精品解析：吉林省长春市榆树市2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷

九年级第三次检测 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3. 如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，则图中的相似三角形共有（ ） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 7. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算： ________． 10. 若点和点均在二次函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 11. 若点与点关于y轴对称，则的值是________． 12. 在锐角三角形中，若、满足，则________． 13. 二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有________（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 14. 求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 15. 如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，求证：． 16. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求a的值和该二次函数的顶点坐标； （2）当时，求函数y的取值范围． 17. 将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； （2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是2的倍数的概率． 18. 图①、图②是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，将线段沿方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段；再在上画一点E，使； （2）在图②中，在的延长线上画一点Q，使． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标． 20. 敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，保持最佳的反射角度．图2是反射示意图，由反射原理，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．已知定口镜的长为12米，点为中点，定日镜绕点旋转，当入射光线与镜面的夹角为57度时，反射光线恰好照在吸热塔顶端处．此时镜面与支撑柱的夹角为60度，点到地面的距离是5米，的高度是8米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．求吸热塔的高度． 21. 【问题提出】 （1）如图1，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若． ①的值为__________；②连接，则的值为__________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是边长为9的正方形，是边上的一点，是对角线的中点．，连接，作交于点，连接．求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是菱形，是边上的一点，是对角线的中点，，且，则的值为__________． 22. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以，为边作矩形． （1）求的长； （2）当点在边上时，连接，求证：； （3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长； （4）当矩形是正方形时，直接写出的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、均为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接、． ①求点的坐标； ②求面积的最大值； （3）如图②，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次检测 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意； B、是一次函数，故B不符合题意； C、是二次函数，故C符合题意； D、是常数函数，故D不符合题意． 故选：C． 2. 小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查随机事件的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可求解； 【详解】解：小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是随机事件， 故选：D； 3. 如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等边对等角，解题关键是理清题中所给条件之间的关系． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，再由等边对等角得，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴, ∴， ∴， 故选：D． 4. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：根据题意得到新抛物线的解析式为：． 故选：A． 5. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 6. 如图，，，则图中的相似三角形共有（ ） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先根据，得出，，然后根据相似三角形的判定方法，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，共有4对相似三角形． 故选：C． 7. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．原来树的长度是的长．已知了的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：∵中，，； ； ． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点A横坐标为m，则，从而得出，将点坐标代入解析式求解． 【详解】解：把点代入中得， 解得， ∴， ∵点，四边形为正方形， ∴， 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简是解题的关键．先计算除法部分，利用根式的除法法则将除法转化为根号内的运算，化简后得到，再进一步化简为然后计算并化简为，最后进行减法运算。 【详解】解： 故答案为：． 10. 若点和点均在二次函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 根据关于轴的对称点为，当时，随的增大而减小，且，可得． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， 点关于轴的对称点为， 当时，随的增大而减小，， ． 故答案为：． 11. 若点与点关于y轴对称，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征，是解题的关键．根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列方程求解，得出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：2． 12. 在锐角三角形中，若、满足，则________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，解得和的值，结合锐角三角形条件确定和，再利用三角形内角和定理求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有________（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题等知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，由图象可得抛物线与轴有两个交点，则，利用对称得出抛物线与轴正半轴相交，确定，再由，结合得到，，即可判断①②；再将和代入中，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，抛物线与轴一个交点在和之间， ∴抛物线与轴另一个交点在和之间， ∴抛物线与轴正半轴相交，且，故③正确； ∴， ∵对称轴为直线，则，而， ∴，， ∴，， 故①错误，②正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的为②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 14. 求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 【答案】． 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解：原式 ． 15. 如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，求证：． 【答案】 解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定即可得到结论． 【详解】略 16. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求a的值和该二次函数的顶点坐标； （2）当时，求函数y的取值范围． 【答案】（1）a的值为1，该二次函数的顶点坐标为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的图象经过点，可以求得a的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； （2）根据和二次函数的性质，可以求得y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由上可得，a的值为1，该二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴当时，，当时，， 当时，该函数取得最小值， ∴当时，函数y的取值范围是． 17. 将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； （2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是2的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【小问1详解】 解：从中随机抽出一张牌，牌面数字所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种， ∴P（牌面是偶数）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图： 可知，共有种等可能的结果，其中恰好是的倍数的为：22，24，32，34，42，44，52，54，共有种， 18. 图①、图②是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，将线段沿方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段；再在上画一点E，使； （2）在图②中，在的延长线上画一点Q，使． 【答案】（1） 平移后的线段如图1所示： （2） 点Q即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，勾股定理与网格，相似三角形的判定与性质，平移作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格特征，作出线段，结合平行线的性质，证明，结合，即可作答． （2）运用勾股定理，，结合网格特征得出，结合平行线分线段成比例，即可作答． 【小问1详解】 解：在上取点F，使，连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ∴点E如图1所示． 【小问2详解】 解：如图2，在线段上取点D，使，然后取格点，连接并延长交的延长线即为点，由网格特征可得即， ∴ ∵， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，解一元二次方程和两点的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）由待定系数法即可求解； （）设点，则点，由，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 【小问2详解】 解：∵由（）得， 当时，， 解得：，， ∴点， 设点，则点，， ∵， ∴， ∴（舍去），， ∴点． 20. 敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，保持最佳的反射角度．图2是反射示意图，由反射原理，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．已知定口镜的长为12米，点为中点，定日镜绕点旋转，当入射光线与镜面的夹角为57度时，反射光线恰好照在吸热塔顶端处．此时镜面与支撑柱的夹角为60度，点到地面的距离是5米，的高度是8米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．求吸热塔的高度． 【答案】263米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是依题意作出辅助线． 如图过点作于点，进而推出角的度数，推出四边形是矩形，在 中，根据三角函数作答，再根据计算即可． 【详解】解：如图过点作于点， 根据题意，米， ， ，， ， ∵， ∴四边形是矩形， 米，米， 在中，， ， 米， 米， 答：吸热塔的高度为263米． 21. 【问题提出】 （1）如图1，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若． ①的值为__________；②连接，则的值为__________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是边长为9的正方形，是边上的一点，是对角线的中点．，连接，作交于点，连接．求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是菱形，是边上的一点，是对角线的中点，，且，则的值为__________． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形为矩形得，再根据同角的余角相等得，则，再根据相似三角形的性质即可求解； （）同（）理得出，则， 得到，过作交于，再解直角三角形，求即可； （3）在上取一点，使得，连接交于，连接，解直角三角形得到，再证，得到，继而得到，在直角三角形中求即可． 【详解】（）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ． 故答案为：；； （）四边形是边长为9的正方形，且， 则， 由（1）知， ，即，解得， 过作交于， 又在正方形中， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）在上取一点，使得，连接交于，连接， 四边形是菱形，， ，， ， ，， ， ， ，， 为等边三角形， ，，则， ， ， 又， ， ， ，即， ， ， ，解得，即， 在菱形中，， 为等边三角形， ， ， ，， ， ． 22. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以，为边作矩形． （1）求的长； （2）当点在边上时，连接，求证：； （3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长； （4）当矩形是正方形时，直接写出的长． 【答案】（1）6 （2）证明：如图①，连接DF，CE交于点O， ∵四边形为矩形， ∴点O为的中点， ∵点D为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）连接，交于点O，根据矩形性质得点O为的中点，从而得到为的中位线，最后根据中位线的性质即可得平行； （3）分两种情况：当时，为边的高，利用D为的中点求出，根据矩形性质，再利用三角函数求即可；当时，为边的中线，剩余步骤相同； （4）分两种情况：当点E在上时，连，设，根据正方形性质和D为的中点可推，，在中利用三角函数求即可；当点E在上时，根据正方形性质和D为的中点可推，由（2）可知边的高为，代入即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，如图②， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴在中，； 当时，如图③， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴在中，， 综上，的长为或； 【小问4详解】 解：当点E在上时，如图④，连，设， ∵矩形是正方形， ∴，，， ∴在中，， ∵点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， 解得； 当点E在上时，如图⑤， ∵矩形是正方形， ∴，， ∵点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为边的高， 由（2）可知边的高为， ∴， ∴在中，； ∴的长为或． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形、矩形的性质、三角形中位线的性质、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算等知识，解题的关键是正确做图结合分类讨论思想运用各知识点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、均为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接、． ①求点的坐标； ②求面积的最大值； （3）如图②，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①点；②的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）①过点作轴交于点，交轴于点，由得，当时，，则，，由，得，，从而得出点； ②求出直线的函数表达式为，设，则，，则，故有，然后通过二次函数的性质即可求解； （3）先求得解析式为，设，由在直线上方，，则，然后找出临界点，从而求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图，过点作轴交于点，交轴于点， 由得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ②设直线解析式为，代入， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，的最大值为； 【小问3详解】 解：设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 设， ∵在直线上方，， ∴， 如图，当点在抛物线上时，， ∴， 解得， ， 当与重合时，此时， 当与重合时，此时， ∵线段与抛物线有交点， ∴满足条件的的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $