2.8直线与圆锥曲线的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理了直线与圆锥曲线位置关系的核心内容，按“位置判断-切线问题-弦长问题-中点弦与通径-面积问题”的逻辑层次呈现知识脉络，用结论表格归纳了切线方程、切点弦方程等重难点，清晰展现各知识点的内在联系。 讲义亮点在于题型训练的分层设计与方法指导的精准性，涵盖位置判断、切线方程求解、弦长计算等20余种题型，如通过“点差法”解决中点弦问题培养数学思维，用“根与系数关系法”处理弦长问题提升运算能力。例题与练习配套，基础题巩固知识，综合题发展创新意识，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习突破难点。

2.8直线与圆锥曲线的位置关系 一、知识点 1.直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去（或），得到关于（或）的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个焦点. 2.切线问题 1）代数法：将直线与曲线联立，由求解； 2）几何法（直线与圆）：求圆心到直线的距离，根据进行求解； 3）结论： 切线方程： ①过圆（）上一点作切线，切线方程为：（）； ②过椭圆（）上一点的切线方程为（）； ③过双曲线（）上一点的切线方程为（）； ④过抛物线（）上一点的切线方程为（）； 切点弦方程： ①过圆外（）一点作切线，切点弦方程为：（）； ②过椭圆（）外一点作切线，切点弦方程为（）； ③过双曲线（）外一点作切线，切点弦方程为（）； ④过抛物线（）外一点作切线，切点弦方程为（）； 3.弦长问题 1）弦长问题： 设直线与圆锥曲线的交于，两点， 则或 （为直线的斜率，）； 2）中点弦与弦中点问题 ①根与系数关系法：联立直线方程和曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数关系以及中点坐标公式解决； ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点分别代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，结合中点公式及斜率公式化简. 二、题型训练 1.直线与圆锥曲线位置的判断 例1.直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A. B. C. D. 例2.已知双曲线的方程为. （1）求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程； （2）当过点的直线与双曲线有两个公共点时，求直线斜率取值范围. 练习： 1.直线与椭圆的位置关系是（    ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 2.若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A. B. C. D. 或 3.已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）讨论直线与椭圆的公共点个数. 4.已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线，都无交点，则的值是（    ） A. B. C. D. 5.若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知直线与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.直线与圆锥曲线交点坐标问题 例3.已知椭圆，直线，判断直线与椭圆公共点个数，并求出公共点的坐标． 例4.已知为双曲线的左焦点，过点的直线交双曲线的左支于，两点，若，则直线的斜率为_______． 例5.抛物线的焦点为，直线与交于，两点，则的值为________. 练习： 1.如图，已知双曲线的离心率，顶点为和，设为该双曲线上异于顶点的任一点．    （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，证明：； （3）若的最大内角为，求点的坐标． 2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和. （1）求椭圆的标准方程； （2）求直线和椭圆的公共点的坐标． 3.已知，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线与直线的斜率之积为，且椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点，证明：，，三点共线． 4.设椭圆中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线与线段相交于点，与椭圆相交于，两点．若，则实数的值为______. 5.已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点．若，则_______，________． 6.已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，焦点为，点，，均在抛物线上． （1）写出该抛物线的方程及其准线方程； （2）若，求直线的斜率． 3.圆锥曲线的切线问题 例6.已直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程. 例7.已直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（     ） A. B. C. D. 例8.已知点和抛物线，求过点且与抛物线相切的直线的方程． 练习： 1.已知椭圆，抛物线的焦点为，过点作的一条切线与相交于，两点，则的面积为________． 2.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴，菱形的周长为，面积为，椭圆的焦距大于短轴长． （1）求椭圆的方程； （2）若是椭圆内的一点（不在的轴上），过点作直线交于，两点，且点为的中点，椭圆的离心率为，点也在上，求证：直线与相切． 3.已知抛物线与抛物线在第一象限交于点. （1）已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求； （2）设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值. 4.已知椭圆及点，过点与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则（ ） A. B. C. D. 5.圆上一点处的切线交抛物线于，两点，且满足，其中为坐标原点，求. 4.弦长问题 例9.已知圆和圆，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切.记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）过的直线交轨迹于，两点，点在直线上.若为以为斜边的等腰直角三角形，求的长度. 例10.已过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线. （1）求证：与双曲线有两个不同的交点，； （2）求线段的中点的坐标和. 例11.已知、是抛物线上的两点，是线端的中点，过点和分别作的切线、，交于点. （1）证明：轴： （2）若点的坐标为，求的面积. 注：抛物线在点处的切线方程为. 练习： 1.椭圆被直线截得的弦长为_______. 2.已知直线与椭圆交于，两点，且，则_______. 3.过点作斜率为的直线，与抛物线交于，两点，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 4.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）若，求点的坐标； （2）求线段长的最小值. 5.已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分． （1）求直线的方程； （2）求弦的长． 6.已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值. 7.已知椭圆的左右焦点分别为，，且的坐标为，点在椭圆上． （1）求的周长； （2）斜率为的直线与圆相切于第一象限，交椭圆于，两点，求的周长． 8.已知双曲线的实轴长为，右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 9.已知双曲线的焦距为，虚轴长为，左右焦点分别为和.直线与曲线交于不同的两点、. （1）求双曲线的方程及其离心率； （2）如果直线过点且，求直线的方程； （3）是否存在直线使得，两点都在以为圆心的圆上？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由. 10.设第一象限的点是双曲线上的一点，已知的一条渐近线的方程是． （1）求的值，并证明：； （2）若直线和曲线相交于，两点，求． 11.双曲线的一条渐近线方程为，过焦点且垂直于轴的弦长为． （1）求双曲线方程； （2）过双曲线的下焦点作倾角为的直线交曲线于、，求的长． 12.已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点， （1）当时，求直线的方程； （2）求证：以为直径的圆与抛物线的准线相切． 13.已知直线与抛物线相交于，两点，且为坐标原点． （1）求弦长； （2）判断是否成立，并说明理由． 14.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，点在第一象限，且. （1）求直线的斜率； （2）若，求抛物线的方程. 5.通径问题 例12.已椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（    ） A. B. C. D. 例13.已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ） A. B. C. D. 例14.过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（     ） A. B. C. D. 练习： 1.已知椭圆的焦点为、，直线与椭圆相交于、两点，当三角形为直角三角形时，椭圆的离心率等于（    ） A. B. C. D. 2.（多选）过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则（    ） A.椭圆方程为 B.椭圆方程 C.过焦点且长度为的弦有条 D.过焦点且长度为的弦只有一条 3.设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、.若为正三角形，则该双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 4.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（   ） A. B. C. D. 5.（多选）以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与轴垂直的弦）长为，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（    ） A. B. C. D. 6.弦中点与中点弦问题 例1.已知抛物线的焦点，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 例2.已知椭圆的离心率，点在该椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，是椭圆上关于直线对称的两点，求实数的取值范围. 练习： 1.已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 2.设椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点的坐标. 3.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，线段的中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 4.已知双曲线的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 5.已知双曲线的离心率为. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值. 6.过点作抛物线的弦，恰被点平分，则弦所在直线的方程为______. 7.已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线交动点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 8.已知双曲线的方程为. （1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程； （2）过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于，两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 9.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，（点在轴下方），点与点关于轴对称，若直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 10.已知直线与双曲线交于，两点. （1）若以线段为直径的圆过坐标原点，求实数的值； （2）是否存在这样的实数，使，两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 7.三角形与四边形面积问题 例15.已知椭圆的左焦点为，且椭圆上任意一点到的距离的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点的直线与椭圆相交于，两点，为椭圆上一点且满足，求四边形的面积. 例16.已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积. 练习： 1.已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）当的面积为时，求的值 2.椭圆，过的直线交椭圆于，两点，点在直线上.若为正三角形，求的面积. 3.在中，已知点，，边上的中线长与边上的中线长之和为；记的重心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若圆，，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与曲线的另一个交点分别是点，，求面积的最大值. 4.已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线（，）与椭圆相交于，两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 5.设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若为坐标原点，直线交曲线于，两点，求的面积. 6.已知双曲线，渐近线方程为，点在上；    （1）求双曲线的方程； （2）过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8直线与圆锥曲线的位置关系 一、知识点 1.直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去（或），得到关于（或）的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个焦点. 2.切线问题 1）代数法：将直线与曲线联立，由求解； 2）几何法（直线与圆）：求圆心到直线的距离，根据进行求解； 3）结论： 切线方程： ①过圆（）上一点作切线，切线方程为：（）； ②过椭圆（）上一点的切线方程为（）； ③过双曲线（）上一点的切线方程为（）； ④过抛物线（）上一点的切线方程为（）； 切点弦方程： ①过圆外（）一点作切线，切点弦方程为：（）； ②过椭圆（）外一点作切线，切点弦方程为（）； ③过双曲线（）外一点作切线，切点弦方程为（）； ④过抛物线（）外一点作切线，切点弦方程为（）； 3.弦长问题 1）弦长问题： 设直线与圆锥曲线的交于，两点， 则或 （为直线的斜率，）； 2）中点弦与弦中点问题 ①根与系数关系法：联立直线方程和曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数关系以及中点坐标公式解决； ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点分别代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，结合中点公式及斜率公式化简. 二、题型训练 1.直线与圆锥曲线位置的判断 例1.直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 当时，曲线，即，双曲线右半部分； 一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行； 当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示：    根据图像知有个公共点. 故选：B 例2.已知双曲线的方程为. （1）求与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程； （2）当过点的直线与双曲线有两个公共点时，求直线斜率取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 由已知可设双曲线方程为， 又双曲线过点，即，解得， 故双曲线方程为，即； (2) 解：设直线的方程为，即， 联立得， ， 解得：且， 综上所述：. 练习： 1.直线与椭圆的位置关系是（    ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 【答案】A 【解析】 方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 故选：A. 2.若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 圆的圆心，半径为， 因为直线与圆没有公共点， 所以圆心到直线的距离大于半径，得，即， 所以，则点在椭圆内部， 所以过点的直线与椭圆必有2个公共点. 故选：C. 3.已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）讨论直线与椭圆的公共点个数. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】 （1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为， 可知，，解得， 所求椭圆的方程为； （2）由可得， ， 当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点； 当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点； 当即或时，直线与椭圆相离，无公共点； 综上所述， 当时，直线与椭圆只有一个公共点； 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆无公共点. 4.已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线，都无交点，则的值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵的离心率为，∴， ∴双曲线，的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 而直线与双曲线，都无交点，则. 故选：B. 5.若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由得，当，即或时，直线与椭圆有两个公共点，故选：C. 6.已知直线与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为直线方程为，所以直线恒过定点， 因为曲线的方程为，所以曲线表示椭圆，又因为直线与曲线恒有公共点，所以点在椭圆内或椭圆上，即，所以. 2.直线与圆锥曲线交点坐标问题 例3.已知椭圆，直线，判断直线与椭圆公共点个数，并求出公共点的坐标． 【答案】公共点有个，公共点坐标为 【解析】 由得， 即，解得， 所以直线l与椭圆有一个公共点，且公共点坐标为.    例4.已知为双曲线的左焦点，过点的直线交双曲线的左支于，两点，若，则直线的斜率为_______． 【答案】 【解析】 设， 由双曲线，可得， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，代入解得， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 例5.抛物线的焦点为，直线与交于，两点，则的值为________. 【答案】或 【解析】 抛物线的焦点，准线为， 由，整理得， 解之得或，则或 则或， 则或 故答案为：或 练习： 1.如图，已知双曲线的离心率，顶点为和，设为该双曲线上异于顶点的任一点．    （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，证明：； （3）若的最大内角为，求点的坐标． 【答案】（1） ；（2）证明过程见解析；（3），，或 【解析】 （1）由题意得，解得，故， 故双曲线的标准方程为； （2）设 ，则， ； （3）若中，且点在第一象限， 则此时，直线的斜率为，故直线的方程为， 联立，可得，解得，， 因为P为该双曲线上异于顶点的任一点，所以舍去，满足要求， 将代入得，， 所以此时点坐标为， 若，且点在第四象限，同理可得点坐标为， 若，可得点坐标为或， 若，由（2）知，即直线的斜率同号，所以只能为锐角，所以不可能为， 综上：点坐标为，，或. 2.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和. （1）求椭圆的标准方程； （2）求直线和椭圆的公共点的坐标． 【答案】（1） ；（2）， 【解析】 （1）设椭圆C的方程为且， 椭圆C过两点和， 则且，解得， 故椭圆C的标准方程为． （2）由消元得，解得或， 当时，；当时，， ∴直线和椭圆C的公共点的坐标为 3.已知，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线与直线的斜率之积为，且椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点，证明：，，三点共线． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 （1）令，则，又，则， 所以，即，， 由在椭圆上，则， 联立以上两式，可得，故椭圆C的标准方程为. （2）由题设，直线、斜率存在且不为0，， 令，则，故，，    所以，联立，整理得， 显然，则，则， 由，，即， 所以A，N，Q三点共线. 4.设椭圆中心在坐标原点，，是它的两个顶点，直线与线段相交于点，与椭圆相交于，两点．若，则实数的值为______. 【答案】或 【解析】 依题意得椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为，. 如图，    设D，E，F三点的坐标分别为，，，其中， 由得，则满足方程， 故，由知， 得， 由点D在直线AB上，知，即， 所以，化简得，解得或. 故答案为：或 5.已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点．若，则_______，________． 【答案】； 【解析】 设，易知， 由直线与抛物线方程联立得， ∴，   ① 由抛物线的标准方程及定义可知：，， ∴．    ② 由①②得， 则，，， 由余弦定理得，. 故答案为：， 6.已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，焦点为，点，，均在抛物线上． （1）写出该抛物线的方程及其准线方程； （2）若，求直线的斜率． 【答案】（1）；；（2） 【解析】 （1）由已知条件，可设抛物线的方程为； 点在抛物线上， ，解得． 故抛物线的方程是，其准线方程是． （2）， ， ∵A、B在抛物线上，∴， 由①②③④联立可得，则， 由③－④得：， 即． 3.圆锥曲线的切线问题 例6.已直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程. 【答案】或或（只需写一条） 【解析】 圆的圆心坐标为，半径为，椭圆中，，它们的图象如下图：    由图可知，或与圆和椭圆同时相切， 即符合条件的的方程可以为或 假设公切线斜率存在且不为零时方程为，由图可知 所以① 由得 由得② 由①②解得 故答案为： 或或（只需写一条） 例7.已直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 直线恒过，双曲线渐近线为：，左顶点，， 直线与双曲线有且只有一个公共点， 有两条与渐近线平行，另外两条与左支相切． 所以则的不同取值的个数为4个． 故选：． 例8.已知点和抛物线，求过点且与抛物线相切的直线的方程． 【答案】或 【解析】 当直线l的斜率不存在时，由直线l过点可知，直线l就是y轴，其方程为． 由消去未知数x得．这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线与抛物线C相切． 如果直线l的斜率存在，则设直线l的方程为． 由方程组 消去x，整理得．为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有且， 因此可解得． 此时直线l的方程为，即． 综上可知，直线l的方程为或． 练习： 1.已知椭圆，抛物线的焦点为，过点作的一条切线与相交于，两点，则的面积为________． 【答案】 【解析】 由抛物线：的焦点为，可得，即抛物线：， 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立，整理得， 又直线l为的一条切线，则，解得， 则直线l的方程为或，两条直线关于x轴对称， 不妨取直线l的方程， 设，，如图所示， 联立，整理得， 所以，， 所以． 故答案为：． 2.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴，菱形的周长为，面积为，椭圆的焦距大于短轴长． （1）求椭圆的方程； （2）若是椭圆内的一点（不在的轴上），过点作直线交于，两点，且点为的中点，椭圆的离心率为，点也在上，求证：直线与相切． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 （1）菱形的周长为，面积为，，又， 或，又椭圆的焦距大于短轴长，即，， ，则椭圆的方程为：. （2）由题意知：直线的斜率必然存在，可设其方程为：， 由得：， 设，则，即， ，， ，； 椭圆的离心率为，，解得：， ， 由得：， ， 在椭圆上，，整理可得：， ，直线与相切. 3.已知抛物线与抛物线在第一象限交于点. （1）已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求； （2）设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为 【解析】 （1）由得，设， 因为的中点坐标为，所以， 解得. （2）   联立，解得或， 所以， 所以直线的斜率. 设直线的方程为. 联立，消去得， 因为直线与抛物线相切， 所以，即， 若，则，不符合题意， 所以，即，① 联立，消去得， 因为直线与抛物线相切， 所以，即，② 由①②可得，所以， 故为定值，该定值为0. 4.已知椭圆及点，过点与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为，与椭圆方程联立得，消去，整理得，由，得，从而，因为直线交轴的负半轴于点，所以，又，所以，，则，故，故选B. 5.圆上一点处的切线交抛物线于，两点，且满足，其中为坐标原点，求. 【答案】 【解析】 若切线斜率不存在，将代入中得，则，，因为，所以，不符合题意，舍去. 若切线斜率存在，设切线方程为.联立，消去得，设，，则，，因为，所以，所以，即，即，又，，所以，所以，因为，所以，所以直线恒过定点，而切线方程为，所以， . 4.弦长问题 例9.已知圆和圆，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切.记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）过的直线交轨迹于，两点，点在直线上.若为以为斜边的等腰直角三角形，求的长度. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）由题设且半径，且半径， 所以，即圆在圆内， 设，又为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，且半径为， 所以， 则. 所以轨迹的方程为. （2）由题意，直线的斜率一定存在，设直线为， 由，即在椭圆内，联立椭圆方程整理得：， 所以，且， 则 ， 又，则中点， 所以线段垂直平分线为，令，则，故交点坐标， 由为以为斜边的等腰直角三角形， 所以 则，则， 所以，故.    例10.已过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线. （1）求证：与双曲线有两个不同的交点，； （2）求线段的中点的坐标和. 【答案】（1）证明见解析；（2）， 【解析】 （1）由双曲线方程知：，则， 由得：，则， 与双曲线有两个不同的交点. （2）设，， 由（1）得：，，； ； . 例11.已知、是抛物线上的两点，是线端的中点，过点和分别作的切线、，交于点. （1）证明：轴： （2）若点的坐标为，求的面积. 注：抛物线在点处的切线方程为. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 （1）证明：设、，若，则，即点、重合，不合乎题意， 所以，，且的中点为， 由题意可知，直线的方程为，直线的方程为， 联立直线、的方程得，可得， 所以，点、的纵坐标相等，故轴. （2）解：因为点的坐标为， 由（1）可知，，可得， ，可得， 由于轴，则 ， 即的面积为. 练习： 1.椭圆被直线截得的弦长为_______. 【答案】 【解析】 由消去并化简得，设直线与椭圆的交点为，，则，，所以弦长. 2.已知直线与椭圆交于，两点，且，则_______. 【答案】 【解析】 设，，由，消去并化简得，所以，，由，得，所以，所以，即，化简得，所以，所以。 3.过点作斜率为的直线，与抛物线交于，两点，则弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设，两点的坐标分别为，，由直线的斜率为，且过点得直线的方程为，代入抛物线方程得，整理得，则，，所以. 4.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）若，求点的坐标； （2）求线段长的最小值. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 由，得，其准线方程为，焦点，设，. （1）由抛物线的定义可知，，从而，代入，解得，故点的坐标为或. （2）当直线的斜率存在时，直线的方程为.与抛物线方程联立，消去整理得，因为直线与抛物线相交于，两点，所以，，则，由抛物线的定义可知，，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与抛物线相交于点，，此时，所以，即线段长的最小值为. 5.已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，弦被点平分． （1）求直线的方程； （2）求弦的长． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）设交点坐标， 因为弦被点平分， 所以 又， 两式相减得：）， 所以直线的斜率， 故直线的方程为 （2）由（1）可知，与椭圆方程联立， 所以， 由弦长公式可知. 6.已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）由题意得, 解得,，， ∴椭圆的方程为 . （2）因为，所以设直线的方程为，，. 联立得得 ， 又直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，∴ ∴， ∴ 故当，即直线过原点时，最大，最大值为. 7.已知椭圆的左右焦点分别为，，且的坐标为，点在椭圆上． （1）求的周长； （2）斜率为的直线与圆相切于第一象限，交椭圆于，两点，求的周长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由题得，得， 所以椭圆C的方程为， 所以， 又，所以的周长为6． （2）设直线AB的方程为， 因为AB与圆相切，所以，所以． 由得， 设，，则，，      所以． 又， 同理， 所以． 所以的周长为． 8.已知双曲线的实轴长为，右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. （2）由，得， 则， 设，，则，， 所以. 9.已知双曲线的焦距为，虚轴长为，左右焦点分别为和.直线与曲线交于不同的两点、. （1）求双曲线的方程及其离心率； （2）如果直线过点且，求直线的方程； （3）是否存在直线使得，两点都在以为圆心的圆上？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）或或；（3）存在，可取不等于的一切实数 . 【解析】. （1）由题意得，，所以，所以， 所以双曲线的方程为，其离心率为； （2）设，联立消y得：， 设，则，， 所以 ，所以，解得 或，所以直线方程或或； （3）当时，可取不等于0的一切实数； 当时，联立方程消y得：， 设，则，，， 所以中点的横坐标为，代入直线得，由题意，所以， 化简得，代入得：，解得或， 又，所以，所以或，即， 综上，可取不等于0的一切实数. 10.设第一象限的点是双曲线上的一点，已知的一条渐近线的方程是． （1）求的值，并证明：； （2）若直线和曲线相交于，两点，求． 【答案】（1），证明见解析；（2） 【解析】 （1）的渐近线方程为，故， 双曲线方程为，在双曲线上，所以， 要证，只需证，由于，若，显然成立，若时，只需要证明，即证，因此只需要证明，由，得，而，故成立，因此 （2）联立直线与双曲线方程， 设,则，所以由弦长公式得：， 11.双曲线的一条渐近线方程为，过焦点且垂直于轴的弦长为． （1）求双曲线方程； （2）过双曲线的下焦点作倾角为的直线交曲线于、，求的长． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以, 双曲线的上焦点为，在中令得，所以， ∴, ∴双曲线方程为; （2）过双曲线的下焦点且倾角为的直线斜率为，直线方程为, 代入双曲线方程可得，， 设，故， 故的长为6. 12.已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点， （1）当时，求直线的方程； （2）求证：以为直径的圆与抛物线的准线相切． 【答案】（1） 或；（2）证明见解析 【解析】 （1）解法1：由题意，可得，， 当l斜率不存在时，l为，由得，故，与题意不符． 当直线l斜率存在时，设， ∴， 设则， 根据抛物线的定义可得，， 则，解得． ∴直线l的方程为或． 解法2：由题意，可得，∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设， 则， 设则 ∴，解得． 则直线l的方程为或． （2）几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，设，过M作MN⊥准线a于N，过A作⊥准线a于，过B作⊥准线a于， 根据梯形的性质和抛物线的定义可得，即得证． 代数法：设，弦AB的中点为M，则M为以AB为直径的圆的圆心，其横坐标为， ∵直线l与抛物线相交于A，B，∴l斜率存在时，斜率不为0，故可设， 则， 则 ， 则M到准线的距离为． 又， 故，即以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切． 13.已知直线与抛物线相交于，两点，且为坐标原点． （1）求弦长； （2）判断是否成立，并说明理由． 【答案】（1） ；（2）不成立，理由见解析 【解析】 （1）设， 则． 联立方程组， 消去y，整理可得， 由韦达定理可知 所以， 因此，从而可知． （2）设，则， 因此． 又因为由（1）可知 ， ， 所以， 所以不成立． 14.已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，点在第一象限，且. （1）求直线的斜率； （2）若，求抛物线的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）解：设 因为，所以到准线的距离为 即，所以, 代入抛物线方程可得，即， 又因为，所以直线的斜率为； （2）解：由（1）知，直线的斜率为， 设直线的方程为， 则， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以该抛物线方程为. 5.通径问题 例12.已椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由，得， 所以， 所以，， 当时，，解得， 因为轴，所以， 所以， 设到直线的距离为， 因为，所以， 解得， 故选：A 例13.已已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意可知双曲线方程为且， 解得， 所以双曲线的标准方程为， 故选：B 例14.过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条通径与轴垂直， 且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点， 因为圆的圆心为，半径为，所以该圆与轴垂直的通径的右端点为， 即抛物线经过点，则，即. 故选：C.    练习： 1.已知椭圆的焦点为、，直线与椭圆相交于、两点，当三角形为直角三角形时，椭圆的离心率等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 将代入椭圆方程的方程得，可得，则， 由对称性可知，当三角形为直角三角形时，则该三角形为等腰直角三角形， 因为为线段的中点，则，可得，即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得. 故选：B. 2.（多选）过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则（    ） A.椭圆方程为 B.椭圆方程 C.过焦点且长度为的弦有条 D.过焦点且长度为的弦只有一条 【答案】BC 【解析】 因为过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为， 所以，且，得， 则，解得 因此椭圆的方程为，因此A错误，B正确； 因为过焦点且长度为的弦所在直线的斜率显然存在，且不为， 所以设直线的方程为，直线与椭圆交于，， 则． 由，得， ，，， 则 ， 由，得，即， 即直线的方程为，因此C正确； 因为椭圆的长轴长为，而， 所以过焦点且长度为的弦不存在，因此D错误． 故选：BC． 3.设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、.若为正三角形，则该双曲线的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 不妨设点、，则、， 所以， ，同理可得， 由题意可得，即，所以，， 因此，双曲线关于轴对称，故点、关于轴对称， 将代入双曲线方程可得，解得，则， 由双曲线的定义可得 因为为等边三角形，则，即，则， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：B. 4.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由已知，双曲线的通径长， 故选：B. 5.（多选）以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与轴垂直的弦）长为，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 由题意，若 ，则焦点为，故，所以，即； 若，则焦点为，故，所以，即； 综上，，则. 故选：AB 6.弦中点与中点弦问题 例1.已知抛物线的焦点，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由抛物线的准线方程为，由抛物线的定义及题意可知，解得，所以抛物线的方程为. （2）方法一：由（1）得抛物线的方程为，焦点，设，两点的坐标分别为，，，则，两式相减，整理得 ，因为线段中点的纵坐标为，所以这种的斜率，所以直线的方程为，即； 方法二：由（1）得抛物线的方程为，焦点，由题意知直线得斜率不为零，故可设直线的方程为，联立，消去，整理得，，设，，，因为线段中点的纵坐标为，，解得，所以直线的方程为，即. 例2.已知椭圆的离心率，点在该椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，是椭圆上关于直线对称的两点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由题意知，即，，将点代入椭圆的方程，可得，所以，，所以，，所以椭圆的标准方程为 （2）设，是椭圆上关于直线，且恒过定点，则，因为点，在椭圆上，所以，，所以，化简可得，即，所以，又因为的中点在上，所以，所以，由，得，所以或，解得，或，即的取值范围是. 练习： 1.已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题可知为中点的弦所在的直线斜率存在且不为，设直线方程为，与椭圆方程联立，消去得，设直线与椭圆交点坐标为，，因为抛物线中点坐标为，所以，由一元二次方程根与系数关系得，解得，所以，所以，故选：C. 2.设椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点的坐标. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）将代入椭圆的方程得，所以，又，得，即，所以，所以椭圆的方程为； （2）过点，且斜率为的直线方程为，设直线与椭圆的交点为，，将直线的方程代入椭圆的方程，得，即，则，，，即所截得线段中点的坐标为. 3.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，线段的中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设双曲线方程，，，将代入双曲线方程，整理得，由一元二次方程根与系数关系得，则，又，所以，，所以双曲线的方程是，故选B. 4.已知双曲线的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）由双曲线的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，可设双曲线的方程为，代入，可得，所以双曲线的标准方程为； （2）假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为，设是先的中点，设，，则，，因为点，在双曲线上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即，两式相减得，所以，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即，联立直线与双曲线方程得，消去得，显然，所以直线与双曲线无交点，所有直线不存在，故不存在被点平分的弦. 5.已知双曲线的离心率为. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由题意得，所以，所以，即，所以所求双曲线的渐近线方程为； （2）由（1）得当时，，双曲线的方程为，设，两点的坐标分别为，，线段的中点为，由得，所以，，又因为点在圆上，所以，所以. 6.过点作抛物线的弦，恰被点平分，则弦所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】 方法一：设，，则有，两式做差得，因为是弦的中点，所以，，代入得，即，所以直线的斜率， 所以所求弦所在直线的方程为，即. 方法二：设弦所在直线的方程为，由，消去得，此方程的两根就是，两点的纵坐标，由一元二次方程根与系数关系和中点坐标公式，得，又，所以，所以所求弦所在直线的方程为. 7.已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点的直线交动点的轨迹于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设，因为，所以，化简得，即为动点的轨迹方程； （2）设，，当直线轴时，直线的方程为，则，，此时线段的中点不是点，不符合题意. 故设直线的方程为，将，代入得，两式相减并化简得，所以，所以直线的方程为，即. 8.已知双曲线的方程为. （1）求以为中点的双曲线的弦所在直线的方程； （2）过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于，两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）因为点在双曲线内，所以过点的直线一定与双曲线有两个交点，设以为中点的弦的两端点为，，则有，，根据双曲线的对称性知，由点，在双曲线上，得，，两式相减得，所以，所以，即以为中点的弦所在直线的斜率，故所求中点弦所在直线的方程为，即； （2）假定直线存在，采用（1）的方法求出直线的方程为，即，由，消去得，，无实根，因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在. 9.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，（点在轴下方），点与点关于轴对称，若直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 抛物线的焦点为，设，，，则可设直线的方程为，联立方程，得，，则，，直线的斜率，故直线的斜率为，故选C. 10.已知直线与双曲线交于，两点. （1）若以线段为直径的圆过坐标原点，求实数的值； （2）是否存在这样的实数，使，两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在 【解析】 （1）由消去得，依题意，解得，且，设，，则，因为以线段为直径的圆过原点，所以，即，因为，所以，所以，解得； （2）假设存在实数，使，两点关于直线对称，则直线与垂直，所以，所以直线的方程为，将代入得，所以线段的中点的横坐标为，纵坐标为，因为线段的中点不在直线上，不存在实数，使，两点关于直线对称. 7.三角形与四边形面积问题 例15.已知椭圆的左焦点为，且椭圆上任意一点到的距离的最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点的直线与椭圆相交于，两点，为椭圆上一点且满足，求四边形的面积. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）因为椭圆的左焦点为，可得①， 又因为椭圆上任意一点到的距离的最大值为3，可得②， 由①②解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线与轴垂直时，点不在椭圆上，显然不满足条件； 当直线不与轴垂直时，设直线的方程为， 由，消去得， 则，可得， 则， 若点满足，则， 又因为点在椭圆上，则，即， 化简得，即，解得， 所以， 又因为，不妨设中点为， 则，故， 所以四边形的面积.    例16.已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐标为，求的面积. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）设点的坐标为， 因为，，所以， 化简得： 所以的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；    设，，直线方程为， 与联立得：， 由且，解得且， 由韦达定理得， 因为线段中点在第一象限，且纵坐标为， 所以， 解得或（舍去）， 所以直线为， 所以， 所以， 点到直线的距离， 所以. 练习： 1.已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，. （1）求椭圆的方程； （2）当的面积为时，求的值 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由椭圆得，解得，所以椭圆的方程为； （2）由得，，设点，的坐标分别为，，则，，，，所以，又因为点到直线的距离，所以的面积，由，解得 2.椭圆，过的直线交椭圆于，两点，点在直线上.若为正三角形，求的面积. 【答案】 【解析】 设，，，线段的中点为，联立，整理可得， 所以，则，而，由，解得，所以，即的面积为. 3.在中，已知点，，边上的中线长与边上的中线长之和为；记的重心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若圆，，过坐标原点且与轴不重合的任意直线与圆相交于点，，直线，与曲线的另一个交点分别是点，，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设的中点为，的中点为， 所以，， 所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长，的椭圆. 所以，所以，， 所以曲线的方程为.    （2）设直线为（不妨设），设，， 所以， ， ，解得（舍去），则， 由于是单位圆的直径，所以， 所以直线的斜率为，直线的方程为， 同理可求得，则， 由上述分析可知，而， 所以 ， 所以， 令，当且仅当时等号成立， 则， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值为.      4.已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线（，）与椭圆相交于，两点，且． ①求证：的面积为定值； ②椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）① 证明见解析；②不存在，理由见解析 【解析】 （1）由题意知，焦距，故，又，故， 所以，故椭圆C的方程为． （2）①由消去y，化简得：， 设，，则， ，， 故， 因为，所以， 所以， 坐标原点到直线l的距离为， 所以的面积为， 故的面积为定值． ②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则， 设，则， 又因为，即，得， 与矛盾， 故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形． 5.设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若为坐标原点，直线交曲线于，两点，求的面积. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为， 可得，整理得， 即曲线的方程为. （2）解：联立方程组，整理得， 设，，可得，， 所以， 又由点到直线的距离， 所以的面积. 6.已知双曲线，渐近线方程为，点在上；    （1）求双曲线的方程； （2）过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值. 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 （1），，依题意，， 所以双曲线的方程为. （2）依题意可知斜率存在，设方程为，，， ， ，①， ， 整理得. 1），，过舍去， 2），，过点， 此时，将代入①得， 与交于点，故（定值） 2 学科网（北京）股份有限公司 $