专题08 数学广角——数与形（1大考点10道题）（期末真题汇编）六年级数学上学期（北京专用）

专题08 数学广角——数与形 考点一、数与形（归纳递推） 1.核心思想：数形结合： （1）定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 （2）作用： ①以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 ②以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 2.观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) ： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 3.观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) ： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 真题练习 1．（22-23六年级上·北京·期末）将整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2023应排在第几行；第几列，（    ）。 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 第2行 6 5 4 第3行 7 8 9 第4行 12 11 10 …… A．第673行第1列 B．第673行第4列 C．第675行第4列 D．第675行第1列 【答案】D 【分析】观察表格数据，发现其中规律：每一行有三个数，其中单数行数据从左到右逐渐增大，双数行数据从右到左逐渐增大；每2行有6个数字，从1开始每相邻的6个数字为1个周期，用数2023÷6，商即可算出有几个周期，用周期数乘2，即可求出数2023前面有几行，而数2023在下一行，最后用余数判断在周期的哪个数字即可。 【详解】2023÷6＝337……1 337×2＝674 674＋1＝675 说明数2023应排在第675行第1列。 故答案为：D 【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 2．（24-25六年级上·北京顺义·期末）按照下面3幅图的规律继续画图（如图），第n幅图形长( )cm。 【答案】4（n＋1）/（4n＋4）/（4＋4n） 【分析】看图可知，第1幅图长8cm，8＝（1＋1）×（8÷2）；第2幅图长12cm，12＝（2＋1）×（8÷2）；第3幅图长16cm，16＝（3＋1）×（8÷2）…由此可知，后一幅图比前一幅图的长度多一个半圆的半径的长，总长度＝（第几幅图就用几＋1）×半径，据此分析。 【详解】（n＋1）×（8÷2）＝4（n＋1） 第n幅图形长4（n＋1）cm。 3．（24-25六年级上·北京房山·期末）小明正在帮助他的爸爸进行家庭装修。他们需要将一些木板按照下面的规律拼接在一起（如下图），以覆盖一个长条形的区域。每块木板长10厘米，把9块这样的木板粘在一起，长( )厘米。（重叠部分均为2厘米） 【答案】74 【分析】1块木板长10厘米，10＝1×10－（1－1）×2；2块木板长18厘米，16＝2×10－（2－1）×2；3块木板长26厘米，26＝3×10－（3－1）×2…由此可知，总长度＝几块木板就用几×10－（几－1）×2，据此列式计算。 【详解】9×10－（9－1）×2 ＝90－8×2 ＝90－16 ＝74（厘米） 把9块这样的木板粘在一起，长74厘米。 4．（22-23六年级上·北京·期末）我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第五行中间数是 ，第八行左边数第四个数是 。 【答案】 6 35 【分析】观察“杨辉三角”可知，第几行就有几个数，左右两边都是1，中间的数是上一行相邻两个数相加，第五行中间数直接看图数一数填空即可；第八行应该有8个数，第七行的数分别是1、6、15、20、15、6、1，第八行左边数第四个数是第七行左边数第3个和第四个数的和，据此分析。 【详解】15＋20＝35 第五行中间数是6，第八行左边数第四个数是35。 【点睛】关键是看懂杨辉三角的规律，根据规律进行分析。 5．（22-23六年级上·北京门头沟·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画4个正方形能得到( )个直角三角形，画n个正方形能得到( )个直角三角形。 【答案】 12 4n－4 【分析】由图可知，第1个图形有1个正方形，0个直角三角形；第2个图形有2个正方形，（4×1）个直角三角形；第3个图形有3个正方形，（4×2）个直角三角形；第4个图形有4个正方形，（4×3）个直角三角形……以此类推，每增加一个正方形就增加4个直角三角形，那么第n个图形有n个正方形，4×（n－1）个直角三角形，据此解答。 【详解】分析可知，n个正方形可以得到直角三角形的个数为：4×（n－1） ＝（4n－4）个 当n＝4时。 4n－4 ＝4×4－4 ＝16－4 ＝12（个） 所以，画4个正方形能得到12个直角三角形，画n个正方形能得到（4n－4）个直角三角形。 【点睛】找出正方形个数和直角三角形个数的变化规律是解答题目的关键。 6．（21-22六年级上·北京房山·期末）如果按照下图正方形点子图的规律排列，第⑥幅图共有( )个点子，第幅图共有( )个点子。 【答案】 24 4n 【分析】根据图可知，第①幅图有4个点子，即4＝2×2＋0×2，第②幅图有8个点子，即8＝3×2＋2×1；第③幅图有12个点子，即12＝4×2＋2×2，……，由此即可知道第n幅图的点子数：（n＋1）×2＋2×（n－1），把n＝6代入式子即可求出第⑥幅图的点子数，第n幅图有多少个点子，把式子化简即可。 【详解】由分析可知： 第n幅图共有：（n＋1）×2＋2×（n－1） ＝2n＋2＋2n－2 ＝4n（个） 第⑥幅图的点子数： 4×6＝24（个） 【点睛】本题主要考查用字母表示数，找出题目中的规律是解题的关键。 7．（21-22六年级上·北京西城·期末）用白色和灰色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有( )个圆形；当一个图形中有n个灰色圆形时，白色的圆形有( )个。 【答案】 25 n×（n－1） 【分析】根据图可知，第几个图形，则每行和每列就有几个圆形；即第一个图形有1个圆形，1×1＝1；第2个图形有4个圆形，即2×2；第3个图形有9个圆形，即3×3；由此即可知道第n个图形圆形的个数：n×n，把n＝5代入，即第5个图形有5×5＝25个圆形； 由于第几个图形，则灰色圆形就有几个，即第n个图形，总共圆形的个数：n×n，灰色圆形有n个，则白色圆形有：n×n－n＝n×（n－1），由此即可填空。 【详解】由分析可知： 第5个图形中圆形的个数：5×5＝25（个） 第n个图形中，白色的圆形数量：n×n－n＝n×（n－1） 【点睛】本题主要考查图形的变化规律以及用字母表示数，清楚的找到它的规律是解题的关键。 8．（24-25六年级上·北京房山·期末）有8个小队进行拔河比赛，每两个队之间要进行一场比赛。为了解决“一共要比赛多少场”的问题，奇思尝试用下面的方法找出其中的规律： (1)结合奇思的思考过程，计算5个队比赛场数的算式为( )。 (2)8个队一共要比赛( )场。 【答案】(1)1＋2＋3＋4＝10（场） (2)28 【分析】由图可知，比赛场数与球队数量的关系为：比赛场数等于从1开始依次加到（球队的数量－1），n个球队的比赛场数＝1＋2＋3＋4＋…＋（n－1），分别求出n＝5和n＝8时式子的值，据此解答。 【详解】（1）结合奇思的思考过程，计算5个队比赛场数的算式为1＋2＋3＋4＝10（场）。 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（场） 所以，8个队一共要比赛28场。 9．（23-24六年级上·北京海淀·期末）农民伯伯计划将苹果树种在正方形的果园中，为了保护苹果树，他打算在苹果树的周围种针叶树，在下面设计图里，可以看到农民伯伯种苹果树的数量（用表示）和苹果树数量。针叶树数量的规律是： 根据上面的规律，完成以下各题。 （1）将表格填写完整。 列数（） 1 2 3 4 5 …… 苹果树的数量（棵） 1 4 9 ______ ______ …… 针叶树的数量（棵） 8 16 24 32 ______ …… （2）当______时，苹果树和针叶树的数量相等。 （3）当时，苹果树的数量是______；针叶树的数量是______。 【答案】（1）16；25；40 （2）8 （3）100棵；80棵 【分析】（1）看图可知，苹果树的总棵数＝n2；针叶树沿着正方形的边进行种植，每边棵数是（2n＋1）棵，去掉每边重复的1棵，根据正方形周长＝边长×4，针叶树的总棵数＝4×（2n＋1－1）＝4×2n＝（8n）棵，据此计算后填表。 （2）当n2＝8n时，苹果树和针叶树的数量相等，根据等式的性质2，两边同时÷n，即可求出n的值。 （3）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】（1）42＝16（棵）；52＝25（棵）；8×5＝40（棵） 列数（） 1 2 3 4 5 …… 苹果树的数量（棵） 1 4 9 16 25 …… 针叶树的数量（棵） 8 16 24 32 40 …… （2）n2＝8n 解：n2÷n＝8n÷n n＝8 当8时，苹果树和针叶树的数量相等。 （3）n2＝102＝100（棵） 8n＝8×10＝80（棵） 当时，苹果树的数量是100棵；针叶树的数量是80棵。 10．（22-23六年级上·北京·期末）仓库里有一批民用物资，第一天运走全部的，以后每天都运走剩下物资的，第几天运走后，仓库里剩下的物资是原有物资的。把你思考的过程画一画，算一算。 【答案】图见详解；第4天 【分析】先画一个正方形，把这个正方形看作单位“1”，第一天运走全部的，还剩下，即把正方形平均分成2份，一份是运走的，另一份是剩下的；把还剩下的图形看作单位“1”，第二天运走剩下的，即把剩下的图形平均分成2份，一份是运走的，一份是剩下的，那么还剩下…以此类推，画到第4天时还剩下的原来的。 先把这批物资的总量看作单位“1”，第一天运走全部的，还剩下1－＝；第二天运走剩下的，是把剩下的物资看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少”，用剩下的物资乘（1－），即可求出第二天运走后还剩下原来的几分之几……以此类推，计算到第4天即可得出仓库里剩下的物资是原有物资的。 【详解】如图： 第1天运走后，还剩下： 1－＝ 第2天运走后，还剩下： ×（1－） ＝× ＝ 第3天运走后，还剩下： ×（1－） ＝× ＝ 第4天运走后，还剩下： ×（1－） ＝× ＝ 答：第4天运走后，仓库里剩下的物资是原有物资的。 【点睛】理解“每天都运走剩下物资的”的含义，通过画图，数形结合，找到规律，按规律解答。列式计算时，区分单位“1”的不同，根据分数乘法的意义解答。 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数学广角——数与形 考点一、数与形（归纳递推） 1.核心思想：数形结合： （1）定义： 指通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、相互利用来解决数学问题的一种思想方法。 （2）作用： ①以形助数： 利用图形的直观性帮助理解和解决与数、算式相关的问题，使抽象的数或数量关系具体化、形象化。 ②以数解形： 利用数的精确性和规律性来描述、分析和解决与图形相关的问题，使图形的性质量化、精确化。 2.观察图形，发现规律并解决问题 (以形助数) ： （1）找出图形的变化规律： 如图形的个数、形状、颜色、方向、组成部分等的变化。 （2）根据规律用数或算式表示： 用数表示第n个图形的某种数量（如小棒根数、小正方形个数、圆圈个数等）。 （3）预测后续图形的数量或画出后续图形。 3.观察数列或算式，发现规律并用图形解释或验证 (以数解形) ： （1）找出数或算式的排列规律。 （2）用图形直观地表示出这些数或算式的意义和规律。 （3）利用规律进行计算或预测。 真题练习 1．（22-23六年级上·北京·期末）将整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2023应排在第几行；第几列，（    ）。 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 2 3 第2行 6 5 4 第3行 7 8 9 第4行 12 11 10 …… A．第673行第1列 B．第673行第4列 C．第675行第4列 D．第675行第1列 2．（24-25六年级上·北京顺义·期末）按照下面3幅图的规律继续画图（如图），第n幅图形长( )cm。 3．（24-25六年级上·北京房山·期末）小明正在帮助他的爸爸进行家庭装修。他们需要将一些木板按照下面的规律拼接在一起（如下图），以覆盖一个长条形的区域。每块木板长10厘米，把9块这样的木板粘在一起，长( )厘米。（重叠部分均为2厘米） 4．（22-23六年级上·北京·期末）我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。如图，第五行中间数是 ，第八行左边数第四个数是 。 5．（22-23六年级上·北京门头沟·期末）如下图，画2个正方形能得到4个直角三角形，画3个正方形能得到8个直角三角形，画4个正方形能得到( )个直角三角形，画n个正方形能得到( )个直角三角形。 6．（21-22六年级上·北京房山·期末）如果按照下图正方形点子图的规律排列，第⑥幅图共有( )个点子，第幅图共有( )个点子。 7．（21-22六年级上·北京西城·期末）用白色和灰色圆形按照下面的方法摆图形。 按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有( )个圆形；当一个图形中有n个灰色圆形时，白色的圆形有( )个。 8．（24-25六年级上·北京房山·期末）有8个小队进行拔河比赛，每两个队之间要进行一场比赛。为了解决“一共要比赛多少场”的问题，奇思尝试用下面的方法找出其中的规律： (1)结合奇思的思考过程，计算5个队比赛场数的算式为( )。 (2)8个队一共要比赛( )场。 9．（23-24六年级上·北京海淀·期末）农民伯伯计划将苹果树种在正方形的果园中，为了保护苹果树，他打算在苹果树的周围种针叶树，在下面设计图里，可以看到农民伯伯种苹果树的数量（用表示）和苹果树数量。针叶树数量的规律是： 根据上面的规律，完成以下各题。 （1）将表格填写完整。 列数（） 1 2 3 4 5 …… 苹果树的数量（棵） 1 4 9 ______ ______ …… 针叶树的数量（棵） 8 16 24 32 ______ …… （2）当______时，苹果树和针叶树的数量相等。 （3）当时，苹果树的数量是______；针叶树的数量是______。 10．（22-23六年级上·北京·期末）仓库里有一批民用物资，第一天运走全部的，以后每天都运走剩下物资的，第几天运走后，仓库里剩下的物资是原有物资的。把你思考的过程画一画，算一算。 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $