精品解析：内蒙古通辽市开鲁县部分学校联考2025-2026学年上学期八年级数学期中试题

2025-2026第一学期八年数学期中学业水平测试 一、选择题（） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 已知给出了其中一边长为，没有明确该边的名称，所以长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，则另一腰也为，底边为， ∵， ∴边长分别为不能构成三角形； 当底边长为时，腰的长， ∵， ∴边长为，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是． 故选C． 3. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点，则点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点向右平移后新点的横坐标为原坐标加上移动距离，纵坐标不变；关于x轴对称的点的坐标关系：横坐标相等，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点向右平移4个单位长度得到点，点关于x轴的对称点的坐标为； 故选：A． 【点睛】本题考查直角坐标系及坐标，平移；理解平移前后坐标间的数量关系是解题的关键． 4. 如图，已知的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（　　） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有甲 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理逐个进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴甲三角形有两角及其中一组等角的对边与分别相等，根据可以判断甲三角形与全等； 乙三角形有两角及其夹边与分别相等，根据可以判断乙三角形与全等；； 丙三角形有两边及一边的对角与分别相等，不可以判定丙三角形与全等； 所以与全等的有甲和乙， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理是解题的关键． 5. 如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，先根据等腰三角形三线合一的性质可得，则，再由等边对等角得，最后通过三角形的外角性质即可求解，然后再运用角的和差即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 6. 如图，在中，，边的垂直平分线交于，交于，则的长为（ ） A. 12 B. 24 C. 6 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，因此，求出，由含角的直角三角形的性质推出，于是． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 7. 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】证明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性质可得HQ=PQ=2，从而求出MQ，即可解决问题． 【详解】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM， ∴∠NQH=∠NRP=∠HRM=90°， ∵∠RHM=∠QHN， ∴∠PMH=∠HNQ， 在△MQP和△NQH中， ， ∴△MQP≌△NQH（ASA）， ∴HQ=PQ=2， ∴QN=QM=MH+QH=5， ∴PN=PQ+QN=7， 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 8. 如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接、，由是的平分线，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示， ， 是的平分线， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（） 9. 三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键．根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴a的取值范围是：，即． 故答案为：． 10. 如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 先求出等边得边长，再在中，由可得，从而求出即可解决问题． 【详解】解：∵是等边三角形，周长为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 11. 如图，中，，，是边上的中线，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示（见详解），过A和分别作于，于，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如图所示，过A和分别作于，于，即， ∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°， ∴， ∴， 在，中， ∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与直角三角形的综合运用，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 13. （1）请画出关于轴对称的（其、、分别是、、的对应点，不写画法）； （2）直接写出点的坐标； （3）的面积是_______． 【答案】 （1）如图所示，即为所求； （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）分别作出A、B、C三点关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据坐标系中的位置写出坐标即可； （3）割补法求解可得． 【详解】（1）略 （2）点的坐标为； （3）的面积是， 故答案为：． 14. 如图，在中，，用不带刻度的直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）在边上求作点，使得． 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作线段的垂直平分线，根据作垂直平分线的方法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，所以点即为所求． 15. 如图，在中，，点D、E、F分别在边、、上，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，即可求证； （2）由三角形内角和定理求出，由全等三角形的性质得出，再由三角形的内角和定理和平角定义即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 16. 如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE． （1）求证：DC＝BE； （2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积． 【答案】 （1）证明： ∵等边△ABD和等边△ACE ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60° ∴∠DAC＝∠EAB ∴△DAC ≌△BAE ∴DC＝BE （2）3 【解析】 【分析】⑴根据等边三角形的性质得AB=AD,AE=AC, ∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC,根据SAS证得 △ABE≌△ADC,得到DC=BE. ⑵过点A作AH⊥BC于H ，BD⊥BC，得到∠ACB=90°-∠ABD=90°-60°=30° 2AH=AB,得出AH,BC已知，根据三角形面积即可求出. 【详解】（1）略 （2） 过点A作AH⊥BC于H ∵BD⊥BC ∴∠DBC＝90° ∵等边△ABD ∴∠DBA=60° ，AB=BD=3 ∴∠ABC＝30° ∵AH⊥BC ∴AH＝ ＝ ∴△ABC的面积＝ 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质全等三角形的判定定理及性质的应用，直角三角形中，30°角对应的边是斜边的一半. 17. 已知：如图，在中，于点，于点，与相交于点，且． （1）求证：； （2）若，则_______．（直接写出结果） 【答案】（1） 证明：， ． 又， ． 在和中， ， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由等角的余角相等，得，证明，即可得出结论； （2）由，得，根据等腰直角三角形的性质，得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ． ，， ． ． 故答案为：25． 18. 问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． （1）问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． （2）问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：小明的证明方法： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小刚的证明方法： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ，理由如下： 作于M，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）小明的证明方法：证出，由证明，即可得出结论；小刚的证明方法：证出，得出，，再证明，即可得出结论； （2）作于M，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期八年数学期中学业水平测试 一、选择题（） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（） A. B. C. D. 或 3. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点，则点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（　　） A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有甲 5. 如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（ ）     A. B. C. D. 6. 如图，在中，，边的垂直平分线交于，交于，则的长为（ ） A. 12 B. 24 C. 6 D. 18 7. 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 8. 如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（） 9. 三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是______． 10. 如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段_____． 11. 如图，中，，，是边上的中线，，则______． 12. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是_____． 三、解答题 13. （1）请画出关于轴对称的（其、、分别是、、的对应点，不写画法）； （2）直接写出点的坐标； （3）的面积是_______． 14. 如图，在中，，用不带刻度的直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）在边上求作点，使得． 15. 如图，在中，，点D、E、F分别在边、、上，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 16. 如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE． （1）求证：DC＝BE； （2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积． 17. 已知：如图，在中，于点，于点，与相交于点，且． （1）求证：； （2）若，则_______．（直接写出结果） 18. 问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． （1）问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． （2）问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $