精品解析：山西省长治市长子县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中教学质量评估试题 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分、共8页，满分120分． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷交回． 第Ⅰ卷 非选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每个小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相反数定义：两数只有符号不同，即可得出答案． 【详解】解：的相反数是； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键． 2. 公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示（如图），由此引发了第一次数学危机这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（ ） A. 自然数 B. 正分数 C. 有理数 D. 无理数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数，根据实数的分类及无理数的定义解答即可． 【详解】解：， （舍去）， ∵是无理数， “不能用整数或整数的比表示的数”是指无理数． 故选：D． 3. 若（ ），则括号里应填的单项式是（ ） A. B. 3xy C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝，如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等． 小英却说：“不用再测量，因为≌，所以” 小英用到的判定三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：在与中， ， ∴， ， 故选：A． 5. 如下图，已知，点恰好在延长线上，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，以及全等三角形性质，根据三角形内角和得到，再利用全等三角形性质推出，最后各角平角的定义，即可解题． 【详解】解：，， ， ， ， 点恰好在的延长线上， ， 故选：C． 6. 观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则a，b的值可能分别是（ ） A. 2，7 B. ，7 C. 2， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，观察已知条件得出与的值是解题的关键．观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项，由此得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得，，， ，， ，或，， a，b的值可能分别是，． 故选：D． 7. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正方形是面积公式是解题的关键． 先求出张方形的边长，再根据向右动就用加法计算求解． 【详解】解：正方形的边长为：， ∴点所表示的数为：， 故选：A． 8. 如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是（ ） A. m+3 B. m+6 C. 2m+3 D. 2m+6 【答案】C 【解析】 【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：（m+3）2－m2=3x， 解得，x=（6m+9）÷3=2m+3， 故选：C． 9. 如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，是网格型问题，本题构建全等三角形是关键． 证明≌，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：记与的交点为点F，如图， 在和中， ， ≌， ， ， ， ∴， ． 故选：B． 10. 如图，的面积为，BP平分，于P，连接PC，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．延长交于，根据已知条件证得，推出，得出，，推出，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，把答案写在答题卡的横线上） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式．利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 根据如表数据回答259.21的平方根是 ________． x 16 16.1 16.2 16.3 x2 256 259.21 262.44 265.69 【答案】±16.1 【解析】 【分析】直接利用平方根的定义结合表格中数据得出答案． 【详解】解：由表中数据可得：259.21的平方根是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根，观察表格发现律是解题关键． 13. 如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等知识的应用，熟练正确全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据题意可得：，，判断出≌，得到，即可求出答案． 【详解】解：如图： 是和的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 小明离地面的高度支点到地面的高度， 故答案为：． 14. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为___________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件联立求解． 由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算得100． 【详解】根据图2所示的阴影部分面积为60可得： ， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为60可得：． ∴大正方形面积：． 故答案为：100． 15. 如图，等边的边长为，在边上有一点，为延长线上的一点，且，过点作于点，连接交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作BC的平行线至AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD＝CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE＝EF，即可推出AE＋DC＝EF＋FD，可得ED＝AC，即可推出ED的长度． 【详解】过做的平行线至于． ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， 于，是等边三角形， ， ∴ED=AC， ∵AC= 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算、立方根、算术平方根、公式法分解因式，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质以及立方根的性质、算术平方根的性质分别化简，进而得出答案； （2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 张老师在黑板上布置了一道题： 已知，求代数式的值，小白和小红展开了下面的讨论，你赞同谁的观点？并说明理由． 【答案】我认为小红说的对，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据整式的混合运算法则进行计算，化简后根据结果，进行判断即可． 【详解】解：我认为小红说的对， 理由： 化简后的结果不含x， 小红说的对，当时，原式． 18. 如图，的顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，平分，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． （1）在上作一点E，使得． （2）在（1）中作图的基础上，在的下方作，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据题意正确作图是关键． （1）在上找到，根据即可得到答案； （2）由网格的特征得到，则，又由即可得到． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 由网格的特征得到， ∴， ∵， ∴． 19. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】（1）长为，宽为 （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，见解析 【解析】 【分析】（1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【小问1详解】 ∵信封的长、宽之比为， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； 【小问2详解】 面积为的正方形贺卡的边长是． ∵，所以， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【点睛】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． 20. 如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小明设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得______，标记此时梯子的底端点D；③此时______的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． （1）补全设计方案，并说明小明设计方案的正确性； （2）测得，，求梯子底端向后滑动的距离． 【答案】（1），，证明见解析 （2）梯子底端向后滑动的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先补全方案，再根据证明，再根据全等三角形的性质得出答案． （2）根据全等三角形的对应边相等可得答案． 【小问1详解】 解：补全方案：①测量角度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． 由题意可知，，， 在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∴梯子底端向后滑动的距离为． 21. 【例题讲解】仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得， ∴另一个因式为，的值为． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若，则 ； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； （3）若多项式（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是，则代数式的值 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法分解因式，同底数幂的除法，掌握待定系数法解题是关键； （1）先计算，再比较即可得到答案； （2）设另一个因式为，可得，再建立方程组解题即可； （3）设另一个因式为，可得，再利用待定系数法可得，再结合同底数幂的除法运算可得答案. 【小问1详解】 解：； ∴； 【小问2详解】 设另一个因式为，得 ， 则， 解得：， 故另一个因式为，k的值为3； 【小问3详解】 设另一个因式为， 则 ， ∴，由①得：③， 把③代入②得：， ∴， ∴. 22. 南山植物园中现有A，B两个园区．已知A园区为长方形，长为(x＋y)米，宽为(x－y)米；B园区为正方形，边长为(x＋3y)米． (1)请用代数式表示A，B两园区的面积之和并化简． (2)现根据实际需要对A园区进行整改，长增加(11x－y)米，宽减少(x－2y)米，整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米． ①求x，y的值； ②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C，D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表： C D 投入(元/米2) 12 16 收益(元/米2) 18 26 求整改后A，B两园区旅游的净收益之和．(净收益＝收益－投入) 【答案】（1）2x2+6xy+8y2；（2）①②57600元； 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A、B两园区的面积，再相加即可求解； （2）①根据等量关系：整改后A区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980米；列出方程组求出x，y的值； ②代入数值得到整改后A、B两园区的面积之和，再根据净收益=收益﹣投入，列式计算即可求解． 【详解】解：（1）A，B两园区的面积之和：（x+y）（x﹣y）+（x+3y）（x+3y） =x2﹣y2+x2+6xy+9y2 =2x2+6xy+8y2（平方米） 答：A、B两园区的面积之和为（2x2+6xy+8y2）平方米； （2）①整改后的长为：（x+y）+（11x﹣y） =x+y+11x﹣y =12x（米）， 整改后的宽为：（x﹣y）﹣（x﹣2y） =x﹣y﹣x+2y =y（米）， 依题意有： ， 解得． ②由题意得：12xy=12×30×10=3600（平方米）， （x+3y）（x+3y） =x2+6xy+9y2 =900+1800+900 =3600（平方米）， （18﹣12）×3600+（26﹣16）×3600 =6×3600+10×3600 =57600（元）． 答：整改后A、B两园区旅游的净收益之和为57600元． 【点睛】考点：整式的混合运算． 23. （1）【问题初探】某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或20． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $