专题07 数学广角——植树问题（1大考点11道题）（期末真题汇编）五年级数学上学期（北京专用）

专题07 数学广角——植树问题 考点一、植树问题 1.植树问题的基本概念：植树问题是研究“总长、间隔长、间隔数、棵数”之间数量关系的实际问题，核心是理解“间隔”与“物体”（如树、路灯、栏杆等）的排列规律。 （1）总长：指栽树路线的总长度（如道路长度、队伍长度等）。 （2）间隔长：相邻两棵树（或物体）之间的距离（固定不变）。 （3）间隔数：总长中包含的间隔数量，计算公式：间隔数 = 总长 ÷ 间隔长 （4）棵数：需要栽树（或放置物体）的总数量。 2.植树问题的三种基本类型： 根据“两端是否植树”，分为以下三种情况： 类型 特征 棵数与间隔数的关系 图示（以“●”表示树，“—”表示间隔） 1. 两端都植树 起点和终点都栽树 棵数 = 间隔数 + 1 ●—●—●—●（总长=3个间隔，棵数=4） 2. 只一端植树 只在起点或终点栽树（或环形栽树） 棵数 = 间隔数 ●—●—●—●（总长=4个间隔，棵数=4） 3. 两端都不植树 起点和终点都不栽树 棵数 = 间隔数 - 1 —●—●—●—（总长=4个间隔，棵数=3） 关键结论：无论哪种类型，间隔数 = 总长 ÷ 间隔长始终成立，区别仅在于“棵数与间隔数的加减关系”。 真题练习 1．（24-25五年级上·北京丰台·期末）下列选项中，用到“转化”方法的是（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】转化的思想就是在研究和解决有关数学问题的过程中，运用已有的知识经验，将待解决的问题通过转化的方法，转化成易解决或已解决的问题，最终使原问题得以解决，逐个分析各选项，再进行选择即可。 【详解】①在学习计算平行四边形的面积时，通过割补法，将平行四边形剪切拼成长方形，从而推导出平行四边形的面积计算公式，运用了转化思想； ②计算小数乘法时，根据积的变化规律，把小数乘法转化为学过的整数乘法来计算，再从积的右边起数出相应的位数点上小数点，用到了转化的思想； ③硬币有正反两面，存在不确定性，只能通过列举法解答，没有运用转化的方法。 ④在植树问题中，在物体的四周每隔一定间隔栽一圈树，可以把封闭图形上的植树问题转化为一端栽一端不栽的植树问题，运用了转化为思想。 选项中，用到“转化”方法的是①②④。 故答案为：B 2．（22-23五年级上·北京石景山·期末）马拉松比赛全程约42km。平均每3km设置一处饮水服务点（起点与终点也设），全程一共有（    ）处这样的服务点。 A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】此题属于两端都栽的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数＋1，间隔数＝间隔总长÷间隔距离。据此计算即可。 【详解】42÷3＋1 ＝14＋1 ＝15（处） 即全程一共有15处这样的服务点。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查了植树问题的公式，要熟练掌握。 3．（22-23五年级上·北京丰台·期末）40名五年级学生手拉手围成一个近似的正方形。这个近似的正方形的面积大约是（    ）。 A．1公顷 B．200平方米 C．50平方米 D．10平方米 【答案】B 【分析】近似正方形的每条边有11人，每个学生伸开双臂的长度大约是1米，那么边长大约是11米。正方形面积＝边长×边长，据此求出这个近似正方形的面积，从而选出合理选项。 【详解】（40－4）÷4＋2 ＝36÷4＋2 ＝9＋2 ＝11（人） 所以，每条边有11人，大约是11米长。 11×11＝121（平方米） 结合选项，这个近似的正方形的面积大约是200平方米。 故答案为：B 【点睛】本题考查了植树问题和正方形的面积，有一定生活常识，掌握正方形的面积公式是解题的关键。 4．（22-23五年级上·北京石景山·期末）马拉松比赛全程约42km，平均每3km设置一处饮水服务点（起点不设，终点设）。全程一共有（    ）处这样的服务点。 A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】根据题意，起点不设，终点设，属于植树问题中的一端栽一端不栽的情况，则棵数＝间隔数；根据“全长÷间距＝间隔数”，即可求出服务点的数量。 