专题08 数学广角——数与形（1大考点15道题）（期末真题汇编）六年级数学上学期（重庆专用）

专题08 数学广角——数与形 考点一、数与形（归纳递推） 1.核心思想：数形结合： （1）定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 （2）作用： ①以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 ②以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 2.观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) ： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 3.观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) ： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 真题练习 1．（22-23六年级上·重庆丰都·期末）算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于（    ）。 A．72 B．42＋42 C．42＋32 【答案】C 【分析】把算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1看作两部分：1＋3＋5＋7和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＝42，5＋3＋1＝32，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝42＋32 ＝16＋9 ＝25 算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于42＋32。 故答案为：C 【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 2．（22-23六年级上·重庆北碚·期末）小红设计了一个计算程序，当输入数据为7时，则输出的数据是（    ）。 输入 …… 1 2 3 4 5 …… 输出 …… …… A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察表格可知，输入的数字当作输出分数的分子，输入的数字经过平方后再加上1当作输出分数的分母，也就是输入n，输出：，把n＝7时，计算出结果即可，据此解答。 【详解】根据分析，当输入数据为7时，输出的数据为：＝； 故答案为：C 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够将分数的分子分母分开进行观察找出规律即可。 3．（20-21六年级上·重庆万州·期末）按如图的规律摆图形，如果小三角形的边长为1，每个图形包含小三角形的个数与这个图形的周长之间的关系是（    ）。 A．小三角形的个数每个图形的周长 B．小三角形的个数每个图形的周长 C．小三角形的个数（每个图形的周长 【答案】C 【分析】根据图示，1个三角形周长为3；4个三角形周长为：2×3＝6；9个三角形周长为：3×3＝9；16个三角形周长为4×4＝16；据此解答。 【详解】由分析可得：个三角形周长为，所以小三角形的个数（每个图形的周长。 故答案为：C 【点睛】本题考查图形的变化问题，注意培养学生的观察能力和总结能力。 4．（22-23六年级上·重庆忠县·期末）按规律填空。 1，，( )，，。 【答案】 【分析】观察数列可知，1＝，＝，＝，＝，则括号中的分数的分母应为3的3次方，分子为1。据此填空即可。 【详解】＝ 则1，，，， 【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 5．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）找规律填空。 ，，，，( )，( )。 【答案】 【分析】观察数列可知，各个分数的分子分别是按照奇数的大小进行排列的，即1、3、5、7、9、11；第一个分数的分母加上第二个分数的分母即可得到第三个分数的分母，第二个分数的分母加上第三个分数的分母即可得到第四个分数的分母，依次类推，据此计算即可。 【详解】由分析可知： 第五个分数的分子应是9，分母为6＋10＝16，则这个分数是； 第六个分数的分子应是11，分母为10＋16＝26，则这个分数是； ，，，，，。 【点睛】本题考查数字排列的规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 6．（20-21六年级上·重庆合川·期末）找规律填空：，( )，。（不化简） 【答案】 【分析】分别观察分数的分子与分母： ，，，，； 分子有依次乘：1、2、3、4、5、6…的规律，分母有依次加上：1、2、3、4、5…的规律；据此解答。 【详解】根据分析，，，，，，。（不化简） 【点睛】此题考查了数字规律探索，关键能够分开探究分子、分母各自存在的规律。 7．（20-21六年级上·重庆黔江·期末）找规律填空：，，，，( )，( )。 【答案】 【分析】观察可知，分子都是1，前两个分数的分母相乘的积是后一个分数的分母，据此分析。 【详解】6×18＝108、18×108＝1944 ，，，，，。 【点睛】寻找数字排列中的规律，平时要注重多积累，培养数感。 8．（22-23六年级上·重庆江津·期末）找规律，填数。 ，1，2，3，( )，( )，… 【答案】 4 5 【分析】先找出规律：带分数的整数部分依次增加1，分数部分分子按照1、2、3……依次往后排列，分母按照2、3、4……依次往后排列，且分数的分子都比分母小1，据此解答。 【详解】按规律接下来的带分数的整数部分分别是4、5；分数部分分别是、。 因此各数的排列为：，，，，，，… 【点睛】解答本题的关键是找出相应的排列顺序，按照规律完成作答。 9．（20-21六年级上·重庆潼南·期末）、、、…按这样的规律排列，第8个数是( )。 【答案】 【分析】观察数列可知，各个分数的分子分别是1、3、5、7、9⋯⋯，分母分别是22＝4、32＝9、42＝16、52＝25⋯⋯据此解答即可。 【详解】由分析可知： 第8个分数的分子是15，分母是92＝81。则第8个数是。 【点睛】本题考查数字的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 10．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）如图：60个这样的小梯形拼出的图形是( )，周长是( )cm。 【答案】 平行四边形 182 【分析】看图可知，1个小梯形是梯形，周长＝1×上底＋1×下底＋1×2；2个小梯形拼出的是平行四边形，周长＝2×上底＋2×下底＋1×2；3个小梯形拼出的是梯形，周长＝3×上底＋3×下底＋1×2；4个小梯形拼出的是平行四边形，周长＝4×上底＋4×下底＋1×2……由此可知，单数个小梯形拼出的是梯形，双数个小梯形拼出的是平行四边形，周长＝几个梯形就用几×上底＋几个梯形就用几×下底＋1×2；据此解答。 【详解】根据分析： 60是双数，拼出的图形是平行四边形 60×1＋60×2＋1×2 ＝60＋120＋2 ＝182（cm） 60个这样的小梯形拼出的图形是平行四边形，周长是182cm。 11．（24-25六年级上·重庆永川·期末）观察下列图形，找规律再填空。 照这样下去，第6个图形中有( )个黑色方块；有74个黑色方块的是第( )个图形。 【答案】 14 36 【分析】第1个图形有4个黑色方块，即（1＋1）×2个；第2个图形有6个黑色方块，即（2＋1）×2个；第3个图形有8个黑色方块，即（3＋1）×2个；根据图形的变化规律，第n个图中黑色方块有：（n＋1）×2个；已知一共有多少个黑色方块，先用黑色方块数除以2，再减1，即可求出是第几个图形；据此解答。 【详解】（6＋1）×2 ＝7×2 ＝14（个） 74÷2－1 ＝37－1 ＝36（个） 因此第6个图形中有14个黑色方块；有74个黑色方块的是第36个图形。 12．（24-25六年级上·重庆万州·期末）如下图，用小棒摆正五边形，摆10个正五边形需要( )根小棒，摆n个正五边形需要( )根小棒。 【答案】 41 4n＋1 【分析】观察图形可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4×2）根小棒，摆4个五边形需要（5＋4×3）根小棒……则摆n个五边形需要[5＋4×（n－1）]根小棒，据此解答即可。 【详解】5＋4×（10－1） ＝5＋4×9 ＝5＋36 ＝41（根） 5＋4×（n－1） ＝5＋4n－4 ＝（4n＋1）根 用小棒摆正五边形，摆10个正五边形需要41根小棒，摆n个正五边形需要（4n＋1）根小棒。 13．（22-23六年级上·重庆丰都·期末）观察下面的点子图规律，第9个点子图中有( )个点；第n个点子图中有( )个点。          …… （1）         （2）         （3） 【答案】 30 3n＋3/3＋3n 【分析】第一个图：1＋2＋3＝6，第二个图：2＋3＋4＝9；第三个图：3＋4＋5＝12…第n个图就是：n＋（n＋1）＋（n＋2）由此求解。 【详解】第9个图有： 9＋10＋11＝30 第n个点子图中有： n＋（n＋1）＋（n＋2） ＝n＋n＋1＋n＋2 ＝2n＋n＋（1＋2） ＝3n＋3 第9个点阵图有30个点。 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 14．（21-22六年级上·重庆丰都·期末）按照下面的规律，第n幅图中，有( )个三角形，它的周长是( )。 【答案】 n2 3n 【分析】由图可知，第1幅图中有12＝1个三角形，周长是3×1＝3；第2幅图中有22＝4个三角形，周长是3×2＝6；第3幅图中有32＝9个三角形，周长是3×3＝9；第4幅图中有42＝16个三角形，周长是3×4＝12…以此类推，第n幅图中有n2个三角形，周长是3×n＝3n，据此解答。 【详解】分析可知，第n幅图中，有n2个三角形，它的周长是3n。 【点睛】分析图形找出小三角形个数和大三角形周长的变化规律是解答题目的关键。 15．（21-22六年级上·重庆万州·期末）如图，一张长方形纸片，第1次剪掉它的，剩下它的；第2次又剪掉它的，剩下它的；第3次又剪掉它的，剩下它的…，按照这样的规律剪下去，第7次剪了后还剩下它的( )，照这样无限剪下去，一共剪掉的部分会越来越接近( )。 【答案】 1 【分析】把整个图形看作单位“1”，每次剪掉部分和剩下部分相同，第1次剩下，第2次剩下，第3次剩下，第4次剩下…依次类推，第n次剪完之后还剩下它的，把n＝7代入含有字母的式子求出结果；由图可知，每次剩下的部分越来越小，越来越接近0，把每次剪掉的部分相加求和，结果越来越接近1，据此解答。 【详解】分析可知，第n次剪完之后还剩下它的。 当n＝7时。 ＝ ＝ ＝ ＋＋＋＋…＋ ＝1－ ≈1－0 ＝1 所以，按照这样的规律剪下去，第7次剪了后还剩下它的，照这样无限剪下去，一共剪掉的部分会越来越接近1。 【点睛】本题主要考查应用数形结合的思想解决问题，理解一共剪掉的部分等于整体与最后一次剪掉部分的差是解答题目的关键。 试卷第1页，共3页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数学广角——数与形 考点一、数与形（归纳递推） 1.核心思想：数形结合： （1）定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 （2）作用： ①以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 ②以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 2.观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) ： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 3.观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) ： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 真题练习 1．（22-23六年级上·重庆丰都·期末）算式1＋3＋5＋7＋5＋3＋1的和等于（    ）。 A．72 B．42＋42 C．42＋32 2．（22-23六年级上·重庆北碚·期末）小红设计了一个计算程序，当输入数据为7时，则输出的数据是（    ）。 输入 …… 1 2 3 4 5 …… 输出 …… …… A． B． C． D． 3．（20-21六年级上·重庆万州·期末）按如图的规律摆图形，如果小三角形的边长为1，每个图形包含小三角形的个数与这个图形的周长之间的关系是（    ）。 A．小三角形的个数每个图形的周长 B．小三角形的个数每个图形的周长 C．小三角形的个数（每个图形的周长 4．（22-23六年级上·重庆忠县·期末）按规律填空。 1，，( )，，。 5．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）找规律填空。 ，，，，( )，( )。 6．（20-21六年级上·重庆合川·期末）找规律填空：，( )，。（不化简） 7．（20-21六年级上·重庆黔江·期末）找规律填空：，，，，( )，( )。 8．（22-23六年级上·重庆江津·期末）找规律，填数。 ，1，2，3，( )，( )，… 9．（20-21六年级上·重庆潼南·期末）、、、…按这样的规律排列，第8个数是( )。 10．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）如图：60个这样的小梯形拼出的图形是( )，周长是( )cm。 11．（24-25六年级上·重庆永川·期末）观察下列图形，找规律再填空。 照这样下去，第6个图形中有( )个黑色方块；有74个黑色方块的是第( )个图形。 12．（24-25六年级上·重庆万州·期末）如下图，用小棒摆正五边形，摆10个正五边形需要( )根小棒，摆n个正五边形需要( )根小棒。 13．（22-23六年级上·重庆丰都·期末）观察下面的点子图规律，第9个点子图中有( )个点；第n个点子图中有( )个点。          …… （1）         （2）         （3） 14．（21-22六年级上·重庆丰都·期末）按照下面的规律，第n幅图中，有( )个三角形，它的周长是( )。 15．（21-22六年级上·重庆万州·期末）如图，一张长方形纸片，第1次剪掉它的，剩下它的；第2次又剪掉它的，剩下它的；第3次又剪掉它的，剩下它的…，按照这样的规律剪下去，第7次剪了后还剩下它的( )，照这样无限剪下去，一共剪掉的部分会越来越接近( )。 试卷第1页，共3页 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $