吉林省长春市榆树市2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷

九年级第三次检测 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 小亮用商城娃娃机抓娃娃，则他第一次“抓到娃娃”的事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3. 如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，则图中的相似三角形共有（ ） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 7. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（　　） A. 4 B. C. 5 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算： ________． 10. 若点和点均在二次函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 11. 若点与点关于y轴对称，则的值是________． 12. 在锐角三角形中，若、满足，则________． 13. 二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有________（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 14. 求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 15. 如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，求证：． 16. 如图，已知二次函数的图象经过点． （1）求a的值和该二次函数的顶点坐标； （2）当时，求函数y的取值范围． 17. 将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； （2）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是2的倍数的概率． 18. 图①、图②是由的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图①中，将线段沿方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段；再在上画一点E，使； （2）在图②中，在的延长线上画一点Q，使． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若，求点E的坐标． 20. 敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，保持最佳的反射角度．图2是反射示意图，由反射原理，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．已知定口镜的长为12米，点为中点，定日镜绕点旋转，当入射光线与镜面的夹角为57度时，反射光线恰好照在吸热塔顶端处．此时镜面与支撑柱的夹角为60度，点到地面的距离是5米，的高度是8米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．求吸热塔的高度． 21. 【问题提出】 （1）如图1，四边形为矩形，点为边上的一点，连接，过作交边于点，若． ①的值为__________；②连接，则的值为__________． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是边长为9的正方形，是边上的一点，是对角线的中点．，连接，作交于点，连接．求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是菱形，是边上的一点，是对角线的中点，，且，则的值为__________． 22. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以，为边作矩形． （1）求的长； （2）当点在边上时，连接，求证：； （3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长； （4）当矩形是正方形时，直接写出的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、均为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接、． ①求点的坐标； ②求面积的最大值； （3）如图②，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 九年级第三次检测 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、填空题（每小题3分，共18分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】##75度 【13题答案】 【答案】②③④ 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 【14题答案】 【答案】． 【15题答案】 【答案】 解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ∴． 【16题答案】 【答案】（1）a的值为1，该二次函数的顶点坐标为； （2）． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 平移后的线段如图1所示： （2） 点Q即为所求： 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】263米 【21题答案】 【答案】（1）①；② （2） （3） 【22题答案】 【答案】（1）6 （2）证明：如图①，连接DF，CE交于点O， ∵四边形为矩形， ∴点O为的中点， ∵点D为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3）或 （4）或 【23题答案】 【答案】（1） （2）①点；②的最大值为 （3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $