3.3 垂径定理（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

该初中数学课件聚焦九年级下册第三章“垂径定理”，通过等腰三角形轴对称性类比引入圆的轴对称探究，以作图分析引导学生推导定理条件与结论，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究式学习培养推理能力，通过几何语言规范表述定理，结合公路转弯、拱桥半径等实际问题提升应用意识。课堂小结“知二推三”及辅助线方法系统梳理知识，助力学生深化理解，也为教师教学提供清晰思路。

初中同步训练 数学 九年级下册 (BS版) 第三章 圆 3 垂径定理 等腰三角形是轴对称图形吗？ 如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？ 类比引入 ③AM=BM, ●O A B C D M└ ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 条件 结论 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M. （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 探 究 新 知 连接OA,OB,则OA=OB. ●O A B C D M└ 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ ∴ AC =BC, ⌒ ⌒ 　 AD =BD. ●O A B C D M└ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言 垂径定理 ③CD⊥AB, 垂径定理的逆定理 ●O C D 由 ① CD是直径 ② AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● M A B 平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？ O C D B A 例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. 9 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 . 5cm 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°,则弦AC= . cm 3.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为________. (3,2) 随堂练习 4.如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是________. 3 5.如图，直径AB垂直于弦CD于点E，CD=4，AE=8，⊙O的半径长为________. 4 17 7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5 cm，CD=8 cm，则AE=（ ） A.8 cm B.9 cm C.7 cm D.6 cm A 8.如图，⊙O的弦AB=8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM=3，则MN的长为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 A 10.如图，有一个拱桥是圆弧形，它的跨度为60 m，拱高为18 m，求拱桥的半径. 解得x=34. 解: 设圆弧的圆心为点O，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，交圆弧于点E， O E D   DE=18 m. 设拱桥的半径为x m， 则(x-18)2+302=x2, 即拱桥的半径为34 m. 11.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD. O . A C D B E 12.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．   弧 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧. 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 16 $