河北省部分学校2025-2026学年高三上学期期中联考数学试题

高三年级上学期期中考试 数学参考答案 1.B因为A∩B={1,2},所以其子集个数为2=4. 2.C全称量词命题的否定是存在量词命题. 3A因为--8+.所以其对应的点位于第一象限 4D因为a+6=5,所以a+D+6-6所以，+音-(。十)[a+D+6]- +a。+],因为e>06>0,所以÷+a≥2合·a 6La+1 b 2=4,当 -少，即二”时等号度立，所以所求最小为告5- 且仅当a十 4+5=3 b 5.C因为1og,15∈(3,4，f)的周期为2，所以fog,15)=f0og,15-40=f(log将9).因 为fx)为偶函数，所以f(log:)-f(-1og1)=f(1og).因为当x∈(0,1)时， f)=2-1,所以fog:15)= 6.A因为AB=CD,BD=AC,AD=BC,所以可以把A,B,C,D四点放到长方体的四个顶 点上，则该长方体的体对角线就是蹴鞠的直径.设该长方体的长、宽、高分别为x,y,,蹴鞠 的半径为R,则(2R)2=x2+y2+z2,因为x2+y2=169,x2+之2=81，y2+z2=121,所以R2 -3g所以s-4R-37cm. 2 7.A因为f(x)在(0，十∞)上单调递减，所以f'(x)≤0在(0，十∞)上恒成立. 因为f'x)=nx+1-3ar,所以nx+1-3ar2≤0，即3a≥1+lh”恒成立. 令g)1n2,则g)-2x0-1 令g'()=0,得x=e÷,当x∈0，e)时，g'(x)>0,当x∈(e÷,十o)时，g'(x)<0, 所以g(x)在(0，e立)上单调递增，在(e言，十∞)上单调递减， 所以g=g心e-号所以≥号用空8 8.D由(m十n)2-7≥>mn+2m十am,得m2+(n-2)m≥-n2+an十7， 所以当m=1-2时，m2+(n-2)m取得最小值，最小值为(1-2)°+(n-2)(1-2)= 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 -+a-1所以-+n-12-2+m+7.因为0>0，所以a≤号a-8+1 n 因为g)-子-员+1在[4,8上单调递增，所以g)的最大值为g8》=6,放a的最大 值为6. 9.ABD因为Sn存在最小值，且S2o=S2o2s,所以a1<0,d>0,故A,B正确；因为S2o0= S2026,所以a2010十a2011十…+a2025十a2026 17(a200十a2）=17a20is=0,所以a20s=0,故 2 C不正确；因为S435 _4035(a1十a4s）=4035a2s=0,所以D正确。 2 10.ACD 由图可知A-1,f(0)=sim9=0.5,因为∈(0，受），所以g=石，故A正确， 因为是f)在y轴右侧的第一个零点，所以十晋=，得。=受，放fx)=sn(受女 +若).因为f(-)=sin(-)=-1≠0，所以点(-专，0)不是f(x)图象的对称中心， 故B不正确， 因为（号）=si血=1，所以直线x=号是(x)图象的对称轴，故C正确， 令-受+2张≤受十晋≤受+2xk∈乙解得-告+<<号+k,kE乙.令=0，得 一音<≤号，放D正确 11.BCD设点P(x,y),因为PA|=√2|PB|,所以√(x十1)+y2=√2/x2+(y-1),整理 得(x-1)2+(y一2)2=4，所以圆C的方程为(x-1)2+(y一2)2=4，故A错误. 因为PA|=√2|PB|,所以|PAI|PB|=√2|PB2.因为|PB|x=|BC|+r=√2+2，所以 (|PA|川PB)mx=√2(W2+2)2=8+6√2，故B正确. =1+a+2x名+6=0， 设A关于直线x+2y+6=0的对称点为A'(a,b),则 解得 6 a+1-2, a=-3·因为1MA1=MA'1,所以MA+MP=MA'1+MP,所以当A',C.M三点 b=-4. 共线时，|MA|+|MP|有最小值.因为|CA'|=√/(1+3)2+(2+4)=2√13，所以(|MA|+ |MP|)mm=2√/13一2，故C正确. 设P(1+2cos0,2+2sin0),0∈[0,2x),因为AB=(1,1),OP=(1+2cos0,2+2sin0),所 以A店.0币=3+2sin0+2os0=3+22sim(0+T）,所以当0=于时，A店.O泸有最大 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 值，最大值为3十2√2，故D正确， 12.(-∞，5]因为“x≤5”是“x<a”的必要不充分条件，所以a≤5. 13.√/31|2a-b1=(2a-b)2=√/4a2-4a·b+b=/31 14.6√6如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，记AB的中点为N,连接 MC,CN,NA1.平面A,MCN即为平面a,证明如下：由正方体性质可 A 知，A1MNC,则A1,M,C,N四点共面，记CC1的中点为F,连接 DF,易证DF⊥MC. 连接EF,则EF⊥MC,所以MC⊥平面DEF,则DE⊥MC, 同理可证，DE⊥VC,NC∩MC=C,则DE⊥平面A1MCN, 所以平面A,MCN即为平面a,且四边形A:MCN即为平面a截正方体ABCD-A1BC1D 的截面，因为正方体的棱长为2√，易知四边形A,MCN是边长为√15的菱形，其对角线 A,C=6.MN=26,所以其面积S=×6×26=65, 15.解：(1)因为3a-c=3 bcos C,所以3sinA-sinC=3 sin Bcos C,…1分 所以3sin(B十C)-sinC=3 sin Bcos C,整理得sinC=3 cos Bsin C,…3分 1 因为sinC≠0，所以cosB= 3 …4分 (2)因为a=3,c=5,cosB= 3, 所以6=a2+e2-2ac0sB=9+25-2X3X5×分-24.所以6=26.6分 因为asB=号，B∈0，x.所以nB=1-s5=2 , …7分 所以sin2B=2 sin Bcos B=4y2 9,cos 2B=2cosB-1=- 7 9· …9分 因为a=3.6=26,mB=22所以smA=4snB_ b 3 …10分 因为a<b,所以cosA=V1-sinA= 3 …11分 sin(A-2B)=sin Acos 2B-cos Asin 2B53 9. …13分 3 16.解：(1)因为l1h2,所以-4a-3(a-1)=0,解得a= …2分 经检验，当a=时，山，l,不重合，故a=7 …4分 (2)12与圆C相交，理由如下： 将l2的方程整理得(x十y)a一y一2=0， 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 (x+y=0, 解得y=一2 x=2, -y-2=0 所以l2恒过点(2，一2).…7分 因为(2一2)2+（一2十3）2<9，所以点(2，一2)在圆C内部，所以l2与圆C相交.…9分 (3)圆C的圆心为(2，一3)，半径为3. 因为|PM=√PC2一9，所以当|PC引最小时，|PM取得最小值.…12分 设圆C的圆心C(2,一3)到直线l1的距离为d, 则d=13X2-4X(-3)十12=6.所以川PM1m=√6-9=3V5.…15分 √/32+(-4)2 17.(1)证明：连接BD,交AC于F,连接EF.…1分 因为E为PD的中点，F为BD的中点， 所以EF为△PBD的中位线，所以EFPB.… 3分 因为EFC平面ACE,PB中平面ACE,所以PB平面ACE.…4分 (2)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥CD. 因为∠ADP=90°，CD∩DP=D,所以AD⊥平面PCD.…5分 因为CEC平面PCD,所以AD⊥CE.…6分 因为△PCD为等边三角形，且E为PD的中点，所以CE⊥DP.…7分 因为AD∩DP=D,所以CE⊥平面PAD.…8分 因为CEC平面ACE,所以平面ACE⊥平面PAD.…9分 (3)解：过点P作PO⊥CD,垂足为O,易知O为CD的中点.…10分 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD= CD,POC平面PDC,所以PO⊥平面ABCD.·11分 设AB的中点为Q,连接OQ,则OQ∥AD,OQ⊥平面PDC. 以O为坐标原点，O反，OC,OP的方向分别为x,y,之轴的正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AD=2,则 A(2,-1,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,3),E（0, -13 Γ22 12分 设m=9e)是平面4CE的法向量，因为C=(一2,2.0，a正-(-2,2号)。 n·AC=-2x+2y=0, 所以火 a=-2x+3+=0 令之=√3，得n=(1,1,W/3).…13分 取PC的中点M.连接DM,易知D成=(o,号，)为平面PBC的一个法向量.…14分 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 因为cos(Di,nm)= DM·n=3=5 1DM1nl√5X√5 5 所以平面ACE与平面PBC夹角的余弦值为。 …15分 18解：因为号+-2+1.所以当=1时，宁+ =3.…1分 因为a1=1,所以a2=4.…2分 当≥2时号+号=2m-1,所以号=2， …3分 所以引}k∈N)是首项为1，公差为2的等差数列，所以二=2k-1,即。-1= (2k-1)2. 紧}是首项为2.公差为2的等差数列，所以装=2k,即a=(2k),故a.=n.…5分 (2)因为2+1=2m+1=1.1 ama+1n2(n十1)2n2(n十1)2 …7分 所以8，=1-安-子+…+a十D=1an 1 …9分 (3)因为f(x)=√a+Va2x十√ax2+…十√an+ix”=1+2x+3.x2+…+(n+1)x", 所以f()-1+2×+3×(号)+…+(m+1D() …10分 因为2f()=1x+2x()+3×()》'+++1(2)。 -(》-1+(++》-+号-》 1- (m+1(）)=-2-(m-1(). 所以f(2)=2n-1D(受）)+4 0………………12分 不等式入a,<f()+4可化为 f()）+42m-1D(2)+8 2m-1D()+8 令g(n) n∈N*, 2n()+82n-1()+8()》'(m2+2)-8 则g(n十1)一g(n)= n+1 n n(n+1) …14分 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 当n=1时g2)-g1=-8<0,所以g2<g1: 15分 当n≥2时，g(n十1)-g(n)>0,所以g(n)>g(n-1)>…>g(3)>g(2), 所以g)=g(2)-2,故入的最大值为号 17分 19.解：1)因为x∈(1，十∞)，f(x)≤0，所以xhx≤2ae“对x∈(1，+∞)恒成立. 因为xlnx>0,所以a>0.…1分 由xlhx≤2ae,可得rnr2<axe,即Care,其中n>0.ar>0.… …3分 令h(x)=xe,x∈(0，+∞)， 因为h'(x)=(x十1)e>0,所以h(x)在(0，十∞)上单调递增. 不等式enx2≤axe"等价于hnx2)<h(ax),所以nx'≤ar,所以a≥2ln2 x …5分 令m(x)=21n2,则m'(x)=21-ln) 所以m(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减， 所以m()a-m(e-忌所以a的取值范周是[己，十o)。 …7分 (2)①因为g(x)=(x+1)ln(x+1)-tsin x,所以g'(x)=ln(x+1)+1-tcos x. h(）g(x),则'(）1Sn么，… a.当t≤0时，因为x∈(0，π)，所以(x+1)ln(x+1)>0,tsin x≤0，所以g(x)>0恒成立， 此时，g(x)在(0，π)内无零点.…9分 b.当0<t≤1时，因为x∈(0，π)，所以h'(x)>0,则g'(x)单调递增. 因为g'(x)>g'(0)=1-t≥0，所以g(x)单调递增.g(x)>g(0)=0, 此时，g(x)在(0，π)内无零点. …10分 c.当t>1时，因为x∈(0，π)，所以h'(x)>0,则g'(x)单调递增. 因为g(0)=1-t<0,g(）)=1+ln(2+1)>0,所以存在xo∈(0，)，使得g'(xo)=0, 所以当x∈(0，xo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(xo,π)时，g'(x)>0,g(x)单调 递增. 因为g(0)=0,所以g(xo)<0. 因为g(π)=（π十1）n(π十1)>0，所以g(x)在区间(xo,π)内有1个零点， 所以当t∈(-∞，1]时，g(x)在(0，π)内的零点个数为0， 当t∈(1，十∞)时，g(x)在(0，π)内的零点个数为1.…13分 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 ②证明：由①知，当t=1且x∈(0，π)时，g(x)=(x十1)n(x+1)-sinx>0,所以(x十1)ln(x +1)>sin a, 即·sinx<ln(x士1)…14分 令x-则，·n<n"计-aa+1)-na, 所以2nlln2-h1.号m号<h8-n2,…n开sin7lhaa+1)-ln, 2 所以吃n1叶号十叶at》.…7分 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】高三年级上学期期中考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与 解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何，直线与圆。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设集合A={2,1,一1}，B={0,1,2},则A∩B的子集个数为 A.2 B.4 C.6 D.8 2.命题“Vx∈Z,x|∈N”的否定是 A.Hx∈Z,|x|tN B.VrEz,xN C.3x∈Z,|x|￠N D.3xZ,Ix|∈N 61 3.在复平面内，复数干对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4已知e>0,6>0,且a+6=5则十十者的最小值为 A.9 B.6 C.4 D 5.已知函数f(x)是周期为2的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=2一1，则f(1og215)= A.16 1 B.14 C.15 n-8 6.蹴鞠（如下图所示），类似今日的足球运动，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某 鞠表面上的四个点A,B,C,D满足AB=CD=13cm,BD=AC=9cm,AD=BC=11cm, 则该鞠的表面积为 B.371πcm C.742πcm D.cm 【高三数学第1页（共4页）】 7.已知函数f(x)=xlnx一a.x3在(0，十∞)上单调递减，则a的取值范围是 A[,+∞) R[+】 C.ve,+oo) D.[e,+o∞) 8.对任意m∈R,存在n∈[4,8]，使得不等式(m+n)2一7≥mn十2m+an成立，则a的最大 值为 A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设{an}是公差d不为0的等差数列，其前n项和Sm存在最小值，且S2oo9=S2o26,则下列结 论正确的是 A.a1<0 B.d>0 C.a2019=0 D.S4035=0 10.如图，这是函数f(x)=Asin(ox十p)(w>0,p∈(0，)）的部分图象，则 A9=晋 Bfx)图象的一个对称中心为点（一青，0） Cf(x)图象的一条对称轴为直线=号 D.f(x)在(-1，)上单调递增 11.古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平 面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该 轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(一1,0)和B(0,1),且该平面内的点P 满足|PA=√2|PB,记点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的是 A.圆C的方程为(x一1)2+(y+2)2=4 B.IPA|IPB|的最大值为8+62 C.M为直线x+2y+6=0上一动点，则|MA|+MP|的最小值为2√I3-2 D.若O为坐标原点，则AB·OP的最大值为3十22 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若“x≤5”是“x<a”的必要不充分条件，则a的取值范围是 13.已知向量a,b满足a=3,b=5,且a,b的夹角为60°，则2a一b|= 14.在棱长为2W3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的 中点，过AM的平面a与直线DE垂直，则平面a截正方体ABCD-AB1C1D1的截面面 积为 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且3a一c=3 bcos C (1)求cosB; (2)若a=3,c=5,求b和sin(A-2B)的值. 16.(15分) 已知直线l1:3x-4y+12=0,直线l2:ax+(a-1)y-2=0,圆C:(x-2)2+(y+3)2=9. (1)若l12,求a的值； (2)判断L2与圆C的位置关系，并说明理由； (3)已知P为直线l1上一动点，过P向圆C作切线，切点为M,求|PM的最小值 17.(15分) 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PCD为正三角形，∠ADP=90°，E为PD的 中点. (1)证明：PB平面ACE (2)证明：平面ACE⊥平面PAD. (3)求平面ACE与平面PBC夹角的余弦值， 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知数列aa=1,%+2n+1 (1)求数列{am}的通项公式； (2)求数列 2n+1) 的前n项和Sn; anan+l (3)设函数f(x)=a+a2x十√ax2+…+Va+1x”,若n∈N",AVa≤f(多)+ 4,求入的最大值， 19.(17分) 巨知函数fx)=xlnx一7ae (1)若Hx∈(1，十∞)，f(x)≤0，求a的取值范围. (2)当a=0时，g(x)=f(x+1)-tsin x. ①判断函数g(x)在(0，π)内的零点个数； ②证明：名s物1+号sn名+n写+…+中】←l以a+1D. 【高三数学第4页（共4页）】