精品解析：山东省济宁市兖州区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题

2025-2026学年度期中考试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知幂函数的图象经过点，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 4. 在同一坐标系中，函数与的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 的充要条件是 11. 已知函数与的定义域均为，若为奇函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为0 C. D. 若，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 黔江中学高一（1）班有学生55人全部参加数学和物理奥赛，其中数学奥赛获奖31人，物理奥赛获奖29人，还有3人两项都没获奖，则两项奥赛都获奖的有____________人． 13. 已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时，________. 14. 形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 ________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 16. （1）当时，求的最大值； （2）已知正数满足，求的最小值，并求出此时的值； （3）已知正数满足，求的最小值，并求出此时的值． 17. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 18. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求a和b的值； （2）若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 19. （1）已知，，求证：； （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． ①证明糖水不等式； ②已知是三角形的三边，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度期中考试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求集合B，再求两个集合的交集. 【详解】， 而， 所以. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否则，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题可知：原命题的否定为“，”. 故选：D 3. 已知幂函数的图象经过点，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解. 【详解】设幂函数，则，解得. 故，解得. 故选： 4. 在同一坐标系中，函数与的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系. 【详解】当时，与互为相反数， 即函数与的图象关于轴对称. 故选：B. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 6. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，进而求得函数的定义域，得到答案. 【详解】由函数，可得，则满足， 解得，且， 所以函数的定义域为． 故选：D． 7. 若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域求出新函数定义域判断B,D;取特殊值判断C,根据函数平移伸缩变换判断A. 【详解】由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D； 对于C，当时，，不满足图2，故C错误； 将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图， 最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2. 故选:A. 8. 已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可. 【详解】因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的基本概念进行判断即可. 【详解】对于A，与表示同一个函数，故A正确； 对于B，与对应法则不同，不表示同一个函数，故B错误； 对于C，与不表示同一个函数，故C错误； 对于D，与表示同一个函数，故D正确. 故选：AD 10. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 的充要条件是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AC；根据不等式和等式的性质，结合充分条件与必要条件的定义判断BD. 【详解】A：若，当时，，故A错误； B：当时，；当时，或. 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； C：当时，，故C正确； D：当且时，；当且时，； 当时，. 故“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数与的定义域均为，若为奇函数，且在上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为0 C. D. 若，则a的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由为奇函数结合赋值法可判断选项正误；对于B，由结合可得为偶函数，然后由在上单调递增结合对称性可判断选项正误；对于C，由结合赋值法，可得，，然后由B分析可判断选项正误；对于D，分类讨论与和的大小情况，结合单调性与对称性可判断选项正误. 【详解】对于A，因为奇函数，则， 令，得，故A正确； 对于B，，因为奇函数， 则为偶函数，即图象关于对称，又在上单调递增， 则在上单调递减，则，由（1），， 结合，令，可得，即的最小值为0，故B正确； 对于C，，令，得. 令，得.由B分析，，又在上单调递增， 则，故C正确； 对于D，若 ，因在上单调递减，， 则，不合题意； 若，由B分析， ，又，结合在上单调递增， 则； 若，则，结合在上单调递增，则恒成立. 综上可得，若，则，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 黔江中学高一（1）班有学生55人全部参加数学和物理奥赛，其中数学奥赛获奖31人，物理奥赛获奖29人，还有3人两项都没获奖，则两项奥赛都获奖的有____________人． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦恩图求解即可. 【详解】设两项奥赛都获奖的有人， 作出韦恩图，如图所示： 则有， 解得， 所以两项奥赛都获奖的有人. 故答案为：8 13. 已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时，________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析得时的原价，进而求得促销后的费用的解析式，从而得解. 【详解】因为当时，元， 所以. 故答案为：. 14. 形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 ________. 【答案】或##或 【解析】 【分析】分，和三种情况，分别求函数在上的最大值和最小值，从而可求出的值. 【详解】由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增. ①当，即时，在上单调递增，，解得； ②当，即时，在上单调递减，，解得(舍去)； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，或. 当时，， 解得或(舍去)，则，经验证，符合题意. 当时，， 解得或，即(舍去)或(舍去). 综上，的值为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 【答案】（1） （2），或. 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合A和B，再由交集的定义求； （2）根据集合的补集交集和并集的运算，直接求解即可； 【小问1详解】 ， ， 所以． 【小问2详解】 因为，, 所以， 又，所以． 由（1）知， 所以或. 16. （1）当时，求的最大值； （2）已知正数满足，求的最小值，并求出此时的值； （3）已知正数满足，求的最小值，并求出此时的值． 【答案】（1）最大值；（2）当时，取得最小值；（3）当时，取得最小值4. 【解析】 【分析】（1）利用配凑得出，结合基本不等式可求答案； （2）利用条件转化为，结合基本不等式及取等条件可求答案； （3）利用常值代换，转化为，结合基本不等式及取等条件可求答案. 【详解】（1）已知，则，那么. ， 根据基本不等式因为，所以， 当且仅当时等号成立. 那么，所以. 由，即，解得或（舍去，因为）. 因此，当时，取得最大值. （2）已知，则.故原式= 根据基本不等式因为，所以， 当且仅当时等号成立. 那么， 由且，联立方程组，解得， 因此，当时，取得最小值. （3）因为， 因为，所以， 当且仅当时等号成立.那么， 由且，联立方程组，解得. 因此，当时，取得最小值4. 17. 函数为定义在上的奇函数， 已知当时，. （1）当时，求的解析式； （2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）若，求a的取值范围． 【答案】（1）时， ； （2） 在上的单调递增， 证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. （2）确定在上的单调递增，任取，，且，计算得到证明. （3）确定为上的增函数，变换得到，根据函数的单调性解不等式得到答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上的单调递增，且函数为上的奇函数，故为上的增函数. 由，， 于是 ，解得，即所求为. 18. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求a和b的值； （2）若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）得到，1是方程的两根，由韦达定理得到a和b的值； （2）（i）因式分解得到，分，和三种情况，得到不等式解集； （ⅱ）变形，得到，则在上恒成立，故，求出解集即可. 【小问1详解】 由题意得，，1是方程的两根， 则，解得． 【小问2详解】 （i）若，则． 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为． （ⅱ）若，则． 令，则在上恒成立， 所以，即， 解得或， 即x的取值范围为． 19. （1）已知，，求证：； （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． ①证明糖水不等式； ②已知是三角形的三边，求证：． 【答案】（1） ， 将三式相乘得，， 当且仅当，时等号成立． （2）①， 因为，所以， 所以， 即． ②因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又． 所以， 所以原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）由基本不等式进行证明； （2）①由作差法进行证明；②由糖水不等式进行证明． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $