第二十七章 圆与正多边形（举一反三单元测试·拔尖卷）数学沪教版九年级下册

第二十七章 圆与正多边形·拔尖卷 【沪教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·山东潍坊·一模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理等知识，根据正五边形的性质结合圆周角定理和垂径定理得，，进而可得答案． 【详解】解：∵是的直径，五边形是的内接正五边形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（3分）（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， 由翻折得：， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ， 故选：C． 3．（3分）（2025·河北邯郸·三模）如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，从而在中，利用勾股定理可得，然后根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形中位线定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 4．（3分）（24-25九年级上·福建福州·期中）“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，垂直平分交于点，为圆心，连接，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：如图，垂直平分交于点，为圆心，连接， ∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是，则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴该圆的半径长是， 故选：C． 5．（3分）（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 6．（3分）（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，求出为等腰直角三角形，得出，结合得出当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，为， 故选：D． 7．（3分）（2025·河南洛阳·三模）如图，圆O是等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接、．以点D为圆心，的长为半径在圆O内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接、，与交于点．根据等边三角形的性质和圆内接四边形的性质，得到，再结合扇形面积公式，求出，由垂径定理可得，，，再解直角三角形，得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，与交于点． 是等边三角形， ， 四边形内接于， ， ， 阴影部分的面积为， ， ， （负值舍去）， 是半径，点D是弧BC的中点， ，，， ， ， ， ， 等边三角形的边长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形，扇形面积，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 8．（3分）（2025·贵州毕节·三模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接．求出，再利用圆周角定理求出，连接，可得，由得，求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵M，N，F分别是与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中，， ∴， ∴， 连接，由对称性可得三点在同一条直线上， 在和中， , ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．（3分）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 10．（3分）（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的外接圆及外心，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过点E作于F，过点A作于H，先求出，则，进而再求出，则，进而得，则，进而再求出，则，从而得是等腰直角三角形，则，然后再分别求出，，进而可得的长． 【详解】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示： ∵内接于，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了已知圆内接四边形求角度，半圆（直径）所对的圆周角是直角，利用弧、弦、圆心角的关系求解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，根据圆内接四边形性质求得，结合弧、弦、圆心角的关系推出，进而得到，再利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形内接于，， ， ， ， ， 为直径， ， ； 故答案为：． 12．（3分）（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 13．（3分）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查正多边形与圆，连接，根据正多边形的性质可得：，进而得到，，再根据即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意得：， ， ， ， 故答案为：． 14．（3分）（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点E在上，且．经过点A，D，E，与交于点G，与交于点F，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】题目主要考查等边三角形的判定和性质，圆周角定理，理解题意，作出辅助线进行求解是解题关键． 连接，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，为等边三角形，再由各角之间的关系及等量代换得出，利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：60． 15．（3分）（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）半径为6的是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则弦的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；正确的作出图形是解题的关键．如图1，当时，可得是等边三角形，解直角可求解；如图2，当，推出是等腰直角三角形，解可求解． 【详解】解：如图1，当时， 即， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述：若是直角三角形，则弦的长为或， 故答案为：或． 16．（3分）（24-25九年级下·重庆忠县·期中）如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则 ， ． 【答案】 【分析】过点O作于H，连接，根据圆周角定理，证明，推出，即可得出，进而求得的长；过点O作于N，于T连接，先证明，求出，再证明，求出，证明四边形为矩形，推出，设，勾股定理求出的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点O作于H，连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 过点O作于N，于T连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则：， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即 解得或(舍去)， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：；． 【点睛】此题考查了圆的综合题、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据已知易得：，然后证明，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等可得：，即可解答． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（6分）（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及勾股定理，等腰三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于点，连接．，先根据圆周角定理得出，再由点为的中点可知，故可得出，再由得出，故，进而得出结论； （2）设的半径为，则，再证明是的中位线，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接． 为的直径， ，即． 点为的中点， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：设的半径为，则，． ，， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 直径的长为． 19．（8分）（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论； （2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 20．（8分）（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质和圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质和圆周角定理，利用证明两三角形全等即可； （2）当点E在弧上时，过点作于点，证明，即可得到四边形是正方形，然后根据线段的和差解答；当点E在弧上时，在上取点，使，连接，根据全等三角形的对应边相等得到，，，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论； （3）将绕点C顺时针旋转得到，连接，可以得到，即可得到点N在以为直径的圆F上，然后根据弧长公式计算解答即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，， 与都对应弧， ， 在和中， ； （2）解：满足或，理由如下： 如图，当点在弧上,过点作于点， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即； 当点在弧上时，在上取点，使，连接， 由（1）， ，，， 在正方形中，， ， ， ， 是等腰直角三角形三角形， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴点N在以为直径的圆F上， ∵最大为， ∴最大为，即最大圆心角为， ∴点N的运动路径为． 21．（10分）（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，过点O作于点H，易证是等边三角形，得到，易求出，再利用勾股定理求出，再用即可得出结果； （2）在上截取，连接，求得，根据圆周角定理得到，求得，同理，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到． 【详解】（1）解：连接，过点O作于点H， ∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积为：； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 多边形是正六边形， ∴， ∴ ∴ 同理 ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在与中， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，不规则图形的面积，正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，正确地作 出辅助线是解题的关键． 22．（10分）（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作的垂直平分交于点O，即可求解； （2）连接，并延长交圆O于点E，即可求解； （3）分别连接，并延长分别交圆O于点Q，P，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，即为所求． 23．（12分）（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在五边形中，点，，，是上的四个点，，平分． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)面积的最大值为． 【分析】（）由角平分线的定义得，然后根据圆周角定理得，通过三角形的内角和定理得，最后由等边三角形的判定即可求解证； （）延长至，使，证明是等边三角形，所以，，证明，则，然后由线段和差即可求证； （）设的外心为，连接，，所以，又，则，所以点为定点，从而可得点在以为圆心，为半径的圆上，当点，，三点共线时，的面积最大，然后由面积公式求解即可； 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明： ∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：延长至，使， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由（）知，，， ∴, 即， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设的外心为，连接，， ∴， ∵， ∴， ∴点为定点， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示， 在等腰直角三角形中，于点，则有， 当点，，三点共线时，的面积最大， ∴， ∴， ∴． 24．（12分）（2025·陕西榆林·一模）问题探究 （1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长； 问题解决 （2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）玻璃桥的长度存在最小值，玻璃桥长的最小值是 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了三角形的外接圆问题，圆周角定理，勾股定理与垂径定理，解直角三角形，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）连接，根据圆周角定理得到，，由点是的中点，得到，得到，根据等腰三角形得到，根据勾股定理得到； （2）根据三角形的外角的性质得到，，三角形的内角和定理，过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，推出点，，，四点共圆，如图②，设圆心为点，半径为 ，连接，，连接，过点作于点，根据圆周角定理得到是直径，根据圆周角定理勾股，求得，则，得到，要使得最小，即最小，而是直径，，当时，取得最小值，此时最小，得到是等腰直角三角形，于是得到玻璃桥长的最小值为． 【详解】解：（1）如图，连接， 为直径， ，， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2），， ，， ， ， 过作于，如下图， ， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ， 点，，，四点共圆， 如图②，设圆心为点，半径为，连接，，连接，过点作于点， ， 是直径， ， ， 又，则， ，则， ， 要使得最小，即最小，而是直径，， 当时，取得最小值，此时最小， 此时是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故玻璃桥长的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 圆与正多边形·拔尖卷 【沪教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·山东潍坊·一模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（2025·河北邯郸·三模）如图，是半径为1的的两条弦，于点D，于点E，连接．若，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 4．（3分）（24-25九年级上·福建福州·期中）“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（    ） A． B． C． D． 5．（3分）（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 6．（3分）（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 7．（3分）（2025·河南洛阳·三模）如图，圆O是等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接、．以点D为圆心，的长为半径在圆O内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（    ） A．4 B． C． D．2 8．（3分）（2025·贵州毕节·三模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．（3分）（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，四边形内接于，为直径延长线上一点，，，则 ． 12．（3分）（2025·北京·模拟预测）如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 13．（3分）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ． 14．（3分）（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点E在上，且．经过点A，D，E，与交于点G，与交于点F，则的度数为 °． 15．（3分）（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）半径为6的是锐角三角形的外接圆，，连接，，延长交弦于点D，若是直角三角形，则弦的长为 ． 16．（3分）（24-25九年级下·重庆忠县·期中）如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则 ， ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 18．（6分）（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 19．（8分）（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 20．（8分）（24-25九年级上·广东广州·期末）已知正方形的四个顶点在上 (1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证： (2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长． 21．（10分）（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正六边形内接于． (1)如图1，若半径为2，请直接写出图中阴影部分面积； (2)如图2，若点为上一点，连接，，，探究，，之间数量关系，并说明理由． 22．（10分）（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 23．（12分）（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在五边形中，点，，，是上的四个点，，平分． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，，求面积的最大值． 24．（12分）（2025·陕西榆林·一模）问题探究 （1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长； 问题解决 （2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $