专题08 数学广角——优化（1大考点12道题）（期末真题汇编）四年级数学上学期（北京专用）

专题08 数学广角——优化 考点一、优化问题 1.沏茶问题（合理安排时间）： （1）核心思想： 在完成多项任务时，要学会合理安排顺序，有些事情可以同时做，这样就能节省总时间。 （2）解决方法（步骤）： ①明确完成一项工作需要做哪些事情。 ②明确每件事情各需要多少时间。 ③思考哪些事情可以在等待其他事情完成的同时做（即可以同时进行），哪些事情必须先后完成（即不能同时进行）。 2.烙饼问题（锅的优化利用）： （1）核心思想： 每次尽可能让锅里放最多的饼（不超过锅的容量），以达到最节省时间的目的。 （2）解决方法与规律： ①锅的容量： 每次最多能烙2张饼。 ②饼的状态： 每张饼有2个面（正面、反面）。 烙1张饼： 正3分钟 → 反3分钟。 总时间：3×2 = 6分钟。 烙2张饼（同时烙）： 饼1正、饼2正 → 3分钟 → 饼1反、饼2反 → 3分钟。 总时间：3×2 = 6分钟。 (最省时) 烙3张饼（交替烙，关键！）： 第一次：饼1正、饼2正 → 3分钟 第二次：饼1反、饼3正 → 3分钟 (饼1熟，饼3正熟) 第三次：饼2反、饼3反 → 3分钟 (饼2、饼3熟) 总时间：3×3 = 9分钟。 烙更多张饼： * 双数张饼： 2张2张地烙。 总时间 = (张数 ÷ 2) × 每面时间 × 2 = 张数 × 每面时间。 * 单数张饼： 先按3张饼的最优方法烙，剩下的（张数-3）如果是双数，再2张2张地烙。或者，总时间 = 张数 × 每面时间 (当张数≥1，且每次最多烙2张时，这个公式也成立：3张 3×3=9，4张 4×3=12，5张 5×3=15等)。 通用规律（每次烙2张饼，每面时间为t）：烙n张饼的最短时间 = n × t (n ≥ 1)，前提是n ≥ 1，且锅里每次都能烙2张（除了最后一次可能只烙1张，但通过交替法可以避免，从而适用此公式）。 3.田忌赛马（策略优化）： （1）核心思想： 在竞争或对抗中，要认真分析双方情况，选择最佳策略，以己之长攻彼之短，从而达到获胜的目的。这是一种重要的策略优化思想。 （2）关键： ①了解双方的实力（马的快慢顺序）。 ②牺牲局部利益（用自己最差的对对方最好的），换取整体的胜利。 （3）应用： 类似的策略可以应用在各种比赛、游戏或资源分配中，核心是“优化组合”和“错位竞争”。 真题练习 1．（23-24三年级下·北京房山·期末）妈妈感冒了，小红要照顾妈妈吃药和量体温，请你帮助小红合理安排时间，做完下面的事情，用时最短的是（    ）。 拿杯子倒开水 等开水变温 找感冒药 给妈妈量体温 分钟 分钟 分钟 分钟 A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 2．（24-25三年级下·北京昌平·期末）笑笑给妈妈做午饭。淘米用1分钟，煮饭用25分钟，洗菜用5分钟，切菜用5分钟，炒菜用10分钟。笑笑做完这些事至少需要（    ）分钟。 A．26 B．35 C．36 D．46 3．（21-22三年级下·北京顺义·期末）李军每个周末都做家务，他计划本周日要完成以下家务，最少需要（    ）分钟。 整理书桌 整理房间 把脏衣服放入洗衣机 洗衣机自动洗涤 晾晒衣物 5分钟 20分钟 1分钟 30分钟 3分钟 A．31 B．34 C．39 D．59 4．（19-20四年级上·北京西城·期末）“比大小”游戏，游戏规则是：①对阵3次，出大者赢，赢两次者获胜，②每人每次只能出一张卡片，③第1次谁先出卡片，后两次还是谁先。左边三张是小明的卡片，右边三张是小军的卡片，小明先出10，小军出（    ）才有可能获胜。 A．7 B．5 C．无法确定 D．9 5．（22-23四年级上·北京石景山·期末）妈妈要完成下列这些家务活。如果合理安排时间，她最少需要( )分钟。 6．（23-24四年级上·北京丰台·期末）小明、小聪和小军进行2分钟投篮比赛，有两个篮球架，两人可同时进行比赛，每人都投2轮，至少需要( )分钟。 7．（19-20四年级上·北京东城·期末）一个锅每次最多只能煎2个鸡蛋，每个鸡蛋都要煎两面，每面需要煎2分钟。煎9个鸡蛋至少需要( )分钟。 8．（22-23四年级上·北京门头沟·期末）甲、乙两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来和是20，谁就获胜。如果让甲先报数，为了确保获胜先报( )。 9．（18-19四年级上·北京西城·期末）妈妈做家务，她至少需要( )分钟才能完成下面所有的事情。 10．（19-20四年级上·北京东城·期末）一个煎锅里最多只能煎2个鸡蛋。每个鸡蛋都要煎两面（每面煎2分钟）。那么煎6个鸡蛋至少要用 分钟。 11．（20-21四年级下·北京东城·期末）小军周六早晨起床后要做以下事情：洗漱5分、吃早饭15分、听英语15分、扫地3分、擦桌子2分。他做完这些事最少要用( )分。 12．（18-19四年级上·北京石景山·期末）纸牌游戏。 小丽和小宁用纸牌玩“比大小”的游戏。玩法是每人每次出一张牌，牌大者得一分，一共玩三次，得两分为获胜者。 小丽的牌： 小宁的牌： （1） 先出牌才能保证小宁为获胜者。 （2）小宁怎么出牌才能获胜？请把出牌的情况填入下表。 小丽 小宁 试卷第1页，共3页 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数学广角——优化 考点一、优化问题 1.沏茶问题（合理安排时间）： （1）核心思想： 在完成多项任务时，要学会合理安排顺序，有些事情可以同时做，这样就能节省总时间。 （2）解决方法（步骤）： ①明确完成一项工作需要做哪些事情。 ②明确每件事情各需要多少时间。 ③思考哪些事情可以在等待其他事情完成的同时做（即可以同时进行），哪些事情必须先后完成（即不能同时进行）。 2.烙饼问题（锅的优化利用）： （1）核心思想： 每次尽可能让锅里放最多的饼（不超过锅的容量），以达到最节省时间的目的。 （2）解决方法与规律： ①锅的容量： 每次最多能烙2张饼。 ②饼的状态： 每张饼有2个面（正面、反面）。 烙1张饼： 正3分钟 → 反3分钟。 总时间：3×2 = 6分钟。 烙2张饼（同时烙）： 饼1正、饼2正 → 3分钟 → 饼1反、饼2反 → 3分钟。 总时间：3×2 = 6分钟。 (最省时) 烙3张饼（交替烙，关键！）： 第一次：饼1正、饼2正 → 3分钟 第二次：饼1反、饼3正 → 3分钟 (饼1熟，饼3正熟) 第三次：饼2反、饼3反 → 3分钟 (饼2、饼3熟) 总时间：3×3 = 9分钟。 烙更多张饼： * 双数张饼： 2张2张地烙。 总时间 = (张数 ÷ 2) × 每面时间 × 2 = 张数 × 每面时间。 * 单数张饼： 先按3张饼的最优方法烙，剩下的（张数-3）如果是双数，再2张2张地烙。或者，总时间 = 张数 × 每面时间 (当张数≥1，且每次最多烙2张时，这个公式也成立：3张 3×3=9，4张 4×3=12，5张 5×3=15等)。 通用规律（每次烙2张饼，每面时间为t）：烙n张饼的最短时间 = n × t (n ≥ 1)，前提是n ≥ 1，且锅里每次都能烙2张（除了最后一次可能只烙1张，但通过交替法可以避免，从而适用此公式）。 3.田忌赛马（策略优化）： （1）核心思想： 在竞争或对抗中，要认真分析双方情况，选择最佳策略，以己之长攻彼之短，从而达到获胜的目的。这是一种重要的策略优化思想。 （2）关键： ①了解双方的实力（马的快慢顺序）。 ②牺牲局部利益（用自己最差的对对方最好的），换取整体的胜利。 （3）应用： 类似的策略可以应用在各种比赛、游戏或资源分配中，核心是“优化组合”和“错位竞争”。 真题练习 1．（23-24三年级下·北京房山·期末）妈妈感冒了，小红要照顾妈妈吃药和量体温，请你帮助小红合理安排时间，做完下面的事情，用时最短的是（    ）。 拿杯子倒开水 等开水变温 找感冒药 给妈妈量体温 分钟 分钟 分钟 分钟 A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】此题不能直接把所有时间相加，应该考虑到哪些项目可以同时进行，哪些不能同时进行，本题中拿杯子倒开水与等开水变温不能同时进行，其他在等开水温的同时进行即可。 【详解】小红应该先拿杯子倒开水，然后等开水变温，在等开水变温的同时量体温、找感冒药。 用时最短要：2＋7＝9（分钟） 故答案为：C 2．（24-25三年级下·北京昌平·期末）笑笑给妈妈做午饭。淘米用1分钟，煮饭用25分钟，洗菜用5分钟，切菜用5分钟，炒菜用10分钟。笑笑做完这些事至少需要（    ）分钟。 A．26 B．35 C．36 D．46 【答案】A 【分析】根据题意，淘米用1分钟，煮饭用25分钟，煮饭的同时可以洗菜、切菜和炒菜，即5＋5＋10＝20分钟，所以，笑笑做完这些事至少需要1＋25＝26分钟。 【详解】5＋5＋10＝20（分钟） 20＜25 1＋25＝26（分钟） 笑笑给妈妈做午饭。淘米用1分钟，煮饭用25分钟，洗菜用5分钟，切菜用5分钟，炒菜用10分钟。笑笑做完这些事至少需要26分钟。 故答案为：A 3．（21-22三年级下·北京顺义·期末）李军每个周末都做家务，他计划本周日要完成以下家务，最少需要（    ）分钟。 整理书桌 整理房间 把脏衣服放入洗衣机 洗衣机自动洗涤 晾晒衣物 5分钟 20分钟 1分钟 30分钟 3分钟 A．31 B．34 C．39 D．59 【答案】B 【分析】要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，洗衣机自动洗衣服的同时可以整理书桌、整理房间，5＋20＝25（分钟），25分钟＜30分钟，因此至少需要的时间＝把脏衣服放入洗衣机需要的时间＋洗衣机自动洗衣服需要的时间＋晾晒衣物需要的时间，依此计算并选择。 【详解】1＋30＋3＝34（分钟） 故答案为：B 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 4．（19-20四年级上·北京西城·期末）“比大小”游戏，游戏规则是：①对阵3次，出大者赢，赢两次者获胜，②每人每次只能出一张卡片，③第1次谁先出卡片，后两次还是谁先。左边三张是小明的卡片，右边三张是小军的卡片，小明先出10，小军出（    ）才有可能获胜。 A．7 B．5 C．无法确定 D．9 【答案】B 【分析】小明第一次出的是10，小军出哪个都比10小，都是输，既然都是输，要拿出最小的5与之对阵，这样剩下的两张都比小明的大，都会赢，根据游戏规则，小军以2∶1胜。 【详解】 如图所示，小明先出10，小军出（5）才有可能获胜。故答案选：B。 【点睛】本题考查优化问题，利用田忌赛马的思维去解答问题。 5．（22-23四年级上·北京石景山·期末）妈妈要完成下列这些家务活。如果合理安排时间，她最少需要( )分钟。 【答案】54 【分析】观察妈妈需要完成的家务，洗衣机洗衣服只需要将衣服放进去，让洗衣机开始洗就可以。用洗衣机洗衣服的同时，可以先去擦柜子，再去刷鞋，完成这三件家务一共需要50分钟，再加上晾晒衣服的4分钟即可。据此解答。 【详解】50＋4＝54（分钟） 妈妈完成这些家务，合理安排时间，她最少需要54分钟。 【点睛】本题考查学生对时间优化问题的掌握。解决此题的关键是找到哪些事情能够同时做。 6．（23-24四年级上·北京丰台·期末）小明、小聪和小军进行2分钟投篮比赛，有两个篮球架，两人可同时进行比赛，每人都投2轮，至少需要( )分钟。 【答案】6 【分析】小明、小聪和小军进行2分钟投篮比赛，即每轮比赛需要2分钟，有两个篮球架，两人可同时进行比赛，2分钟内可同时进行2轮比赛，每人都投2轮；例如小明和小聪一起投，小明和小军一起投，小聪和小军一起投，共投3次；所以至少需要：3×2＝6（分钟），据此解答即可。 【详解】3×2＝6（分钟） 小明、小聪和小军进行2分钟投篮比赛，有两个篮球架，两人可同时进行比赛，每人都投2轮，至少需要6分钟。 7．（19-20四年级上·北京东城·期末）一个锅每次最多只能煎2个鸡蛋，每个鸡蛋都要煎两面，每面需要煎2分钟。煎9个鸡蛋至少需要( )分钟。 【答案】18 【分析】先煎前6个鸡蛋，每次煎2个鸡蛋，共需2×2×3＝12分钟。剩下的3个鸡蛋分别为a、b、c；第一次煎a、b的正面；第二次煎a的反面和c的正面；第三次煎b、c的反面。所以煎剩下的三个鸡蛋需要3×2＝6分钟。这样9个鸡蛋饼至少需要12＋6＝18分钟。 【详解】2×2×3＋3×2 ＝12＋6 ＝18（分钟） 煎9个鸡蛋至少需要18分钟。 【点睛】在优化问题中，要统筹安排煎鸡蛋的顺序，使锅里始终没有空位，这样才能保证需要的时间最短。 8．（22-23四年级上·北京门头沟·期末）甲、乙两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来和是20，谁就获胜。如果让甲先报数，为了确保获胜先报( )。 【答案】2 【分析】按照121212…顺序或212121…的顺序报，两个人报一次的和都是3，现在报数和是20，需要报20÷3＝6……2，即报完整的6组，最后再报一个2，即最后报2的人获胜，如果要让甲先报数，第一次就一定要报2。 【详解】20÷3＝6……2 所以如果要让甲先报数，第一次就一定要报2，甲报2，…最后甲获胜。 因此，如果让甲先报数，为了确保获胜先报2。 9．（18-19四年级上·北京西城·期末）妈妈做家务，她至少需要( )分钟才能完成下面所有的事情。 【答案】51 【分析】要使需要用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，洗衣服的同时可以擦玻璃和擦地，因此一共用的最少时间就用洗衣服的时间加晾衣服的时间即可。 【详解】45＋6＝51（分钟） 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 10．（19-20四年级上·北京东城·期末）一个煎锅里最多只能煎2个鸡蛋。每个鸡蛋都要煎两面（每面煎2分钟）。那么煎6个鸡蛋至少要用 分钟。 【答案】12 【分析】煎6个鸡蛋，6÷2＝3（次），即正好3次煎完，每次把两个鸡蛋同时下锅，需要2×2＝4（分钟），然后乘3即可。 【详解】2×2×3 ＝4×3 ＝12（分钟） 【点睛】在优化问题中，要统筹安排煎鸡蛋的顺序，使锅里始终没有空位，这样才能保证需要的时间最短。 11．（20-21四年级下·北京东城·期末）小军周六早晨起床后要做以下事情：洗漱5分、吃早饭15分、听英语15分、扫地3分、擦桌子2分。他做完这些事最少要用( )分。 【答案】25 【分析】要使需要的时间最短，应先洗漱，然后吃早饭，在吃早饭的同时，可以听英语，最后扫地和擦桌子，一共需要（5＋15＋3＋2）分。 【详解】5＋15＋3＋2＝25（分） 他做完这些事最少要用25分。 【点睛】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 12．（18-19四年级上·北京石景山·期末）纸牌游戏。 小丽和小宁用纸牌玩“比大小”的游戏。玩法是每人每次出一张牌，牌大者得一分，一共玩三次，得两分为获胜者。 小丽的牌： 小宁的牌： （1） 先出牌才能保证小宁为获胜者。 （2）小宁怎么出牌才能获胜？请把出牌的情况填入下表。 小丽 小宁 【答案】 小丽 9 6 4 3 7 5 【分析】（1）小丽先出，然后根据小丽出的牌，输一次赢两次即可获胜。 （2）用最小的牌对阵小丽最大的牌，用第二大的牌对阵小丽最小的牌，用最大的牌对阵小丽第二大的牌，从而获胜。 【详解】（1 ）小丽 先出牌才能保证小宁为获胜者，用3对9，输一局；7对6，5对4，胜二局，可得两分。 （2）如图： 小丽    9 6 4 小宁 3 7 5 小宁这样出牌得两分，从而获得胜利。 【点睛】结合“田忌赛马”的故事分析是解答此题的关键。 试卷第1页，共3页 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $