增，所以u(x)≥u(2)=2-ln2>0, 因此m的=g-nr>0,又2a>e+1>2,枚-n(2a>0,即g2a>0, 2a 又g1)<0,所以1<x2<2a 方法2：易知m=-1e-,设)=(K-1e-x,则v)=xe-1>0, x2 所以(x)在(2，+o)上单调递增，得v(x)>v(2)=e2-2>0, 所以m)在(2，+o）上单调递塔，故m()>m(2)=。-n2>0, 2 又2a>e+1>2,从而-n(2a)>0,即g2a>0, 2a 又g1<0,所以1<x2<2a. 2)(-) 1 -2a, 2a-12a-1 设(=nx-x+1,则tm=1-x 易知t(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o∞)上单调递减， 所以(x)≤I)=0,即lnx≤x-1, 2ae1,w02日 所以n、1 1-1,且e2a-1>0' 2a-12a-1 -e-a-=a-e小0 又80，所以d<<1.即-1-<2 6 于e加 7