【详解】42÷3＝14（处） 全程一共有14处这样的服务点。 故答案为：B 【点睛】本题考查植树问题，掌握沿直线上栽树的三种情况：两端都栽时，棵数＝间隔数＋1；两端都不栽时，棵数＝间隔数－1；一端栽一端不栽时，棵数＝间隔数。 5．（20-21五年级上·北京门头沟·期末）在400米的环形跑道周围每隔5米插一面红旗，两面黄旗，一共需要插（    ）面红旗。 A．79 B．80 C．81 D．160 【答案】B 【分析】围成一个封闭图形插旗，旗的面数＝间隔数，据此求出400米里面有几个5米即可插几面红旗据此解答。 【详解】400÷5＝ 80（面） 需要80面红旗。 故答案为：B 【点睛】此题问题原型是：植树问题中，围成封闭图形植树时，植树棵数＝间隔数。 6．（22-23五年级上·北京门头沟·期末）幼儿园某班10个小朋友排成一行做游戏，每两个小朋友间隔3米，彤彤站在1号位，青青站在7号位，彤彤和青青相隔（    ）米。 A．3 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】在一条线段上植树（两端都栽树）问题的规律：总距离÷株距＝间隔数，棵数＝间隔数＋1。先根据“棵数－1＝间隔数”求出彤彤和青青之间的间隔数；再根据“每个间隔的米数×间隔数＝总距离”求出彤彤和青青相隔的米数。 【详解】7－1＝6（个） 3×6＝18（米） 所以彤彤和青青相隔18米。 故答案为：C 【点睛】解决植树问题的关键要理清棵数与间隔数之间的关系。 7．（22-23五年级上·北京·期末）一根木材长10米，把它锯成每段长2米的木料，需要锯 次。 【答案】4 【分析】每2米锯一段，求出10米里面有几个2米，即可求出可以锯的段数，再用锯的段数减去1，就是需要锯的次数。 【详解】10÷2－1 ＝5－1 ＝4（次） 所以需要锯4次。 【点睛】本题主要考查了植树问题，解题的关键是掌握锯的次数＝锯的段数－1。 8．（20-21五年级上·北京东城·期末）某市区一条繁华大街全长800米，在它的一侧从头到尾每隔100米放置一个垃圾桶，一共需要( )个垃圾桶。 【答案】9 【分析】由题意可知，属于两端都植的情况，棵数＝间隔数＋1，由此解答即可。 【详解】800÷100＝8（段） 8＋1＝9（个） 【解答】解答本题的关键是要抓住“从头到尾”这一关键词，由此可知是两端都植，再根据棵数与间隔数之间的关系解答即可。 9．（20-21五年级上·北京西城·期末）男子110米跨栏跑是径赛项目的一种。110米跨栏跑的赛道是由110m的跑道和跑道上的10个跨栏组成的（赛道局部如下图）。从起跑线到第1栏的距离是13.72m，第1栏到第10栏每相邻两栏之间的距离相等，从第10栏到终点的距离是14.02m。每相邻两个栏之间的距离是( )m。 【答案】9.14 【分析】由题意得：先用110米的跑道减去两端的距离13.72米和14.02米；因为10根跨栏之间有9个间距，所以要求每相邻两个栏之间的距离可列式为：（110－13.72－14.02）÷（10－1）。 【详解】 （110－13.72－14.02）÷（10－1） ＝82.26÷9 ＝9.14（米） 答：每相邻两个栏之间的距离是9.14米。 【点睛】题意看似复杂，但只要善于总结，就能够破解其中的难度。可以想象，整条跑道是由三部分组成，第一部分、第三部分已知，要求的是第二部分每两个跨栏之间的距离；这里还涉及到植树问题，所以对于间隔数与跨栏个数的关系要明确。 10．（22-23五年级上·北京·期末）某地举行长跑比赛，全程约40千米，平均每2.5千米设置一处移动厕所（起点不设，终点设），全程一共设置了多少处移动厕所？ 【答案】16处 【分析】用40除以2.5求出间隔数，由于起点不设，终点设，所以间隔数等于移动厕所数。 【详解】移动厕所数量：40÷2.5＝16（处） 答：全程一共设置了16处移动厕所。 【点睛】本题主要考查了植树问题，解题的关键是掌握如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数＝间隔数。 11．（24-25五年级上·北京丰台·期末）一款晾衣杆的总长度为3.05米，在晾衣杆上设计了12个均匀分布的挂孔（如下图所示）。每两个挂孔中心之间的距离是多少米？ 【答案】0.25米 【分析】用晾衣杆的总长度3.05米减去两端的长度（两个0.15米），再除以间隔数（间隔数＝挂孔数－1），即可求出每两个挂孔中心之间的距离是多少米。 【详解】（3.05－0.15×2）÷（12－1） ＝（3.05－0.3）÷11 ＝2.75÷11 ＝0.25（米） 答：每两个挂孔中心之间的距离是0.25米。 试卷第1页，共3页 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数学广角——植树问题 考点一、植树问题 1.植树问题的基本概念：植树问题是研究“总长、间隔长、间隔数、棵数”之间数量关系的实际问题，核心是理解“间隔”与“物体”（如树、路灯、栏杆等）的排列规律。 （1）总长：指栽树路线的总长度（如道路长度、队伍长度等）。 （2）间隔长：相邻两棵树（或物体）之间的距离（固定不变）。 （3）间隔数：总长中包含的间隔数量，计算公式：间隔数 = 总长 ÷ 间隔长 （4）棵数：需要栽树（或放置物体）的总数量。 2.植树问题的三种基本类型： 根据“两端是否植树”，分为以下三种情况： 类型 特征 棵数与间隔数的关系 图示（以“●”表示树，“—”表示间隔） 1. 两端都植树 起点和终点都栽树 棵数 = 间隔数 + 1 ●—●—●—●（总长=3个间隔，棵数=4） 2. 只一端植树 只在起点或终点栽树（或环形栽树） 棵数 = 间隔数 ●—●—●—●（总长=4个间隔，棵数=4） 3. 两端都不植树 起点和终点都不栽树 棵数 = 间隔数 - 1 —●—●—●—（总长=4个间隔，棵数=3） 关键结论：无论哪种类型，间隔数 = 总长 ÷ 间隔长始终成立，区别仅在于“棵数与间隔数的加减关系”。 真题练习 1．（24-25五年级上·北京丰台·期末）下列选项中，用到“转化”方法的是（    ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③ 2．（22-23五年级上·北京石景山·期末）马拉松比赛全程约42km。平均每3km设置一处饮水服务点（起点与终点也设），全程一共有（    ）处这样的服务点。 A．15 B．14 C．13 D．12 3．（22-23五年级上·北京丰台·期末）40名五年级学生手拉手围成一个近似的正方形。这个近似的正方形的面积大约是（    ）。 A．1公顷 B．200平方米 C．50平方米 D．10平方米 4．（22-23五年级上·北京石景山·期末）马拉松比赛全程约42km，平均每3km设置一处饮水服务点（起点不设，终点设）。全程一共有（    ）处这样的服务点。 A．15 B．14 C．13 D．12 5．（20-21五年级上·北京门头沟·期末）在400米的环形跑道周围每隔5米插一面红旗，两面黄旗，一共需要插（    ）面红旗。 A．79 B．80 C．81 D．160 6．（22-23五年级上·北京门头沟·期末）幼儿园某班10个小朋友排成一行做游戏，每两个小朋友间隔3米，彤彤站在1号位，青青站在7号位，彤彤和青青相隔（    ）米。 A．3 B．15 C．18 D．21 7．（22-23五年级上·北京·期末）一根木材长10米，把它锯成每段长2米的木料，需要锯 次。 8．（20-21五年级上·北京东城·期末）某市区一条繁华大街全长800米，在它的一侧从头到尾每隔100米放置一个垃圾桶，一共需要( )个垃圾桶。 9．（20-21五年级上·北京西城·期末）男子110米跨栏跑是径赛项目的一种。110米跨栏跑的赛道是由110m的跑道和跑道上的10个跨栏组成的（赛道局部如下图）。从起跑线到第1栏的距离是13.72m，第1栏到第10栏每相邻两栏之间的距离相等，从第10栏到终点的距离是14.02m。每相邻两个栏之间的距离是( )m。 10．（22-23五年级上·北京·期末）某地举行长跑比赛，全程约40千米，平均每2.5千米设置一处移动厕所（起点不设，终点设），全程一共设置了多少处移动厕所？ 11．（24-25五年级上·北京丰台·期末）一款晾衣杆的总长度为3.05米，在晾衣杆上设计了12个均匀分布的挂孔（如下图所示）。每两个挂孔中心之间的距离是多少米？ 试卷第1页，共3页 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $