精品解析：山东省济宁市兖州区2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度期中考试 高二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若过点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 3. 从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（ ） A. 和不互斥 B. 和互斥且不对立 C. 和不互斥 D. 和互斥且不对立 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l，m的方向向量分别为，，则l，m所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，在棱长为1的正方体中，那么直线与平面所成的角的余弦值是 （ ） A. B. C. D. 8. 已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（ ） A. “从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B. “甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C. “丁、戊至多有一人被录用”的概率为 D. “甲或乙被录用”的概率为 10. 已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 半径的取值范围是 C. 当时，线段长的最小值为 D. 当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 11. 如图1，在平行四边形中，，，，是中点，把沿直线翻折成（点位于平面上方），连接，，是中点，设平面与平面所成二面角为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，直线与平面所成的角的正弦值是 D. 当时，三棱锥外接球的半径最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为____________. 13. 已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是________． 14. 记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． （1）设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； （2）若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离. 18. 已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． （1）求圆的标准方程； （2）求r的值以及点A的坐标； （3）过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 19. 如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合），且满足，实数. （1）求三棱锥的体积. （2）若二面角的余弦值不超过，求实数的取值范围. （3）求四面体的外接球半径的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度期中考试 高二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若过点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率的定义及坐标公式列式求解. 【详解】由过点的直线的倾斜角为，得， 所以. 故选：D 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【详解】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 3. 从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（ ） A. 和不互斥 B. 和互斥且不对立 C. 和不互斥 D. 和互斥且不对立 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得样本空间，进而求得的样本点，可得结论. 【详解】这个试验的样本空间为， 则和互斥且对立，和互斥且但不对立． 故选：D. 4. 在空间直角坐标系Oxyz中，若异面直线l，m的方向向量分别为，，则l，m所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】l，m所成角的余弦值为==. 故选：D 5. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】从分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为： ，共10个样本点， 其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个. 所以数字之和是偶数的概率为. 故选：B 6. 在三棱锥中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】设， 则 ， 所以,解得． 故选：D 7. 如图，在棱长为1的正方体中，那么直线与平面所成的角的余弦值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合正方体的性质及边长，得出坐标关系，从而求出平面的法向量，再利用空间向量的余弦公式计算求解． 【详解】以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，，则， ． 故选：B． 8. 已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解. 【详解】设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24， ，化简后得，相减得，将，代入后化简可得. 故选：D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（ ） A. “从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B. “甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C. “丁、戊至多有一人被录用”的概率为 D. “甲或乙被录用”的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式，以及对立事件的概率求解即可. 【详解】由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙）， （甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊）， （乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，故A正确； 其中“甲，乙，丙至少有两人被录用”的所有不同的可能结果有（甲，乙，丙）， （甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），共7种， 故“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为．故B正确； 其中“丁，戊至多有一人被录用”的对立事件“丁，戊两人都被录用”的所有不同的可能结果有 （甲，丁，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共3种， 故“丁，戊至多有一人被录用”的概率为．故C错误； 其中“甲或乙被录用”的对立事件“甲与乙都未被录用”的所有不同的可能结果只有 （丙，丁，戊）这1种，故“甲或乙被录用”的概率为1－．选项D正确． 故选：ABD. 10. 已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 半径的取值范围是 C. 当时，线段长的最小值为 D. 当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用合并参数可求直线所过定点，利用点在圆内可求半径范围，利用垂直关系可求长的最小值，利用点到直线的距离可判断D. 【详解】由直线l：，可化为， 由方程组，解得，即直线过定点，A正确； 因为直线与圆总有两个公共点，得点在圆内部， 所以，解得，B不正确； 当时，圆的方程为，得圆心， 所以，可得线段长的最小值为，C正确； 当时，圆的方程为，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个， 所以到直线的距离为2，所以，D正确. 故选：ACD 11. 如图1，在平行四边形中，，，，是中点，把沿直线翻折成（点位于平面上方），连接，，是中点，设平面与平面所成二面角为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，直线与平面所成的角的正弦值是 D. 当时，三棱锥外接球的半径最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可得为平面与平面所成二面角的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法计算可判断ABC；由题意可得，三棱锥外接球的半径最大，求解可判断D. 【详解】在图1中，因，，是中点，且，则， 由余弦定理，则， 所以，故在翻折后得图2中，， 所以为平面与平面所成二面角的平面角，即. 对于A，当时，为等边三角形， 如图以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 则，故A错误； 所以，故B正确； 对于C，当时，在轴上如图所示， 则，则， 又平面的一个法向量为， 则， 故直线与平面所成的角的正弦值是，故C错误； 对于D，因为在平面翻折过程中，因，， 且，平面，所以平面， 又平面，故平面平面. 设为的外心，分别为的中点， 则，又平面平面，平面， 所以平面， 设是三棱锥外接球的球心，因为是直角三角形，为的外心， 则平面，从而越大，则外接球半径越大， 从而的外心到平面的距离越大，进而可知需越大，即越大， 由，可知时，符合题意， 此时因， 设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人各射击一次，甲的中靶概率为0.9，乙的中靶概率为0.8.若甲、乙两人是否中靶互不影响，则甲、乙至少有一人中靶的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用间接法直接计算即可. 【详解】由题可知：甲、乙至少有一人中靶的概率为. 故答案为： 13. 已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是________． 【答案】相离 【解析】 【分析】根据两圆存在四条切线，得到两圆外离，的范围，再利用直线与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为1， 由两圆存在四条切线，故两圆外离，则． ，即或，可得或， 圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离， 直线与圆相离． 故答案为：相离. 14. 记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知正方体的棱长为1，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为，构建合适的空间直角坐标系得出相关点的坐标，应用向量法求点到平面的距离，进而确定圆的半径，并求出，利用点与圆的位置关系求的最小值. 【详解】由题意，得正方体的棱长为1，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为，则，令，可得， 故点到平面的距离为， 故圆的半径， 由得，， 故， 故的最小值为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的中点，进而根据两点式求解或求出斜率，再用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，根据可得，进而利用点斜式求解即可； （3）先求出的中点，根据题设易得，进而利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由已知得的中点，即， 解法一：边上的中线的两点式方程为，即； 解法二：边上的中线的斜率为， 所以中线的方程为：，即. 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 则直线的方程为，即. 【小问3详解】 由已知得的中点，即， 因为分别是线段的中点，所以，即， 又，所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． （1）设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； （2）若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件含有： 共12个样本点，故． 【小问2详解】 记事件为第局甲胜，，由题意知， 记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立，则 ， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为． 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若正方体的棱长为2，求点到平面的距离. 【答案】（1） ， 平面为平行四边形，， 平面，平面， 平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质，得出，再根据线面平行判定定理得出线面平行； （2）设正方体棱长为２，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用法向量求出线面角的正弦值； （3）利用向量法求出点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方体边长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 设直线与平面所成角为，则． 【小问3详解】 正方体棱长为2，同（2）中假设， ，平面的法向量， 点到平面的距离． 18. 已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． （1）求圆的标准方程； （2）求r的值以及点A的坐标； （3）过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设圆，利用待定系数法即可求解； （2）根据两圆的位置关系可求出，联立两圆的方程可求出点的坐标； （3）设直线的方程为，表示出两圆的弦心距进而表示出和，最后利用列方程即可求解. 【小问1详解】 设圆，由题意可知， 解得，所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为，因为两圆内切于点，所以， 解得或（舍去）， 所以圆的标准方程为， 联立，解得，所以点的坐标为. 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率显然是存在的且大于，设直线的方程为，即， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 所以，解得或（舍去）， 故直线的方程为. 19. 如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合），且满足，实数. （1）求三棱锥的体积. （2）若二面角的余弦值不超过，求实数的取值范围. （3）求四面体的外接球半径的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，，先求得底面的面积，再求得点到平面的距离，结合锥体的体积公式即可求解； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合二面角的向量求法，即可得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围； （3）设四面体的外接球心的坐标为，半径为，根据空间两点间距离公式，由，可得，即，再由，可得，结合二次函数的性质，可求得，又，再结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 根据题意，， 又， 因为在直三棱柱中，，， 当点是线段上的中点时，平面， 所以点到平面的距离，即三棱锥的高， 所以. 【小问2详解】 在直三棱柱中，，，， 则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 又，则， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则，，故， 又在直三棱柱中，，则平面， 所以平面的法向量为， 又二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为： ， 令，因为，则，故， 即，则，即，故，所以. 【小问3详解】 设四面体的外接球心的坐标为，半径为， 则， 故， 则，所以外接球心的坐标为， 代入得， 即， 则，当时，取得最小值为， 当或时，，所以， 所以，当时，取得最小值为， 当时，，所以，所以， 所以四面体的外接球半径的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $