专题3.3 垂径定理（举一反三讲义）数学北师大版九年级下册

本讲义聚焦垂径定理核心知识点，系统梳理定理内容（垂直于弦的直径平分弦及所对弧）及“知二推三”拓展，构建从概念理解到10类应用题型（判断正误、求角度等）的学习支架，覆盖基础到综合的难度梯度。 资料亮点在于题型设计全面且梯度分明，例题与变式结合培养推理能力，实际应用题（如油槽截面问题）引导用数学眼光观察现实，坐标与最值问题提升空间观念，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题3.3 垂径定理（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 利用垂径定理判断正误】 2 【题型2 利用垂径定理求角度】 4 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 8 【题型4 利用垂径定理求面积】 12 【题型5 利用垂径定理求坐标】 15 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 20 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 24 【题型8 利用垂径定理求整点个数】 28 【题型9 垂径定理的实际应用】 32 【题型10 利用垂径定求最值】 36 知识点 垂径定理 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 2. 拓展 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由此可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 【题型1 利用垂径定理判断正误】 【例1】如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ） A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60° 【答案】B 【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解． 【详解】解：∵直径AB⊥弦CD ∴CE＝DE 故选B. 【点睛】本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 【变式1-3】如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（    ） A．AB+AD＝2AC B．AB+AD＜2AC C．AC＝AB•AD D．AC＜AB•AD 【答案】B 【分析】过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，根据垂径定理及三角形三边的关系求解判断即可． 【详解】解：过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，如图所示： 则∠OMA＝90°，AM＝DM， ∴AN＞AM＝AD， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴ADOC， ∴∠OMA＝∠CON＝90°， ∴CN＞OC＝AB， ∴AB+AD＜2（CN+AN）＝2AC， 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理，熟记垂径定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 【题型2 利用垂径定理求角度】 【例2】已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的一侧和两弦在圆心的两侧，再根据垂径定理，含30度角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过点O作于E，于D， 分类讨论：当两弦在圆心的同一侧，如图，    ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当两弦在圆心的两侧，如图，    ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 的度数为或． 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．利用分类讨论的思想并正确的画出图形和作出辅助线是解题关键． 【变式2-1】如图，是的直径，是的弦，且，，则的度数为（　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握垂径定理及推论． 证明，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是直径，， ， ， ， 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，是的弦，半径，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质．连接，利用全等三角形的性质证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设交于K．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 【变式2-3】如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接交于点F，则由垂径定理得，由得，再根据直角三角形两锐角互余可求值． 【详解】解：连接交于点F，如图， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 故答案为：． 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 过P点作于H点，根据垂径定理得，然后利用P点坐标得到，从而得到． 【详解】解：过P点作于H点，如图， 则， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，先利用垂径定理和勾股定理求出的长，再求圆的直径即可． 【详解】在中，， ∴， 在中，， ∴的直径为， 即最长的弦长是． 故选：D． 【变式3-2】（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 【变式3-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（   ）    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点O作于点E，延长，二线交于点F，得到四边形是矩形，设则，连接，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F， ∵和均为直角， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 设则， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【题型4 利用垂径定理求面积】 【例4】如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．    【答案】 【分析】如图，连接，作于，则，，是等边三角形，是等腰直角三角形，，，，由，可知该三角形是以为直角边的直角三角形，然后求面积即可． 【详解】解：如图，连接，作于，    ∴， ∴， ∴是等边三角形，是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴三条弦组成的三角形的三条边的长为1，，， ∵， ∴该三角形是以为直角边的直角三角形， ∴面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．正确求解线段长度是解题的关键． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理可得，再根据圆的性质可得，再根据勾股定理列方程求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， ∴的面积是． 故选：A． 【变式4-2】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接，过于H，则，可证明四边形是矩形得，则，再利用勾股定理求得，进而利用矩形性质求解即可． 【详解】解：连接，过于H，则，， ∵矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，则， 在中，， ∴矩形的面积等于， 故选：D． 【变式4-3】已知的三个顶点都在圆O上，点O到的距离为3，且，则的面积= ． 【答案】或8 【分析】本题考查了垂径定理以及等腰三角形的性质，据此得，，且在上，结合勾股定理以及分类讨论思想即可作答． 【详解】解：如图所示：连接交于点D    因为， 所以，，且在上 因为点O到的距离为3， 所以， 当点在劣弧上时， 则， ， 所以的面积， 当点在优弧上时，即为点， 则， 那么， 所以的面积， 综上：的面积为或8， 故答案为：或8． 【题型5 利用垂径定理求坐标】 【例5】（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及其应用是解题的关键．连接，过点作于点，轴于点，可得四边形是矩形，得出，，利用，，可得，，，利用垂径定理可得，则可得，利用勾股定理可得，即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，轴于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，连接，根据垂径定理得到，由，，可得，，，推出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 的坐标为， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，求得点的坐标是解题的关键． 作轴于点，交于点，作于点，连接，由于，，得到点的坐标为，则，为等腰直角三角形，根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点，交于点，作于点，连接， 的圆心坐标是， ， 把代入得， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【变式5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切，若点的坐标为，则圆心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．过点M作于D，连接．设的半径为R，因为四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边为弦的与x轴相切，点A的坐标为，所以，，在中，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可． 【详解】解：过点M作于D，交于点E．连接，设的半径为R． ∵以边为弦的与x轴相切，， ∴， ∴是直径的一部分； ∵四边形为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为， ∴，； ∴（垂径定理）； 在中， 根据勾股定理可得， ∴， 解得：． ∴． 故选：A． 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 【例6】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 【变式6-1】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =_____． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 【变式6-3】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 【例7】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式7-1】如图，两个圆都以点O为圆心． 求证：． 【答案】过点O作于E，根据垂径定理可得，，即可得到结果． 【详解】过点O作OE⊥AB于E， 在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED． 在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB． ∴AC=BD． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 【变式7-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 【变式7-3】高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 【答案】(1)6;(2). 【分析】（1）根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA，在Rt△OCE中，就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，进而求出． 【详解】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111， 到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111 到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111＞80000 所以，到第6天所有鸡都会被感染； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA． ∵OA=5，OC=3，CD=4， ∴CE=2． 在Rt△OCE中，AE= ， ∴AC=AE-CE= ， ∵AC=BD， ∴AC+BD=． 答：这条公路在该免疫区内有（）千米． 【题型8 利用垂径定理求整点个数】 【例8】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个． 【答案】 3 12 【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可． 【详解】解：过C作直径UL∥x轴， 连接CA，则AC=×10=5， ∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8， ∴AO=BO=4，∠AOC=90°， 由勾股定理得：CO= =3， ∴ON=5-3=2，OM=5+3=8， 即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2）， 同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴， Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3）， 即共12个点， 故答案为：3；12． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键． 【变式8-1】如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，过点O作于点，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的范围，计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点， 则， 由勾股定理得：， 则， ∴线段的长度为整数的值有6、7、8、9共4个， 故选：C． 【变式8-2】如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有 条．    【答案】4 【分析】过点的弦有无数条，求出最长的弦和最短的弦，再判断长度为整数的弦的条数即可． 【详解】过点作直径，作弦，    则是过点的最长的弦，是过点的最短的弦， ∴长度为整数的弦长还有9， ∵过点且长度为9的弦有2条， ∴经过点的所有弦中长度为整数的有4条． 故答案是4． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，知道直径是圆中最长的弦，过点与圆垂直的弦是最短的弦是解题的关键． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有 条． 【答案】4 【分析】根据直线必过点，求出最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是圆的直径，得出弦的取值范围，再根据弦的长为整数，即可得出答案． 【详解】解：当时， ∴直线必过点， 最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是是直径， 当弦最短时， 连接，， 则， 点的坐标是， ， 以原点为圆心的圆过点， 圆的半径为13， ， ， ， 的长的最小值为24； 当弦最长时，则， ∴ ∵弦的长为整数 ∴或25或 26（其中是25的有两条）， ∴弦的长为整数的有4条， 故答案为：4． 【点睛】此题考查的是垂径定理，一次函数图象，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出最短、最长时的值． 【题型9 垂径定理的实际应用】 【例9】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 【变式9-1】我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出的长，设半径为r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， 由垂径定理知，点E是的中点， 寸， 设半径为r寸，则寸 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：，     ， 即圆的直径为寸，即为1尺． 故答案为：1． 【变式9-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 设圆的圆心为，连接，交于点，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，设圆的圆心为，连接，交于点， 根据题意得，， ， ， ， ， 锅盖最低点到的距离是 ， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由是弦的中点，根据垂径定理得到，；由是的中点，根据垂径定理得到；根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线，设，则，后根据勾股定理得到，求得的大小，代入公式计算即可． 本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点是弦的中点， ∴，； ∵是的中点， ∴； 根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，得到点O，C，D三点共线， 设，则， ∴， 解得； ∴， ∴， 故选：A． 【题型10 利用垂径定理求最值】 【例10】如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，根据平行四边形的性质结合垂径定理求出OK的长，在三角形PKO中，根据三角形的三边关系得到线段PK的取值范围，再由，得到结果． 【详解】解：如图，连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK， ∵四边形PCED是平行四边形， ∴，， ∴根据垂径定理 在中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴线段PE的最小值是4． 故答案是：4． 【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和圆的垂径定理，再利用三角形三边的数量关系求出线段的取值范围从而得到最小值． 【变式10-1】如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为 ． 【答案】1或4/4或1 【分析】分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，当点与点重合时， ，，， ， ， ， 如图，当点和点重合时，连接， ，， ， ， ， 综上所述：或4， 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 【变式10-2】如图，在中，直径，弦，点是的中点，过点作于点，若点、在上运动（点、与点、不重合），则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】延长CF交于T，连接DT，利用三角形的中位线定理证明，当DT是直径时，EF的值最大． 【详解】如图所示，延长CF交于T，连接DT， ∵AB是直径，AB⊥CT， ∴CF=FT， ∵DE=EC， ∴， 当DT是直径时，EF的值最大， 此时，EF最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理等，根据中点构造中位线进行转换是解题关键． 【变式10-3】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，含角直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键. 连接，作，连接，由可知，点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含角直角三角形及勾股定理求出，，即可得到答案. 【详解】如图，连接，过点作于点，连接． ， ． 在中， ，， ，， ，，． ， ． ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上运动， ． 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 垂径定理（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 利用垂径定理判断正误】 2 【题型2 利用垂径定理求角度】 3 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 4 【题型4 利用垂径定理求面积】 5 【题型5 利用垂径定理求坐标】 6 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 7 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 8 【题型8 利用垂径定理求整点个数】 9 【题型9 垂径定理的实际应用】 10 【题型10 利用垂径定求最值】 11 知识点 垂径定理 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 2. 拓展 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由此可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 【题型1 利用垂径定理判断正误】 【例1】如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ） A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝CE D．∠AOC＝60° 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【变式1-2】（2025·河南新乡·三模）如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（    ） A．AB+AD＝2AC B．AB+AD＜2AC C．AC＝AB•AD D．AC＜AB•AD 【题型2 利用垂径定理求角度】 【例2】已知⊙O的半径为2，弦长分别为和，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】如图，是的直径，是的弦，且，，则的度数为（　）    A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）如图，是的弦，半径，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2-3】如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ． 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，经过点，交y轴于点A，若，弦长为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，于点，，，则最长的弦长是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【变式3-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（   ）    A．5 B． C． D． 【题型4 利用垂径定理求面积】 【例4】如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．    【变式4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·湖北·二模）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【变式4-3】已知的三个顶点都在圆O上，点O到的距离为3，且，则的面积= ． 【题型5 利用垂径定理求坐标】 【例5】（2025·江西南昌·一模）如图，点，，半径为的经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为 ． 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切，若点的坐标为，则圆心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 【例6】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【变式6-1】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =_____． 【变式6-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 【例7】 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【变式7-1】如图，两个圆都以点O为圆心． 求证：． 【变式7-2】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【变式7-3】高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 【题型8 利用垂径定理求整点个数】 【例8】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个． 【变式8-1】如图，已知的半径为10，的一条弦，若内的一点P恰好在上，则线段的长度为整数的值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-2】如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有 条．    【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有 条． 【题型9 垂径定理的实际应用】 【例9】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【变式9-1】我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸（注：1尺寸），则可得直径的长为 尺．” 【变式9-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图①是小聪帮妈妈做的一个锅盖架，图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为， ，锅盖直径为，则锅盖最低点到的距离是 cm． 【变式9-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）沈括在《梦溪笔谈》中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，主要思路是局部以直代曲，进行近似计算．如图，是以为圆心、为半径的圆弧，是弦的中点，是的中点，则长度的近似值．若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型10 利用垂径定理求最值】 【例10】如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 ． 【变式10-1】如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为 ． 【变式10-2】如图，在中，直径，弦，点是的中点，过点作于点，若点、在上运动（点、与点、不重合），则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．6 【变式10-3】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $