第一章 勾股定理 单元评价卷 2025-2026学年北师大版八年级上册数学

第一章 勾股定理 一、单选题 1．在中，若，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D． 2．若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足，则该直角三角形的第三边长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 3．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 4．一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D．不能确定 5．以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 7．在如图所示的四边形中，的长可能是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（　　）． A． B．4 C． D．6 二、填空题 9．已知 的两直角边分别是3， 4，则的斜边上的高是 ． 10．如图，在Rt中，，分别以为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积的值为 ． 11．《村居》中的“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”描绘了孩童放风筝的活泼景象．如图，小明在放风筝时进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8m；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17m．如果小明想要风筝沿CD方向下降9m，那么他应该往回收线 m． 12．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米． 13．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竹竿的顶端和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度为 米． 14．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 三、解答题 15．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度的取值范围．（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计） 16．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 17．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，． (1)请判断的形状并说明理由； (2)求线段的长． 18．如图所示，一架长的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，此时梯子底端离墙． (1)求这架梯子的顶端距离地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑了，那么梯子底端水平外移了多少？ 19．如图，在宽为40米的一条绿化带上开一条路，数据如图所示，求这条路的宽度． 20．小明要外出旅游，他带的行李箱长，宽，高，一把长的雨伞能否装进这个行李箱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理直接计算即可；掌握勾股定理内容是关键． 【详解】解：，，， ； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的应用．根据非负数之和为0的条件，求出直角三角形的两直角边，再利用勾股定理计算第三边． 【详解】由非负数性质，，可得： 解得： ∴两直角边长分别为4和3． 根据勾股定理，斜边长为： 综上，第三边长为5， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意． 画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是， 故选：． 4．C 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∴由勾股定理得，， 即正方形的面积为， 故选：． 6．B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，由三角形三边关系可得出，再根据直角三角形斜边大于直角边可知，结合勾股定理即即可得出，进而可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， ∵中，，，且， ∴， 则， 只有8符合条件， 故选：B． 8．C 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】解：圆锥主视图是边长为的正三角形， 圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 如图，在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 9． 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是3， 4， 斜边， ， ， ∴的斜边上的高是． 故答案为：． 10．8 【分析】由勾股定理求得的长度，即可求得正方形面积．本题考查了与勾股定理相关的图形面积问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得， ∴， 故答案为：8． 11．7 【分析】设风筝下降到点处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：设风筝下降到点处，连接， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 那么他应该往回收线． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么． 根据勾股定理求出“捷径”长，进而用原路程减去“捷径”长即可． 【详解】解：“捷径”长（米）， 他们仅仅少走了（米）， 故答案为：． 13．2 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设米，则有米，然后利用勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意可设米，则有米， ∵米， ∴，即， 解得：， ∴米； 故答案为：2． 14．2022 【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键． 根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 15． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，由图可得最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理求解． 【详解】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理得 所以a的取值范围是． 16．点B不是向外移动米，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求出的长度是解题的关键． 在中，利用勾股定理可得米，从而得到米，然后在中，利用勾股定理可得的长度，即可求解． 【详解】解：点B不是向外移动米，说明如下： 根据题意得：米，米，米， 在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 即点B向外移动米， ∴点B不是向外移动米． 17．(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定得出是直角三角形即可； （2）根据等积法求出线段的长即可． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：在中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以是直角三角形． （2）解：由（1）知是直角三角形，且， 因为， 所以． 18．(1)24米 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理计算，再利用线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵地面垂直的墙，即， ， 答：这架梯子的顶端距离地面的高度为24米． （2）由题意得：，， ， ， ， 答：梯子底端水平外移了． 19． 【分析】本题考查勾股定理的应用，需要结合勾股定理以及平行四边形的面积公式进行解答．首先根据勾股定理求出的长度，然后借助平行四边形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：设这条路的宽为x， 由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴． 即这条路的宽度为． 20．能装进行李箱 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出行李箱能装物体的最大长度，和作比较解答即可． 【详解】解：如图，， ， ∴能装进行李箱． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $