5.3.4 利用二元一次方程解决实际问题 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦利用二元一次方程组解决实际问题，涵盖鸡兔同笼类、增收节支、行程问题三大类型。通过实际问题情境导入，衔接方程组解法知识，以“审题找等量关系—列表或画图辅助—设元列方程”为学习支架，引导学生逐步掌握应用方法。 其亮点在于注重数学眼光（几何直观、抽象能力）和数学思维（推理意识）的培养，如行程问题用线段图梳理路程关系，增收节支用表格整理数据，帮助学生从实际问题中抽象数量关系。采用“例题示范—练一练巩固—分层训练”模式，课堂小结提炼“审设列解检答”步骤，学生能提升模型意识与应用能力，教师可直接用于教学，提高效率。

5.3.4 利用二元一次方程组解决实际问题 1 学习目标 1.寻找实际问题中的等量关系。 2.利用二元一次方程组解决鸡兔同笼类，增收节支，行程问题，体会二元一次方程组在实际问题中的作用。 类型一：鸡兔同笼类问题 学校组织了一次数学知识竞赛，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍对表现优异的班级进行奖励．若购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需280元；若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元．求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各多少元？ 1.审题，圈画关键信息 2.根据题意，列出等量关系 ① 2× + 1× = 280元 ② 3× + 2× = 480元 3.设未知数，列方程 解：设1副乒乓球拍x元，1副羽毛球拍y元，由题意得： 乒乓球拍的单价 羽毛球拍的单价 乒乓球拍的单价 羽毛球拍的单价 答：一副乒乓球拍 80 元，一副羽毛球拍 120 元. 3 5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 练一练 解:设每头牛值“金”x两,每头羊值“金”y两, 由题意得： 5x+2y=10 2x+5y=8 解得 x= y= 答:每只牛值”金” 两,每只羊值”金” 两. 4 类型二：增收节支问题 某工厂去年的利润(总产值-总支出)为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20％，总支出比去年减少了 10％，今年的利润为 780 万元.去年的总产值、总支出各是多少万元? 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 今年 1.审题，圈画关键量 2.找等量关系 ①去年的总产值 - = 200 万元 ② - 今年的总支出 = 780 万元 3.根据等量关系，设未知数，填写下列各表，列出方程 x y 200 (1 + 20﹪)x (1 - 10﹪)y 780 解：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元 去年的总支出 今年的总产值 1.今年的总产值=去年的总产值×（1+20％） 2.今年的总支出=去年的总支出×（1-10％） 5 解：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有 x - y = 200 (1 + 20﹪)x - (1 - 10﹪)y = 780 因此，去年的总产值是 2000 万元，总支出是 1800万元. 解得 x = 2000 y = 1800 练一练 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价 15%，乙商品提价 10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了 5%. 求甲、乙两种商品原来的单价. 1.审题，圈画关键量 2.找等量关系 ①甲原来的单价  +               = 100 元 ②               + 乙现在的单价 = 元   3.根据等量关系，设未知数，填写下列各表，列出方程 解：设甲原来的单价为x 元，乙原来的单价为 y 元   甲 乙 单价和/元 原来的单价/元       现在的单价/元         乙原来的单价 甲现在的单价 100×（1-5％） 1.甲现在的单价=甲原来的单价×（1-15％） 2.乙现在的单价=乙原来的单价×（1+10％） x y 100 (1+10％）y (1-15％）x 100×(1-5％） 7 解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元. 根据题意，得 答：甲、乙商品原来的单价分别为 60 元，40 元. x＋y＝100， (1－15%)x＋(1＋10%)y＝100×(1－5%). 解得 x＝60， y＝40. 类型三：行程问题 火车以40m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s,其中火车全身都在隧道里的时间是20s, 求隧道和火车的长度. 1.画出线段图梳理本道题的关键信息 用时30s 隧道 用时20s 隧 道 2.根据线段图列出等量关系 ①隧道的长度+ =40×30 ② -火车的长度 =40×20 3.设未知数，列方程 解 ：设隧道的长度为x m,火车的长度为y m;根据题意得： 答：隧道和火车的长度分别是1000m和200m. 火车的长度 隧道的长度 9 小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h 的速度走平路，而后又以4 km/h 的速度上坡到达景区，共用了1.5h; 返回时，他先以12 km/h的速度下坡，而后以9km/h 的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min, 求从出发点到景区的路程。 练一练 1.出发点到景区的路程如何计算？ 平路的路程+上（下）坡路的路程 2.题目中有哪些等量关系？ ① 平路的时间+上坡路的时间=1.5 ②平路的时间 +下坡路的时间= ③上坡路的路程=下坡路的路程 3.平路的时间如何计算？ 上坡路的时间如何计算？ 下坡路的时间如何计算？ 4.设平路的路程为x km,上坡路的路程为y km. 10 解：设平路的路程为x km,上坡路的路程为y km，由题意得： 答：出发点到景区的路程为9km. 巩固训练 1.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 （　　） A． B． C． D． D 2.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是 （ ） B. A. C C. D. 巩固训练 3.小颖家离学校4800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ） A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km； C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km． A 巩固训练 4.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为_____________． x+y=10 6x+8y=68 5.某公司购买甲、乙两种货物，设甲、乙两种货物的进货价分别为x元和y元．若已知两种货物的进货价共30000元，则可列方程______________；若共获利3150元，已知甲种货物的利润率是10%，乙种货物的利润率是11%，则可列方程__________________，由此可得方程组__________________． x＋y＝30000 10%x＋11%y＝3150 x+y=30000 10%x+11%y=3150 巩固训练 6．古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证： 隔壁听到人分银，不知人数不知银． 只知每人五两多六两，每人六两少五两， 问你多少人数多少银？ 巩固训练 解：人数为x人，银为y两．则有方程： ①－②得：－x+11=0， 解得 x=11，y=61． 所以人有11人，银有61两． 巩固训练 7. 小明家种植水果，去年收支相抵后，结余1 200元；今年因为改进了种植技术，他家水果获得丰收，收入比去年增加5%，支出比去年减少15%，今年比去年多结余1 140元．如果设小明家去年收入x元，支出为y元。 巩固训练 项目 收入（元） 支出（元） 结余 去年     1 200 今年       （1）将有关的数据填写下表： 　　2340 x y （1+5%）x （1-15%）y （2）根据表格列方程组 巩固训练 解：设的甲速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时， 8. A,B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？ 答：甲速度为4千米/小时，乙的速度为5千米/小时. 4(x+y)=36 36-6x=2(36-6y) 根据题意得： x=4 y=5 解得：　　 巩固训练 课堂小结 1.如何去找等量关系？ 例如：利润=支出-收入；路程=速度×时间。 2.运用二元一次方程组解决问题的一般步骤有哪些 （1）审：弄清题意，明确已知量、未知量及数量关系； （2）设：选择两个适当的未知数用字母表示； （3）列：根据等量关系列出方程组； （4）解：解所列的方程组，求出未知数的值； （5）检：检验所求得的值是否正确和符合实际情形； （6）答：写出答案。 作业布置 1.必做题：课本126页第9题，127页第11题，自助餐作业基础部分 2.选做题：自助餐作业提升部分 $